河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试(六)数学(理科)

河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试（六）
数学（理科）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}1,3,5,6A =，{}8|0B x N x =∈<<，则图中阴影部分表示的集合的元素个数为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2．在复平面内，复数20592i
z i
-=
+的共轭复数对应的向量OZ 为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．若双曲线1C 与双曲线2C ：22
146
x y -=有共同的渐近线，且1C 过点(2,3)，则双曲
线1C 的方程为（ ）
A ．22
1
2y -= B 22
12y -= C ．22
123x y -=
D ．22
132
y x -=
4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35a =，4
2
4S S =，则10a =（ ） A ．9
B ．11
C ．19
D ．21
5．已知正方体1111ABCD
A B C D ﹣中，E 、H 分别为1DD 、AB 的中点，点F 、G 分别在线段BC 、1CC 上，且1
4
CF CG BC ==
，则在F 、G 、H 这三点中任取两点确定的直线中，与平面ACE 平行的条数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．2021年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标
()~15,0.0025N ξ，单位为g ，该厂每天生产的质量在()14.9,15.05g g 的口罩数量为
818600件，则可以估计该厂每天生产的质量在15.15g 以上的口罩数量为（ ） 参考数据：若(
)2
~,N ξμσ
，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，
()220.9545P μσξμσ-<<+=，()330.9973P μσξμσ-<<+=．
A ．158 700
B ．22 750
C ．2 700
D ．1 350
7．已知定义域为R 的函数()f x 的图象关于原点对称，且()()260f x f x -++=，
当[]0,4x ∈时，()31,022
55,248
2x
x f x x x ⎧⎛⎫-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+≤≤⎪⎩，则()()()20202021f f f +=（ ）
A ．5
8
-
B ．38
C ．
58
D ．
138
8．2021年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播、微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男、女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生总数量可能为（ ）
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
A ．130
B ．190
C ．240
D ．250
9．已知函数()sin (0)f x x ωω=>满足对任意x ∈R ，()(π)f x f x =+，则函数()f x 在[0,2π]上的零点个数不可能为（ ） A ．5
B ．9
C ．21
D ．23
10．已知2ln m π=，2ln 1
n π=-，2
2ln p π
=
-，则（ ）
A ．n p m >>
B ．p n m >>
C ．m n p >>
D ．n m p >>
11．已知ABC 中，点M 在线段AB 上，260
ACB BCM ∠=∠=︒，且
2
3
CM CB CA λ-=.若||6CM =，则CM AB ⋅=（ ）
A ．
B ．
C ．27
D ．18
12．已知直三棱柱11
1ABC
A B C ﹣
中，AB AC ⊥，11AB AC AA ===，若点M 在线段1AA 上运动，则四棱锥1
1M BCC B -外接球半径的取值范围为（
）
A ．
,28
⎣⎦
B ．
24
⎣⎦ C ．,28⎣⎦ D ．24⎣⎦
二、填空题
13．已知实数x ，y 满足326
23?3x y x y y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则2z x y =+的最大值为_____．
14．运行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为________.
15．已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点F 到准线的距离为4，过点F 和(,0)R m 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点.若RP PF =，则||PQ =________.
三、双空题
16．已知数列{}n a 满足128
1n n na n a +-=-（*n N ∈），12375a a a ++=，记
12323434512n n n n S a a a a a a a a a a a a ++=+++
+，则2a =_____，使得n S 取得最大值的n
的值为_____．
四、解答题
17．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，且b =
c =
2cos 0ABC S B =△（ABC
S
为ABC 的面积）．
（Ⅰ）求tan A 的值；
（Ⅱ）已知点M 在线段AB 上，求
sin BM
BCM
∠的最小值．
18．已知四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，且120ABC ∠=，SBC 为等边三角形，平面SBC ⊥平面ABCD ．
（Ⅰ）求证：BC SD ⊥；
（Ⅱ）若点E 是线段SA 上靠近S 的三等分点，求直线DE 与平面SAB 所成角的正弦值．
19．已知椭圆C ：22
221x y a b +=（0a b >>
）过点1,2
⎛ ⎝⎭，顺次连接椭圆C 的4个顶点，得到的四边形的面积为4． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知直线l ：2y kx =+与椭圆C 交于M ，N 两点，若MON ∠为锐角（O 为坐标原点），求实数k 的取值范围．
20．某24小时便利店计划购进一款盒装寿司（保质期为2天），已知该款寿司的进价为10元/盒，售价为15元/盒，如果2天之内无法销售，就当做垃圾处理，且2天内的销售情况相互独立，若该便利店每两天购进一批新做寿司，连续200天该款寿司的日销售情况如表所示：
（Ⅰ）求便利店该款寿司这200天的日销售量的方差s 2；
（Ⅱ）若n 表示该便利店某日的寿司进货量，用这200天的日销售量频率代替对应日需求量的概率，以连续两天的销售总利润为决策依据，判断52n =和53n =哪一种进货量更加合适，并说明理由．
参考数据：2650.7775206.0375⨯=，2500.162540.625⨯=． 21．已知函数()()
2
11x
f x x e =+-.
