2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题43双曲线(教学案)含解析

2019年高考数学（文）一轮复习精品资料
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质．
2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．
3.理解数形结合的思想．
1．双曲线的定义
平面内动点与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|大于零)，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c 为常数且a>0，c>0：
(1)若a<c时，则集合P为双曲线；
(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；
(3)若a>c时，则集合P为空集．
2．双曲线的标准方程和几何性质
高频考点一 双曲线的定义及应用
【例1】(1)设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右
支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2
＝( )
A.1＋2 2
B.4－2 2
C.5－2 2
D.3＋2 2
(2)已知F 是双曲线C ：x 2
－y 2
8＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A (0，66)，当△APF 周长最小时，该三角形的
面积为________.
【答案】(1)C (2)12 6
|PF 1|
最小，当A ，P ，F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y
66
＝1.
与x 2
－y 2
8
＝1联立，解得P 点坐标为(－2，26)，
此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6.
【变式探究】(1)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±1
2x ，则该双曲线的标准方程为
__________________．
(2)设椭圆C 1的离心率为5
13，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝
对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．
【答案】(1)x 2
4－y 2
＝1 (2)x 216－y 2
9
＝1
【解析】(1)由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 2
4
－y 2
＝λ(λ≠0)，已知该双
【变式探究】
(1)设P 是双曲线x 216－y 2
20＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝( )
A ．1
B ．17
C ．1或17
D ．以上答案均不对
(2)已知F 是双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为( )
A ．5
B ．5＋4 3
C ．7
D ．9 【答案】(1)B (2)D
【解析】(1)由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.
(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E ，则E (4，0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF |－|PE |＝4，则|PF |＋|PA |＝4＋|PE |＋|PA |.由图可得，当A ，P ，E 三点共线时，(|PE |＋|PA |)min ＝|AE |＝5，从而|PF |＋|PA |的最小值为9.
高频考点二 双曲线的标准方程
【例2】(1)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝1
3
，则E
的离心率为( )
A. 2
B.3
2
C. 3
D.2
(2)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的
方程为( )
A.x 2
4
－y 2
＝1
B.x 2
－y 2
4＝1
C.3x 2
20－3y
2
5＝1 D.3x 2
5－3y
2
20
＝1 【答案】(1)A (2)A
选A.
(2)由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24
－y 2
＝1.
【变式探究】 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点
在直线l 上，则双曲线的方程为( )
A.x 25－y 220＝1
B.x 220－y 2
5＝1 C.3x 2
25－3y 2
100＝1 D.3x 2
100－3y
2
25
＝1 (2)设双曲线与椭圆x 227＋y 2
36＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准
方程是________．
【答案】(1)A (2)y 24－x 2
5
＝1
【解析】(1)由题意知，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为y ＝2x ，所以b a
＝2，即b 2＝4a 2
.又双曲线的
一个焦点是直线l 与x 轴的交点，所以该焦点的坐标为(－5，0)，所以c ＝5，即a 2＋b 2
＝25，联立得⎩
⎪⎨⎪⎧b 2
＝4a 2
，a 2＋b 2＝25，
【举一反三】 (1)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤
233，2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫
233，2 C.⎝
⎛⎭
⎪⎫
233，＋∞ D.⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
233，＋∞ (2)已知双曲线x 2
－y 2
3＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→
的最小值为________.
【答案】(1)A (2)－2
【解析】(1)因为有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，所以直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称，并且直线A 1B 1和A 2B 2与x 轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x 轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满
足题意.可得b a ＞tan 30°，即b 2a 2＞13，c 2－a 2a 2＞13，所以e ＞233.同样的，当b a ≤tan 60°，即b 2a 2≤3时，c 2－a 2
a
2≤3，即
4a 2
≥c 2
，∴e 2
≤4，∵e ＞1，所以1＜e ≤2.
所以双曲线的离心率的范围是⎝
⎛⎦
⎥⎤
233，2. (2)由题可知A 1(－1，0)，F 2(2，0).设P (x ，y )(x ≥1)，
则PA 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，PA 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2
－1)＝4x 2
－x －5.
因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2
－x －5的图象的对称轴为x ＝18，所以当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2.
【方法规律】与双曲线有关的范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决. 【变式探究】 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为5
4；
(2)焦距为26，且经过点M (0，12)；
(3)经过两点P (－3，27)和Q (－62，－7)．
高频考点三 双曲线的几何性质
例3、已知双曲线x 24－y 2
b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于
A ，
B ，
C ，
D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )
A. x 24
－3y 2
4
＝1
B.x 24－4y 23
＝1 C.x 24－y 2
4
＝1 D.x 2
4－y 2
12
＝1
【答案】D
得b
2
＝12.
故双曲线的方程为x 24－y 2
12
＝1.
【感悟提升】(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)中，离心率e
与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a
满足关系式e 2＝1＋k 2
.
