平面向量的数量积及其应用

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高三数学总复习教程（第16讲）

一、本讲内容

平面向量的数量积及其应用

本讲进度，向量的数量积，数量积的应用

二、学习指导

要深刻理解向量数量积的定义：、cos＜、＞.它是数（可正、可负，也可以为零），但不是向量，因此，·=·，λ（·）=·λ，·（+）=·=·，·=0

（而不是！）特别地，（·）≠·（·），因为左边是与共线的向量，而右边是与共线的向量，除特殊情况外，两者不相等。

我们利用向量的数量积（又称为点积）可以解决向量的夹角问题，特别地，利用向量的数量可以很方便地解决垂直问题，：⊥⇔·=0，（，非零向量）

cos ＜a、b＞是a在b上的射影，值得注意的是它仍是一个数（可正，可负，可以为0）而不是向量。

特别地，·2cos＜·2，由此，可把点积与模长（距离）挂上钩。

三、典型的例题讲解

例1．证明三角形中的射影定理：a=bcosC+ccosB用向量证明一些三角问题，如正弦定理，余弦定理等很方便，但同学们却觉得不好掌握，这里我们再看一个例子。

=+，两边同等2=·+·cosC

cosC，即a=ccosB+bcosC

例2．平面内有四点，O、A、B、C，记OA=a，OB=b，OC=c若a+b+c=o且a·b=b·c=c·a=－1，试判断△ABC的形状，并求其面积.

千万不能由·=·约得到=，一是过程差无根据，二是合得到A、B、C当同一点的荒谬结论。

也不能由·=·+=·=－1b=1，=1，⋅，

=cos<·＞|，等号当且仅当，共线且同面或，中有当B者其他条件当然不是可有可无的，故应出现向量和，于是我们想到·=·和·=·相加，

得到了2·=（+）=－(+)222= 4·=0如无·=－1的条件就做不下

22= 4，因原来的条件都是a、b、c22= 4

22= 4，至此距解决问题已经不远了。

例3．设i、j分别为方向与x轴，y轴的正向相同的单位向量，A、B、C为同一直线上的三点，O 为坐标原点，已知=－2i tm j，=n i+j，=5i－j，又知⊥，求m、n的值.

求m、n两个未知数，有⊥及A、B共线两个条件，代入计算即可.

例4．求证：三角形三角高线交于一点.

设三顶点后，表示出三边向量、、，设a 、b 两边的高线交点为H ，表示、=0和·=0去证·=0，从而说明三高共点.

为减少计算量，当然应当选取合适的坐标系，以一边及其上的高所在直线上为两坐标轴较好。

例5．已知三不共线向量a 、b 、c 两两所成角相等，

=1

=2

=3，求++的模长及已知三向量间的夹角.

要想把、、两两所成角相等体现出来，我们以同一点O 为始点作三有向线段、、两两夹角相等，均为

3

2π. 于是要求c b a ++，只要先求(a +b +c )2即可.

例6．已知a 、b 是两个非零向量，求证：当b ⊥(a +x b )时，|a +x b |最小. 要求 |a +x b |最小，等价于求何(a +x b )2最小.

∵(a +x b )2=x 2b 2+2x a ·b +a 2三项均为实数且平方项系数b 2

2＞0，故当x=－2

b

b a ⋅时原式有

最小值，此处，向量竟与二次函数挂上了钩.

例7．设1l 、2l 为相互垂直的两个单位向量，问是滞存在整数k ，使得向量=k 1l +2l 与向量

n =1l +k 2l 夹角为比？证明你的结论.

已知夹角应使用向量的数量积：cos600=

n

m n m ⋅其中m =

2

m =221)(l l k +=12+k

(因1l ⊥2l ，∴1l ·2l =0，因1l 、2l 为单位向量，∴2l 2=1，1l 2=1)，如求出k 合整值或k 无解或无整数解，问题均告解决.

例8．已知a 、b 均为非零向量，且a =b =b a -的夹角. 根据公式cos<a ，a +b ＞=

b

a a

b a ++⋅)(=

b

a a

b a a +⋅+2

应先求b a +与a ·b 的值.

b a +=2

)(b a +=b a b a ⋅++22

2

，也归纳到a 、b 上了，且a 、b 应通过a =b =b a -，故

a 2=

b 2=(a －b )2=a 2+b 2―2a ·b 求出.

例9．求证：菱形的两条对角线互相垂直.

菱形是边长都相等的平行四边形“边长相等”怎么用？对菱形ABCD ，记=a ·AD =b ，则

AC =a +b ，BD =b －a ，AC ·BD =(a +b )·(b －a )=b 2－a 2，到此，可看出边长相等的作用了.

例10．单位向量1l 、2l 夹角为1200，求向量m =21l +32l 和向量n =1l －22l 的夹角. 求m ·n ，m ，n 时，都需用到1l 、2l 应先行计算出来.

四、巩固练习

1．已知向量a =(3－1)，b =（

21，2

3）

（1）求证：a ⊥b ；

（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t 2－3) b ，y =－k a +t b ，且x ⊥y ，写出函数关系式k=f(t)；

（3）在（2）中，确定函数k=f(t)的单调区间.

2．已知向量a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)又知b a k +=3b k a -其中k ＞0（1）用k 表示a 、b .

（2）a 、b 的最小值，并求此时a 与b 的夹角。

3．已知O 是△ABC 所在平面内一点，且满足OA 2+BC 2=OB 2+CA 2=OC 2+AB 2，求证：O 是△ABC 的垂足.

4．已知a 、b 为两个非零向量，且a +3b 与7a －5b 互相垂直，a －4b 与7a －2b 互相垂直，求

a 与

b 的夹角.

5．（1）已知a =2，b =1，a 与b 夹角为

3

π

，求a +b 与a －2b 的夹角 （2）已知a =4，b =3，且（3a －b ）(a －2b )为最小.

7．A 、B 、C 、D 为平面内任意四点，证明AC 2+BD 2+AD 2+BC 2≥AB 2+CD 2

8．a 1、a 2、b 1、b 2∈R ，求证：2

221a a +·2221b b +≥2211b a b a +.又等号何时成立？

9．△ABC 中，AB=AC ，D 为AB 中点，E 为△ADC 的重心，O 为△ABC 的外心，求证：OE ⊥CD 10．在平面四边形ABCD 中，记AB =a ，BC =b ，CD =c ，DA =d ，若a ·b =b ·c =c ·d =d ·a 试判断此四边形形状，并说明理由。

五、参考答案

1．（1）∵a ·b =（3，－1），（21，23）=23－2

3=0，∴a ⊥b （2）∵x ⊥y ，∴[a +(t 2—3)b ]·[－k a +t b ]=0

―k a 2+t(t 2―3)b 2+[t ―k(t 2―3)] a ·b =0 ―4k+t(t 2―3)=0. ∴k=4

1t(t 2

―3) （3）令k /=

43t 2－4

3

＞0，t ＞1或t ＜－1. 故f(t)的单调递增区间为[)+∞,1和(]1,-∞- 单调递减区间为[－1，1]

2．（1）由已知(k a +b )2=3(a －k b )2，即(k 2－3) a 2+(1－3k 2)b 2+(2k+bk) a ·b =0，整理解得k 2―

3+1―3k 2

+8k a ·b =0 ∴a ·b =k

k 412+

（2）k ＞0，故a ·b ≥k k 42=21，此时. cos θ=b a b a ⋅=1

2

1

∴θ=3π

3．记OA =a ，OB ·b ，OC =c ，则BC =c ―b ，CA =a ―c ，AB =b ―a ，则已知条件可表