（Ⅰ）求函数()f x 在[]1,1-上的最值；
（Ⅱ）若函数()()g x f x mx =-在[)1,-+∞上有两个零点，求实数m 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y γ
γ
=⎧⎨
=+⎩(γ为参数)，曲线2
C 的参数方程为1,121s x s
s y s -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
(s 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极
坐秘系，已知点A 的极坐标为(1,π)，直线l ：θα=(ρ∈R )与2C 交于点B ，其中
π0,2
α⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
．
（1）求曲线1C 的极坐标方程以及曲线2C 的普通方程； （2）过点A 的直线m 与1C 交于M ，N 两点，若//l m ，且||||
4||
AM AN OB +=，求α的
值．
23．已知正数m 、n 、p 满足2224m n p ++=.
（Ⅰ）比较ln ln ln m n p ++与241x x -+-的大小关系，并说明理由； （Ⅱ）若2m n mn +=，求p 的最大值.
参考答案
1．B 【分析】
求出集合A ，B ，图中阴影部分表示的集合为B
A ，由此能求出图中阴影部分表示的集合的
元素个数． 【详解】
解：∵集合{}1,3,5,6A =，
{}{}081,2,3,4,5,6,7|B x N x =∈<<=，
∴图中阴影部分表示的集合为
{}2,4,7B
A =，
∴图中阴影部分表示的集合的元素个数为3． 故选：B ． 【点睛】
本题考查图示法表示集合的相互关系，考查求集合的补集运算，属于基础题. 2．A 【分析】
根据复数的运算法则进行化简，结合复数的几何意义进行判断，即可求解． 【详解】 由题意，复数()()()()
2059220517085292929285i i i i
z i i i i ----=
===-++-，
则2z i =+，共轭复数对应的向量()2,1OZ =， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的几何意义及其应用，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 3．D 【分析】
根据双曲线1C 与双曲线2C ：22
146
x y -=有共同的渐近线，设双曲线1C 的方程为
22
46
x y λ-=，然后将(2,3)代入求解. 【详解】
设双曲线1C 的方程为2246
x y λ-=，
将(2,3)代入， 解得1
2
λ=-
， 故双曲线1C 的方程为22
132
y x -=.
故选：D 【点睛】
本题考查双曲线的方程与性质，还考查了逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题. 4．C 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件列出首项1a 和公差d 的方程，求出通项公式，从而可得出答案. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ， 由35a =，
42
4S S =，得11125,? 4684.