(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用
b 2＝
c 2－a 2和e ＝c
a
转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
【变式探究】(1)设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与
双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A ．±12
B ．±22
C ．±1
D ．± 2
(2)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )
A ．对任意的a ，b ，e 1<e 2
B ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2
C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2
D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2 【答案】(1)C (2)B
b >a
时，有b a >
b ＋m a ＋m ，即e 1>e 2；当b <a 时，有b a <b ＋m
a ＋m
，即e 1<e 2.故选B.
1. （2018年浙江卷）双曲线
的焦点坐标是
A. (−，0)，(，0)
B. (−2，0)，(2，0)
C. (0，−)，(0，)
D. (0，−2)，(0，2) 【答案】B
【解析】因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，
因为
，所以焦点坐标为
，选B.
2. （2018年天津卷）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于
两点.设
到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且
则双曲线的方程为
A. B.
C. D.
【答案】A
3. （2018年全国卷Ⅱ）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
4. （2018年全国III卷）已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】
，
所以双曲线的渐近线方程为
所以点（4，0）到渐近线的距离
5. （2018年全国卷Ⅱ）曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】y =2x –2 【解析】由，得
则曲线
在点
处的切线的斜率为
，
则所求切线方程为
，即
.
6. （2018年北京卷）若双曲线的离心率为，则a =_________.
【答案】4
【解析】在双曲线中，
，且
7. （2018年江苏卷）在平面直角坐标系
中，若双曲线
的右焦点
到一条渐近线的距离
为，则其离心率的值是________． 【答案】2
1．[2017·全国卷Ⅰ]已知F 是双曲线C ：x 2
－y 2
3＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是
(1,3)，则△APF 的面积为( )
A.13
B.12
C.23
D.32
【答案】D
2．[2017·天津高考]已知双曲线x 2
a
2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )
A.x 24－y 2
12＝1 B.x 212－y 2
4＝1 C.x 2
3－y 2
＝1 D ．x 2
－y 2
3
＝1
【答案】D
【解析】根据题意画出草图如图所示⎝
⎛⎭
⎪⎫不妨设点A 在渐近线y ＝b
a
x 上.
由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a
x 上，
∴b a
＝tan60°＝ 3.
又a 2＋b 2
＝4， ∴a ＝1，b ＝3，
∴双曲线的方程为x 2
－y 2
3
＝1.故选D.
3.【2017课标II ，文5】若1a >，则双曲线2
221x y a
-=的离心率的取值范围是
A. )+∞
B. 2,2)
C. 2)
D. (1,2) 【答案】C
【解析】由题意222
222
11
1c a e a a a +===+
，因为1a >，所以21112a <+<，则12e << C. 4.【2017北京，文10】若双曲线2
2
1y x m
-=3，则实数m =__________．
【答案】2
【解析】2
2
1,a b m == ，所以
131
c m a +==，解得2m = . 5.【2017课标3，文14】双曲线22
219x y a -
=（a >0）的一条渐近线方程为35
y x =，则a = . 【答案】5
【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3
y x a
=±
，结合题意可得：5a =. 1.【2016高考北京文数】已知双曲线22
221x y a b
-= （0a >，0b >）的一条渐近线为20x y +=
，一个焦点为
，则a =_______；b =_____________.
【答案】1,2a b ==.
【解析】依题意有5
2c b a
⎧=⎪⎨-=-⎪⎩,结合222
c a b =+,解得1,2a b ==.
2.【2016高考浙江文数】设双曲线x 2
–2
3
y =1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角
三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．
【答案】．
14.【2016高考山东文数】已知双曲线E ：2
2x a
–22y b =1（a >0，b >0）．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中
点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______．
【答案】2
【解析】依题意，不妨设6,4AB AD ==，作出图象如下图所示
则2124,2;2532,1
,c c a DF DF a ===-=-==故离心率2
21
c a == 3.【2016高考天津文数】已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线
02=+y x 垂直，则双曲线的方程为（ ）
（A ）1422=-y x
（B ）1422
=-
y x （C ）
15320322=-y x （D ）1203532
2=-y x
【答案】A
【解析】由题意得22
15,2,11241
b x y
c a b a =⇒==⇒-=，选A.
4.【2016高考上海文科】（本题满分14分）
双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的左、右焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A 、B 两点.
