模糊数学——第10次课 基于模糊等价关系的聚类分析

故此时{x1, x3, x4, x5}为一类，{x2}为一类。
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选取 = 0.6，则此时R*的截矩阵变为
1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0.3 R* 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.2 0.4 0.4 0.2 1 0.5 0.3 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.3 0.6 1
1 0.4 R 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
当 当 当 当 当
1时，分类为{ x1 },{ x2 },{ x3 },{ x4 },{ x5 }; 0.8时，分类为{ x1 , x3 },{ x2 },{ x4 },{ x5 }; 0.6时，分类为{ x1 , x3 },{ x2 },{ x4 , x5 }; 0.5时，分类为{ x1 , x3 , x4 , x5 },{ x2 }; 0.4时，分类为{ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 }.
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模糊聚类分析
例2：设有模糊相似矩阵
0.1 0.2 1 R 0.1 1 0.3 0.2 0.3 1 0.2 0.2 1 R R 0.2 1 0.3 R 2 0.2 0.3 1 0.2 0.2 1 2 2 R R 0.2 1 0.3 R 2 t ( R ). 0.2 0.3 1
2 5 3 1 1 i j
i j
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用平方法合成传递闭包
1 0.3 R 2 0.8 0.5 0.5 0.3 0.8 0.5 0.5 1 0.2 0.4 0.4 0.2 1 0.5 0.3 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.3 0.6 1
故此时{x1}, {x2}, { x3}, {x4 }, {x5}各为一类。
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模糊聚类分析
画出动态聚类图如下：
1 0.8 0.6 0.5 0.4
x1
x2
x3
x4
x5
注意：根据实际问题，调整的值以获得恰当的分类结果
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模糊聚类分析的简要流程:
输入样本个数 n 输入特征变量个数 m
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0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.2 0.4 0.4 0.2 1 0.5 0.3 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.3 0.6 1
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Q R4 R4 R4 , t ( R ) R 4 R*
选取 = 0.5，则此时R*的截矩阵变为
1 0.1 R 0.8 0.5 0.3
0.1 0.8 0.5 0.3 1 0.1 0.2 0.4 0.1 1 0.3 0.1 0.2 0.3 1 0.6 0.4 0.1 0.6 1
1 0.3 R 4 0.8 0.5 0.5
i, j = 1, 2, 3, 4, 5
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模糊聚类分析
根据上述关系求出rij，建立模糊相似关系矩阵
1 0.1 R 0.8 0.5 0.3
0.1 0.8 0.5 1 0.1 0.2 0.1 1 0.3 0.2 0.3 1 0.4 0.1 0.6
5 5 3 0.3 2 3 4 0.4 X* 5 5 2 0.1 1 5 3 2 4 5 0.6 1 1 4 rij 1 c xik x jk k 1
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模糊聚类分析
例：考虑某环保部门对该地区 5 个环境区域
பைடு நூலகம்
X { x1 , x2 , x3 , x4 , x5 }按污染情况进行分类。设每个区
域包含空气、水分、土壤、作物 4 个要素，环境区域 的污染情况由污染物在 4 个要素中的含量超过的程度 来衡量。设这 5 个环境区域的污染数据为：
1 0 R1* 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0.3 R* 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.2 0.4 0.4 0.2 1 0.5 0.3 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.3 0.6 1
输出动态聚类图
输入
xij
是否选择最佳分类？
N
给出分类数 r
Y
选择建立相似 关系的方法
确定最佳分类阈值

输出分类结果
计算
R (rij )nn
结束
求传递闭包
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t ( R)
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1 0 * R0.5 1 1 1
1 0 1 1 1 1 0 0 0 0.3 R* 0.8 0 1 1 0 0.5 0 1 1 1 0.5 0 0 1 1 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.2 0.4 0.4 0.2 1 0.5 0.3 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.3 0.6 1
内容回顾：
（1） 聚类分析：按一定标准对事物进行分类的数学方法。 （2） 系统聚类法：先在样品中定义类与类的距离，先将每个样品 自成一类，然后每次将具有两个最小距离的类合并，合并后 重新计算类与类之间的距离，再合并类。直至将所有样品都 归为一类。这种聚类法称为系统聚类法。最终得到的样品分 类过程图称为聚类谱系图。
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(3) 逐步聚类法：先选择某一样本作为核心，称为“聚类中 心”，对系统进行初步分类。然后根据分类函数尽可能 小的原则，对初步分类进行调整优化，直到分类合理为 止。 (4) 模糊聚类法：利用模糊数学中的模糊理论来处理分类问 题的方法。
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模糊聚类分析
7.3 基于模糊等价关系的动态聚类法
——模糊传递闭包法
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模糊聚类分析
定义：设 R (rij )nn 是 n阶模糊方阵， I 是 n 阶 单位方阵，若 R 满足 （1） 自反性： I R ； （2） 对称性： RT R ； 则称 R 为模糊相似矩阵。
定理：设 R 是 n阶模糊相似矩阵，则存在一 个最小的自然数 k ( k n) ， 使得 R k 为模糊等价矩 阵，且对一切大于 k 的自然数 l ，恒有 R l R k . R k 称为 R 的传递闭包矩阵，记为 t ( R ).
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模糊聚类分析
画出动态聚类图如下：
1 0.8 0.6 0.5 0.4
x1
x2
x3
x4
x5
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模糊聚类分析
基于模糊等价关系聚类的步骤： １、建立数据矩阵 ２、建立模糊相似矩阵：相似系数法、距离法
3、基于模糊等价关系聚类并画出动态聚类图
①求出模糊相似矩阵 R 的传递闭包 t ( R )； ②按 由大到小进行聚类； ③画出动态聚类图。
x1 (5,5,3, 2), x2 (2,3, 4,5), x3 (5,5, 2,3), x4 (1,5,3,1), x5 (2, 4,5,1).
试对 X 进行分类。
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模糊聚类分析
5 2 X* 5 1 2 5 3 2 3 4 5 5 2 3 5 3 1 4 5 1
0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.2 0.4 0.4 0.2 1 0.5 0.3 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.3 0.6 1
故此时{x1, x3}为一类，{x2}, {x4}, {x5}各为一类。
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选取 = 1，则此时R*的截矩阵变为
* R0.6
故此时{x1, x3}为一类，{x2}为一类, {x4, x5}为一类。
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选取 = 0.8，则此时R*的截矩阵变为
1 0 * R0.8 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0.3 * R 0.8 0 1 0 0 0.5 0 0 1 0 0.5 0 0 0 1
结论：模糊等价关系（矩阵）的每一个截矩阵都 对应一个普通等价关系。
利用上述结论，对论域进行分类。当截集水平从1变 化到0时，可以得到论域从细到粗的不同的分类，形成 一个动态的聚类图。
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模糊聚类分析
例1：设U { x1 , x2 , x3 , x4 , x5 }, 它上面有模糊等价关系
解：由题设知特性指标矩阵为
采用“绝对值减数法”建立近似关系： xij 1 x1 j , x2ij , j, xnj ) M j max( x ij Mj 4 rij 1 c xik x jk i j k 1
其中，c = 0.1,
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