a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得112a d =⎧⎨=⎩，， 所以12(1)21n a n n =+-=-，故1019a =. 故选：C 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查数学运算的核心素养,属于基础题. 5．B 【分析】
由题意作出图形，取CE 、1CC 的中点I 、M ，连接AI 、IG 、EM ，证明出//AI GH ，利用线面平行的判定定理可知//GH 平面ACE ，又HF 、GF 均不与平面ACE 平行，即
可得出结论. 【详解】
作出图形如下所示，取CE 、1CC 的中点I 、M ，连接AI 、IG 、EM ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，11//CC DD 且11CC DD =，
E 、M 分别为1DD 、1CC 的中点，//DE CM ∴且DE CM =， ∴四边形CDEM 为平行四边形，//EM CD ∴且EM CD =，
I 、G 分别为CE 、CM 的中点，则//IG EM 且1
2
IG EM =
， //AB CD 且AB CD =，//EM AB ∴且EM AB =，
H 为AB 的中点，//AH EM ∴且1
2
AH EM =
，//AH IG ∴且AH IG =， ∴四边形AHGI 为平行四边形，则//GH AI ，
又GH ⊄平面ACE ，AI
⊂平面ACE ，故//GH 平面ACE ；
若//HF 平面ACE ，HF ⊂平面ABCD ，平面ABCD
平面ACE AC =，则//HF AC ，
由于H 为AB 的中点，则F 为BC 的中点，矛盾，故HF 与平面ACE 不平行； 过点F 作//FN AB 交AC 于点N ，连接IN ，
14CF CB =，则1
4
FN AB =，
若//FG 平面ACE ，FG ⊂平面FGIN ，平面FGIN 平面ACE IN =，//FG IN ∴，
//IG EM ，//AB EM ，//FN AB ，//IG FN ∴，则四边形FGIN 是平行四边形，
但11
22
IG EM AB =
=，则IG NF ≠，矛盾. 故在F 、G 、H 这三点中任取两点确定的直线中，与平面ACE 平行的条数为1． 故选：B ． 【点睛】
本题考查线面平行的判断，考查了线面平行的判定和性质定理的应用，考查推理能力，属于中等题. 6．D 【分析】
根据正态分布模型，计算对应的概率值，从而求出对应的频数． 【详解】
由题意知，()~15,0.0025N ξ，即15μ=，20.0025σ=，即0.05σ=； 所以()()0.68270.9545
14.915.0520.81862
P P ξμσξμσ+<<=-<<+=
=，
所以该厂每天生产的口罩总量为8186000.81861000000÷=（件）， 又()()10.9973
15.1532
P P ξξμσ->=>+=
， 所以估计该厂每天生产的质量在15.15g 以上的口罩数量为10.9973
100000013502
-⨯=（件）． 故选：D 【点睛】
本题主要考查了正态分布，利用正态曲线的对称性求概率，属于容易题. 7．A 【分析】
推导出函数()y f x =是周期为8的周期函数，据此可得()()20204f f =，
()()()202133f f f =-=-，结合函数的解析式求出()()2020f f 和()2021f 的值，计
算可得答案． 【详解】
根据题意，定义域为R 的函数()y f x =的图象关于原点对称，即函数()y f x =为奇函数，则有()()f x f x -=-，
由()()260f x f x -++=，得()()()622f x f x f x +=--=-， 变形可得()()8f x f x +=，即函数()y f x =是周期为8的周期函数，
则()()()2020482524f f f =+⨯=，()()()()20213253833f f f f =-+⨯=-=-，
又由当[]0,4x ∈时，()31,02
2
55,24
8
2x
x f x x x ⎧⎛⎫-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-+≤≤⎪⎩，则()40f =，()538f =.
则()()202040f f ==，则有()()()202040f f f ==.