（1）若l 的倾斜角为
2
π
，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设3b =l 的斜率存在，且|AB |=4，求l 的斜率
【答案】（1）2y x =．（2）15
. 【解析】
由212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，得()()()
2
2
12223613k x x k +-=-， 故()()
()222
2121212261143
k AB x x y y k x k +=
-+-=+-=
=-，
解得23
5
k =
，故l 的斜率为15．
1.【2015高考重庆，文9】设双曲线22
221(a 0,b 0)x y a b
-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12
A A 的垂线与双曲线交于
B ，
C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）
(A) 1
2
±
(B) 22± (C) 1± (D) 2【答案】C
2.【2015高考四川，文7】过双曲线2
2
13
y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )
(A (B 3 (C )6 (D 3【答案】D
【解析】由题意，a ＝1，b 3c ＝2， 渐近线方程为y 3
将x ＝2代入渐近线方程，得y 1，2＝±3故|AB |＝3 D
3.【2015高考新课标1，文16】已知F 是双曲线2
2
:18
y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ．
【答案】
【解析】设双曲线的左焦点为
1
F ，由双曲线定义知，
1||2||
PF a PF =+，
∴△APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+12||a PF ++|AF|=|PA|+1||PF +|AF|+2a ， 由于2||a AF +是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA|+1||PF 最小，即P 、A 、1F 共线，
∵(0,66A ，1F （－3,0），∴直线1AF 的方程为1366x +=-，即326x =代入2218
y x -=整理得
2960y +-=，解得6y =86y =-(舍)，所以P 点的纵坐标为26，
∴11APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-=
11
66662622
⨯⨯⨯⨯6
4.【2015高考天津，文5】已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆
()
2
22y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（ ）
(A)
221913x y -= (B) 221139
x y -= (C) 2213x y -= (D) 22
13y x -= 【答案】D
【解析】由双曲线的渐近线0bx ay -=与圆()
2
22
y 3x -+=22
3a b =+由2c ==,解得
1,a b ==故选D.
5.【2015高考湖南，文6】若双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为( )
A 、54 C 、43 D 、5
3
【答案】D
【解析】因为双曲线22
221x y a b
-=的一条渐近线经过点（3，-4），
2225
349163
c b a c a a e a ∴=∴-=∴=
，（），=． 故选D. 6.【2015高考安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）
（A ）22
14y x -= （B ）2
214
x y -= （C ）22
12y x -= （D ）2
212
x y -= 【答案】A
【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A .
7.【2015高考湖北，文9】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）
A ．对任意的,a b ，12e e >
B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <
C ．对任意的,a b ，12e e <
D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >
【答案】D.
8.【2015高考北京，文12】已知()2,0是双曲线2
2
21y x b
-=（0b >）的一个焦点，则b = ．
3【解析】由题意知2,1c a ==，2
2
2
3b c a =-=，所以3b =
9.【2015高考上海，文12】已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为14
22
=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为 .
【答案】14
42
2=-y x
10.【2015高考山东，文15】过双曲线C ：22
221x y a a
-=0,0a b >>（）
的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 .
【答案】23
【解析】双曲线22221x y a a -=的右焦点为(,0)c .不妨设所作直线与双曲线的渐近线b
y x a =平行，其方程为
()b y x c a =-，代入22221x y a a -=求得点P 的横坐标为222a c x c +=
，由2222a c a c +=，得2()410c c
a a
-+=，解之得
2c a =23c a =（舍去，因为离心率1c
a
>）
，故双曲线的离心率为23
1.设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y ＝±1
2x
B.y ＝±2
2
x C.y ＝±2x
D.y ＝±2x
【答案】B
【解析】因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2
＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±
2
2
x ，故选B. 2.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5
4
，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( )
A.x 24－y 23＝1
B.x 29－y 2
16＝1 C.
x 2
16－y 29
＝1
D.x 23－y 2
4
＝1 【答案】C
【解析】因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54
，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2
＝9，所以所求
双曲线方程为x 216－y 2
9
＝1，故选C.
3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，右焦点F 到渐近线的距离为2，点F 到原点的距离为3，则双曲线C 的
离心率e 为( )
A.
53 B.355 C.63 D.62
【答案】B
4.已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2
－y 2
＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14 B.35 C.34 D.45 【答案】C
【解析】由x 2
－y 2
＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2. 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，
∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，
在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝4，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－|F 1F 2|2
2|PF 1|·|PF 2|＝34
.
5.过双曲线x 2
－y 2
3
＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )
A.
43
3
B.2 3
C.6
D.4 3 【答案】D
【解析】由题意知，双曲线x 2
－y 2
3＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的
坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.
6.过双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为
圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )
A.x 24－y 2
12＝1 B.x 27－y 2
9＝1 C.x 28－y 28＝1
D.x 212－y 2
4
＝1 【答案】A
7.若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，
则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤1，52 B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤1，
72 C.⎣⎢
⎡⎭⎪⎫
52，＋∞ D.⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
72，＋∞ 【答案】C
【解析】由条件，得|OP |2
＝2ab ，又P 为双曲线上一点，从而|OP |≥a ，∴2ab ≥a 2
，∴2b ≥a ，又∵c 2
＝a 2
＋b 2
≥a
2
＋a 24＝54a 2，∴e ＝c a ≥5
2
. 8.已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255
.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →
，求△AOB 的面积.
解 (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，
|2×0＋a |5＝255，
9.已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10). (1)求双曲线的方程；
(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→
＝0. (1)解 ∵e ＝2，
∴可设双曲线的方程为x 2
－y 2
＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2
－y 2＝6.
(2)证明 法一 由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴k MF 1＝
m 3＋23，k MF 2＝m
3－23，
k MF 1·k MF 2＝
m 29－12＝－m 2
3
.。