北大数学基础之研究生考试

启用前机密 北京大学2005年硕士生研究生入学考试试题 考试科目：计算机数学基础 考试时间：2005年1月23日上午 招生专业：计算机科学与技术 研究方向：
说明：答题一律写在答题纸上（含填空题，选择题等客观题），写在此页上无效
一．高等数学部分（共70分）
1．（8分）求lim n →∞
2．（10分）设arctan
ln y
x =，求'y ，''y 。

3．（每小题8分，共16分）求下列不定积分
(1)x ⎰ (2)cos ln x xdx ⎰
4．（8分）求21
1
|cos(ln )|n e d dx dx x π-⎰，其中n 为自然数。

5．（8分）若02π
βα<≤<，试证：
22tan tan cos cos αβ
αβαββ
α--≤-≤
6．（10分）求21
n n n x ∞=∑。

7．（10分）设曲线y=f(x)是0x ≥上的非负连续函数，V （t ）表示由y=f(x)，x=0，x=t （t>0）和y=0所围成的图形绕直线x=t 旋转而成的旋转体体积。

试证明：
22()2()d v t f t dt π=。

二．离散数学部分（共80分）
1．（10分）叙述并证明集合运算的吸收律（其中一条即可）。

2．（10分）在二个元素的集合上，有多少种不同的二元关系？写出其中等价关系对应的划分，画出其中偏序关系的哈斯图，画出其中全函数的关系圈。

3．（10分）在一群人中，说同一方言的人可直接对话，不说同一方言的人也可能通过其他人的翻译来间接对话。

下列两个条件等价吗？为什么？
条件一：这群人中任何两人都能直接或间接对话。

条件二：无论怎样把这群人分成两组，总能在两组中各找出一人，这二人能直接对话。

4．（10分）地球上是否存在这样五个国家，其中每个国家都是一块连通的区域，任何两个国家之间至少有一段公共边界？为什么？
5．（10分）一只老鼠吃333⨯⨯立方体的奶酪。

方法是借助于打洞通过所有27个111⨯⨯子立方体。

如果它在一个角上开始，然后依次走向未吃的子立方体。

问它吃完时能否在立方体的中心？为什么？
6．（10分）判断下列集合A 和二元运算*是否构成代数系统，其中Z ，R 分别代表整数和实数集合。

如果构成代数系统V ，说明*运算是否满足交换律，结合律，幂等律。

如果V 中有
单位元，求出这个单位元并找出V 中所有可逆元素的逆元。

（1）,,,*A Z x y A x y x y xy = ∀∈ =+-
（2）,,,*||A R x y A x y x y = ∀∈ =-
（3）{|}A nZ nk k Z ==∈，n 为正整数，*为普通乘法
（4）({,}),,,*,A P a b x y A x y x y = ∀∈ =⊕ ⊕为集合的对称差
（5）A 是集合B 上的所有等价关系的集合，,,*x y A x y x y ∀∈ =⋂
7．（10分）12,G Z =<⊕>是模12整数加群。

写出G 的所有子群；画出子群格(),L G <⊆>
的哈斯图；说明该格是否为分配格，模格，有补格及布尔代数。

8．（10分）设12:f G G →是群同态映射，且G2为交换群，N 是G1的子群，且ker f N ⊆，
证明N 是G1的正规子群。