故()()()55
20202021088
f
f f +=-=-. 故选：A ． 【点睛】
本题考查利用函数的基本性质求函数值，推导出函数的周期是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 8．B 【分析】
设男、女生的人数都为5x ，列出22⨯列联表，计算2K 的值，查表解不等式即可. 【详解】
依题意，设男、女生的人数都为5x ，则男、女学生总数量为10x ， 建立22⨯列联表如下所示：
故()2
2
22
831010553721
x x x
x K x x x x =
⋅⋅⋅⋅-=
，由题可知106.63510.82821x <<， 所以139.33510227.388x <<.只有B 符合题意. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查独立性检验，考查数学运算、数学建模的核心素养. 9．D 【分析】
根据题意，可知π为函数()f x 的最小正周期的整数倍，根据最小正周期公式算得2k ω=，*k ∈N ，
分析出当1,2,3,4,5k =时，函数()f x 的零点个数，总结出当2k ω=，*k ∈N 时，
函数()f x 在[0,2π]上有41k +个零点，即可得出答案. 【详解】
解：由于()(π)f x f x =+，得π为函数()f x 的最小正周期的整数倍，
且
*2π
π
,k k
ω
=
∈N ， 所以2k ω=，*k ∈N ，
故当1k =，2=ω时，函数()f x 在[0,2π]上有5个零点， 当2k =，4ω=时，函数()f x 在[0,2]π上有9个零点， 当3k =，6ω=时，函数()f x 在[0,2π]上有13个零点， 当4k =，8ω=时，函数()f x 在[0,2π]上有17个零点， 当5k =，10ω=时，函数()f x 在[0,2π]上有21个零点，…，
故当2k ω=，*k ∈N 时，函数()f x 在[0,2π]上有41k +个零点，只有选项D 不符合. 故选：D. 【点睛】
本题考查三角函数的图象与性质，涉及正弦型函数的周期性和零点个数，考查分析和运算能力. 10．A 【分析】 可知
2
1ln m π
=
>，20ln 1n π=
>-，202ln p π
=>-，比较三个分式的分母的大小，利用不等式的基本性质可得出结论. 【详解】
可知0m >，0n >，0p >，
因为
22ln 1
ln
n e
ππ=
=
-，
22
2
2ln ln
p e π
π
=
=
-， 又
2
2
3
ln
ln
ln
ln10e e
e
π
ππ
-=<=，所以2
ln
ln
e e
π
π
<，故n p >，
而
2
2ln 1
ln m ππ
==
，而()112ln ln 220ln ln ππππ--=+->>，
所以
12ln ln ππ>-，即22ln 21n ππ
<-，即<m p . 因此，n p m >>. 故选：A ． 【点睛】
本题考查代数式的大小比较，考查对数函数单调性与不等式性质的应用，考查推理能力，属于中等题. 11．C 【分析】
依题意，得2
3
CM CB CA λ=+
，而A ，B ，M 三点共线，所以13λ=.以C 为原点，CA 为
x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设||CA a =
，||CB b =，
根据条件可得2b B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
M ，再由12
33
CM CB CA =+，可建立关于a b ，的方程，可求出a b ，，从而得
出答案. 【详解】
依题意，得2
3
CM CB CA λ=+
，而A ，B ，M 三点共线，所以13λ=.
以C 为原点，CA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设||CA a =，||CB b =，则(,0)A a ，
由260ACB BCM ∠=∠=︒
，则2b B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，30BCM ∠=︒ 又||6CM =
，则M . 由于1233CM CB CA =
+
，即2,063
b a ⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以2
63
3,? b a ⎧+=⎪⎪=⎩
解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以(0,9)AB =，
所以27CM AB ⋅=. 故选：C
【点睛】
本题考查三点共线的充要条件、平面向量的基本定理、向量的坐标表示，考查直观想象、数学建模的核心素养，属于中档题. 12．C 【分析】
首先把三棱柱体转换为正方体，利用B 、C 、1C 、1B 在球面上，球心G 在线段2OO
上，整
理出关系式222
R x y =+，且22
22R y ⎛=+- ⎝⎭⎝⎭
，然后利用勾股定理的应用建立二
次函数的关系式，再利用二次函数的最值的应用求出结果． 【详解】
将三棱柱111ABC A B C -补成一个正方体1111ABDC A B D C -． 设四棱锥体11M BCC B -外接球的球心为G ，1AA 的中点为1O ，
1DD 的中点为2O ，12O O 的中点为O ，如图所示，
则12OO =
，OB =， 由于B 、C 、1C 、1B 在球面上，所以球心G 在线段2OO 上， 设GM GB R ==，1O M x =，1O G y =，
则2
OG y =-
，在1Rt O MG △中，222
R x y =+①
在1Rt O BG 中，2
2
2
22R y ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
②，
联立①②得2
54
x =
，由于102x ≤≤，
故
28
y ≤
，
故2
2222
53325,424432R x y y y ⎛⎡⎤=+=+=+∈ ⎢⎥ ⎣⎦⎝⎭
，
所以,28R ∈⎣⎦
．
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查求几何体外接球的半径取值范围，熟记几何体结构特征即可，属于常考题型. 13．11 【分析】
先画出不等式组所表示的平面区域，再将目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，根据目标函数的几何意义，结合图像，即可求出结果. 【详解】
已知实数x ，y 满足326
233x y x y y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，
因为目标函数2z x y =+化为2y x z =-+，
所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴的截距，由图像可得， 当直线2y x z =-+过点A 时，在y 轴的截距最大，即z 最大，
由3263x y y -=⎧⎨=⎩
解得()4,3A ，23x y +=
此时max 8311z =+=. 故答案为：11．
【点睛】
本题主要考查简单的线性规划问题，利用数形结合的方法求解即可，属于常考题型. 14．1011 【分析】
根据程序框图可得T 是对偶数求和，N 是对奇数求和，再根据循环条件可分别得出奇数、偶数的个数，从而得出答案. 【详解】
依题意，024*********T =++++
++，135720192021N =++++++，
故()()()13254202120201011S N T =-=+-+-++-=.
故答案为：1011 【点睛】
本题考查算法与程序框图，考查循环结构，考查直观想象、推理论证的核心素养，属于中档题. 15．9 【分析】
根据抛物线C ：2
2(0)x py p =>的焦点F 到准线的距离为4，求得抛物线方程2
8x y =.
再由RP PF =和(0,2)F ，得到点P 的坐标，进而得到直线l 的方程，与抛物线方程联立求得Q 的坐标，再由两点间距离公式求解. 【详解】
由抛物线C ：2
2(0)x py p =>的焦点F 到准线的距离为4， 所以=4p ，
所以抛物线方程为2
8x y =. 因为RP PF =，(0,2)F ， 所以点P 的纵坐标为1，
代入抛物线方程，可得点P 的横坐标为±，
不妨设(P -，则
4PF k =
=
故直线l 的方程为24
y x =
+，
将其代入2
8x y =得2160x --=.
可得Q ， 故
||PQ =
.
故答案为：9 【点睛】
本题主要考查抛物线的方程与性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16．25 10 【分析】
由已知递推式可得128a =，225a =，322a =，推得()
128
11n n a a n n n n +-=---，可令1
n n a c n
+=
（2n ≥），运用叠加法可得n c ，313n a n =-，求得()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++==---，令0n b ≥，求得n 的范围，即可得到所求
最大值n ． 【详解】 由
1
28
1n n na n a +-=-（*n N ∈），可取1n =，即1280a -=，可得128a =，
取2n =，可得
23
228
1a a -=，即32228a a =-，又12375a a a ++=， 可得225a =，322a =，当2n ≥时，由
1
28
1n n na n a +-=-可得()12811n n a a n n n n +-=---，
可令1n n a c n +=
（2n ≥），则11
1281n n c c n n -⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭
，
由()()121111
11112812
321n n n c c c c c c c n n -⎛⎫
=+-+
+-=+-+-+
+
- ⎪-⎝⎭
， 可得1211281281n c c a n n ⎛⎫⎛⎫=+-=+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则()()1222812828n n a nc na n n a +==+-=+-， 故1283n a n +=-（2n ≥），所以313n a n =-（3n ≥），
又128a =，225a =，也符合上式，所以313n a n =-， 于是()()()12313283253n n n n b a a a n n n ++==---，
由0n b ≥，可得()()()3132832530n n n ---≥，解得18n ≤≤（*n N ∈）或10n =， 又因为98b =-，1010b =，所以10n =时，n S 取得最大值． 故答案为：25，10． 【点睛】
本题主要考查由递推关系求数列中的项，以及求数列的前n 项和的最值，属于常考题型.
17．（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】
（Ⅰ）由题意利用三角形的面积公式结合cos 0B ≠，可求tan B =，结合范围()0,B π∈，
可求3
B π
=
，由正弦定理解得sin 7
C =
，结合b c >，利用同角三角函数基本关系式可求cos C ，tan C 的值，进而利用两角和的正切函数公式即可求解tan A 的值． （Ⅱ）在ABC 中，由余弦定理可得a 的值，在MBC △中，由正弦定理得
sin sin BM CM BCM B ==∠，由（Ⅰ）可知，A ，B 为锐角，可得当CM BA ⊥时，点
M 在线段AB 上，CM 取得最小值sin a B =，即可求解sin BM BCM ∠的最小值．
【详解】
解：（Ⅰ）由题意可得cos 2ABC S ac B =△，即1sin cos 22
ac B ac B =， 因为cos 0B ≠，
所以tan B =()0,B π∈，所以3
B π
=
，
由正弦定理sin sin b c
B C
=sin 2
C
=，解得sin C =，
因为b c >，故cos C ==
tan C =，
故(
)tan tan A B C =-+==
（Ⅱ）在ABC
中，由余弦定理，可得
(
2
2
22cos
3
a π
=+-⋅⋅，
解得a =
，或a =， 在MBC △
中，由正弦定理，可得sin sin BM CM BCM B ==∠，
由（Ⅰ）可知，A ，B 为锐角，
所以当CM BA ⊥时，点M 在线段AB 上，CM
取得最小值sin 2
a B =
， 故
sin BM
BCM
∠
的最小值为
【点睛】
本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，属于中档题. 18．（Ⅰ）证明见解析；
【分析】
（Ⅰ）取BC 的中点F ，连接BD 、DF 和SF ，证明BC ⊥平面SDF 即可；
（Ⅱ）证明SF 、BC 、DF 两两垂直，由此建立空间直角坐标系F xyz -，求出平面SAB 的一个法向量，再求直线DE 与平面SAB 所成角的正弦值． 【详解】
（Ⅰ）取BC 的中点F ，连接BD 、DF 和SF ，
因为SBC 为等边三角形，所以SF BC ⊥； 又四边形ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒， 所以BCD 为等边三角形，所以DF BC ⊥； 又SF
DF F =，SF ⊂平面SDF ，DF ⊂平面SDF ，
所以BC ⊥平面SDF ，又SD ⊂平面SDF ， 所以BC SD ⊥；
（Ⅱ）解：因为平面SBC ⊥平面ABCD ，平面SBC
平面ABCD BC =，
SF BC ⊥，SF ⊂平面SBC ，所以SF ⊥平面ABCD ；
又DF BC ⊥，所以SF 、BC 、DF 两两垂直；
以点F 为坐标原点，FC 、FD 、FS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系F xyz -，如图所示；
不妨设2AB =
，则()
A -，()1,0,0
B -
，(S ；
所以()
1,AB =
，(2,AS =； 设平面SAB 的一个法向量为(),,m x y z =，
由00m AB m AS ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，得30
20
x y x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，
令1y =，得(
)
3,1,1m =-，
又1233SE SA ⎛=
=- ⎝⎭
，所以23E ⎛- ⎝⎭
， 又()
D
，所以2,333DE ⎛=-- ⎝⎭
，
设直线DE 与平面SAB 所成的角为θ，
则23sin 412
DE m DE m
θ-⋅=
=
=
⨯+．
所以直线DE 与平面SAB
所成角的正弦值为35
. 【点睛】
本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，考查空间直线和平面所成角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．（Ⅰ）22
14x y +=；（Ⅱ）2,2⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【分析】
（Ⅰ）由题可知，22
115141612242
a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅⋅=⎪⎩，解之即可得a 和b 的值，从而求得椭圆的方程；
（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，消去y ，结合韦达定理求出12x x 和12y y ，由于MON ∠为锐角，所以0OM ON ⋅>，即12120x x y y +>，代入结论解不等式即可得k 的取值范围． 【详解】
解：（Ⅰ）由题可知，22
1
151********
a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅⋅=⎪⎩，解得2a =，1b =，
故椭圆的方程为2
214
x y +=．
（Ⅱ）联立22
21
4
y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22
14304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭， 由
()22214434304k k k ⎛⎫
∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭
，得k <
或k > 设()11,M x y ，()22,N x y ，所以
122414
k x x k +=-
+
，
122314
x x k =
+
， 所以()()()2
222
12121212222381
22244111444
k k k y y kx kx k x x k x x k k k --+=++=+++=++=+++
．
因为MON ∠为锐角，所以0OM ON ⋅>，即222
3
1
1144
k k k -++>++
，解得24k <，即22k -<<，
综上所述，实数k
的取值范围为2,2⎛⎫
-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
【点睛】
本题考查根据点在椭圆上和椭圆的性质求椭圆方程，考查方程联立韦达定理的应用，考查求参数的范围，属于中档题.
20．（Ⅰ）1.5；（Ⅱ）53n =更加合适，理由见解析. 【分析】
（Ⅰ）由频数分布列先求出便利店该款寿司这200天的日销售量的平均数，由此能求出便利店该款寿司这200天的日销售量的方差2s ．
（Ⅱ）连续两天需求量的可能情况列表，求出当52n =时，连续两天的销售总利润i Y 的分布列和()1E Y 及当53n =时，连续两天的销售总利润Y 2的分布列和()2E Y ，由
()()21E Y E Y >，得到53n =更加合适．
【详解】
（Ⅰ）日销售量为25，26，27，28，29时，对应的频率分别为0.2，0.05，0.4，0.25，0.1， 则250.2260.05270.4280.25290.127x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
∴()()()()2
2
2
2
225270.226270.0528270.2529270.1 1.5s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=． （Ⅱ）依题意，连续两天需求量的可能情况如下表：
设当52n =和53n =时，连续两天的销售总利润分别为1Y ，2Y 元， 当52n =时，连续两天的销售总利润Y i 的分布列如下：
∴()12600.942450.022300.04258.5E Y =⨯+⨯+⨯=， 当53n =时，连续两天的销售总利润2Y 的分布列如下所示：
∴()22650.77752500.1622350.022200.04260.1625E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=． ∵()()21E Y E Y >， ∴53n =更加合适． 【点睛】
本题主要考查了平均值、方差的求法，离散型随机变量的分布列，期望，属于中档题. 21．（Ⅰ）最小值为
21e -，最大值为21e -；（Ⅱ）()21,11,e ⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
.
【分析】
（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数与函数单调性，最值即可求解；
（Ⅱ）先对函数求导，然后结合导数与函数单调性关系对m 进行分类讨论确定函数的单调性，然后结合函数的性质及零点存在性定理可求． 【详解】
（Ⅰ）依题意，(
)
2
2()12(1)0x x
f x x x e e x '=++=≥+， 故函数()f x 在[]1,1-上单调递增， 故函数()f x 的最小值为()2
11f e
-=
-，最大值为()112=-f e . （Ⅱ）因为()()
2
11x
g x x e mx =+--，
故()()2
1x g x x e m '=+-， ①当0m ≤时，()0g x '≥，
()g x 在[)1,-+∞上为增函数，
故函数()g x 在[)1,-+∞上不可能有两个零点； ②当0m >时，易知()g x '在[)1,-+∞上为增函数，
()01g m '=-，()00g =.
（i ）当1m =时，()00g '=，
0x >时，()0g x '>，
10x -<<时，()0g x '<，
故()g x 在[)1,0-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，
()()min 00g x g ==，
故()g x 在[)1,-+∞上有且仅有一个零点. （ii ）当1m 时，()00g '<，
()()()22
110m g m m e m m m '=+->+->，
故()00,x ∃∈+∞，使得()00g x '=. 所以在[)01,x -上，()00g x '<， 在()0,x +∞上，()00g x '
>，
所以()g x 在[)01,x -上为减函数，在()0,x +∞上为增函数. 所以()0(0)0g x g <=，
又(
)
(
)
2
2
2
2
()11110m g m m e m m m =+-->+--=， 根据零点存在性定理，可知()g x 在()0,x m 上有且只有一个零点. 又()g x 在[)01,x -上有且只有一个零点0， 故当1m 时，()g x 在[)1,-+∞上有两个零点. （iii ）当01m <<时，()10g m '-=-<，
()010g m '=->，
所以()'
01,0x ∃∈-，
使得()
'
00g x '=.
所以在)'
01,x ⎡-⎣上，()
'
00g x '<，在(
)'
0,x +∞上，()
'
00g x '>， 所以()g x 在)'
01,x ⎡-⎣上为减函数，在(
)
'
0,x +∞上为增函数.
因为()g x 在()
'
0,x +∞上有且只有一个零点0，
若()g x 在[)1,-+∞上有两个零点，则在)
'
01,x ⎡-⎣上有且只有一个零点.
又()
()'
000g x g <=，
所以()10g -≥，即2
10e
m +-≥， 故21m e ≥-
，即当2
11m e
-≤<时， ()g x 在[)1,-+∞上有两个零点.
综上所述，实数m 的取值范围为()21,11,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】
本题主要考查用导数的方法求函数的最值，以及由函数零点个数求参数的问题，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性，最值等，属于较难型. 22．（1）2sin ρθ=；10x y +-=(1x ≠-)（2）π
4
α=. 【分析】
（1）消去参数即可得曲线1C 、2C 的直角坐标方程，由极坐标方程与直角坐标方程转化公式即可得曲线1C 的极坐标方程；
（2）设直线l 的参数方程，进而可得直线m 的参数方程，分别与2C 、1C 联立，可得M ，N ，B 对应的参数M t ，N t ，B p 的关系，代入计算即可得解. 【详解】
（1）曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y γ
γ=⎧⎨=+⎩
，(γ为参数)，
∴曲线1C 的普通方程为22(1)1x y +-=，即2220x y y +-=．
由sin y ρθ=，222x y ρ=+得曲线1C 的极坐标方程为2
2sin 0ρρθ-=，
即曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=．
由曲线2C 的参数方程1121s x s
s y s -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
，(s 为参数),可得12111s s x y s s -+=
+=++， 又1(1)22
11111s s x s s s
--++=
==-+≠-+++， 故曲线2C 的普通方程为10x y +-=(1x ≠-)． （2）
A 的极坐标为(1,π)，故A 的直角坐标为(1,0)-，
设l ：cos ,sin x p y p αα
=⎧⎨
=⎩(p 为参数)，π0,2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
则直线m ：1cos sin x t y t αα
=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，π0,2α⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，
联立m ：1cos sin x t y t αα
=-+⎧⎨
=⎩与1C 的方程22
(1)1x y +-=，
得2
2(sin cos )10t t αα-++=,2
4(sin cos )40αα∆=+->，
联立l ：cos sin x p y p α
α
=⎧⎨
=⎩与2C 的方程10x y +-=(1x ≠-)，
得(sin cos )1(tan 2)p ααα+=≠-．
设M ，N ，B 对应的参数分别为M t ，N t ，B p ， 则2(sin cos )M N t t αα+=+，1
sin cos B p αα
=
+，
由π0,
2α⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
可得,,0M N B t t p >， ∴2(||||4
1||
sin cos )
sin cos AM AN OB ααα
α+++==，化简得2sin cos 1αα=即sin21α=， ∴π4
α=.
【点睛】
本题考查了参数方程、直角坐标方程及极坐标方程之间的转化以及直线参数方程的应用，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.
23．（Ⅰ）ln ln ln 241m n p x x ++<-+-，理由见解析；（Ⅱ
. 【分析】
（Ⅰ
）利用三元基本不等式得出mnp ≤
，然后利用对数的运算性质结合对数函数的单
调性得出ln ln ln 1m n p ++<，利用放缩法结合绝对值三角不等式得出2411x x -+-≥，由此可得出结论；
（Ⅱ）由2m n mn +=可得出2
114m n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，由此可得出
()
2
222211124m n m n m n ⎛⎫
+=++≥ ⎪⎝⎭
，可得出关于正数p 的不等式，即可解得正数p 的最
大值. 【详解】
（Ⅰ）因为ln ln ln ln m m n p np =++
，而()2
2
2
2
3
3m n p mnp ++≥=，
mnp ≥
，当且仅当m n p ===
时等号成立.
所以ln ln ln ln 1m n p e ++≤<=.
而24121211x x x x x x -+-≥-+-≥-+-=， 所以ln ln ln 241m n p x x ++<-+-；
（Ⅱ）因为2m n mn +=，故112m n +=，即2
114m n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
. 故()
2
22221114m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝
⎭2
1224mn ⎛≥⋅⋅= ⎝， 当且仅当1m n ==时等号成立.
因为2224m n p +=-，故2
42p -≥，则2
2p ≤
，则p ≤
0p >
，0p ∴<≤，所以p
.
【点睛】
本题考查基本不等式、绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于中等题.。