4.3.3数函数y=logax的图象和性质 (教学课件)——高中数学北师大版(2019)必修第一册

由图知，函数y=log2|x+1|的单调递减区间为(-∞，-1)，单调递增区间为(-1，+∞).
探究：对数函数的综合应用
【例3】已知函数f(x)=loga(1+2x)-loga(1-2x)，a>0，且a≠1.
(1)判断f(x)的奇偶性并给予证明；
(2)求关于x的不等式f(x)>0的解集.
【方法指导】(1)求出函数y=f(x)的定义域，然后化简f(-x)，观察f(-x)与f(x)的关系，利用奇偶性的定义可得



− < < ，
当a>1时，有
解得0<x<，
+ > − ，

此时，不等式f(x)>0的解集为 ， ；



− < < ，
当0<a<1时，有
解得-<x<0，
+ < − ，

此时，不等式f(x)>0的解集为 − ， .



综上所述，当a>1时，不等式f(x)>0的解集为 ， ；当0<a<1时，不等式f(x)>0的解集为 − ， .
函数值
特点
x∈(0，1)时，y∈(-∞，0)；
x∈[1，+∞)时，y∈[0，+∞)
x∈(0，1)时，y∈(0，+∞)；
x∈[1，+∞)时，y∈(-∞，0]
单调性
在(0，+∞)上是增函数
当x→+∞时，y→+∞；
当x→0时，y→-∞
在(0，+∞)上是减函数
当x→+∞时，y→-∞；
当x→0时，y→+∞
抽象概括
4.3.3 对数函数y=logax
的图象和性质
1．对数函数y=logax的图象与性质
【问题1】函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象有何特征?
【答案】恒过定点(1，0)，当a>1时，图象呈上升趋势；当0<a<1时，图象呈下降趋势.
【问题2】函数y=logax与y=log 1 x(a>0，且a≠1)的图象有什么关系?
∴f(-x)=lg(1-x).
又f(-x)=-f(x)，∴f(x)=-lg(1-x)，
( + )， > ，
， = ，
∴f(x)的解析式为f(x)=
−( − )， < ，
∴f(x)的大致图象如图所示.
.
1.函数y=2log4(1-x)的图象大致是(
).
2.已知a=log624，b=log27，c=(lg 2+lg 5)π，则a，b，c的大小关系为(
A.c<a<b
B.c<b<a
C.a<c<b
3.函数f(x)=loga(2x-5)(a>0，且a≠1)的图象恒过定点
).
D.b<a<c
.
4.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)=lg(x+1)，求f(x)的表达式，
A.c<a<b
B.c<b<a
C.a<c<b
D.b<a<c
【解析】由对数的运算性质可知，1=log66<a=log624<log636=2，b=log27>log24=2，c=(lg 2+lg 5)π=1，
所以c<a<b.
3.函数f(x)=loga(2x-5)(a>0，且a≠1)的图象恒过定点 (3，0) .
(2)作函数y=|log2(x+1)|+2的图象.
【方法指导】(1)根据对数函数的图象和整体代换的思想求解；(2)根据图象的平移变换求解.
【解析】(1)令2x-1=1，得x=1，则y=loga1-3=-3，故函数y=loga(2x-1)-3的图象过定点(1，-3).
(2)第一步，作y=log2x的图象，如图①所示.

【答案】y=log 1 x=

log
1
log
=-logax，所以，它们关于x轴对称.
抽象概括
对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表
函数
底数
y=logax (a>0，且a≠1)
a>1
0<a<1
图象
定义域
(0，+∞)
值域
R
特殊点
图象过定点(1，0)，即当x=1时，y=0
出结论；(2)对a分0<a<1和a>1两种情况讨论，利用对数函数y=logax的单调性解不等式即可，并注意与定义
域取交集.
【解析】(1)f(x)为奇函数，证明如下：
根据题意，函数f(x)=loga(1+2x)-loga(1-2x)，
+ > ，




则有
解得-<x<，即函数y=f(x)的定义域为 − ， ，定义域关于原点对称.
并画出大致图象.
1.函数y=2log4(1-x)的图象大致是( C ).
【解析】函数y=2log4(1-x)的定义域为(-∞，1)，排除A，B；又函数y=2log4(1-x)在定义域内单调递减，
排除D.故选C.
2.已知a=log624，b=log27，c=(lg 2+lg 5)π，则a，b，c的大小关系为( A ).

，

− .
【针对训练】1.设a=log36，b=log510，c=log714，则( D ).
A.c>b>a
B.b>c>a
【解析】a=log36=log33+log32=1+log32，
b=log510=log55+log52=1+log52，
c=log714=log77+log72=1+log72.


−



(1)求f(x)的定义域；

(2)若f(x)在 −， 上的最小值为2，求a的值.
【解析】(1)∵f(x)=loga
∴

+ > ，



−
> ，
பைடு நூலகம்




+ +loga



− ，
解得-2<x<3，故f(x)的定义域为(-2，3).







+

+log
−

=log
−

+

+
.
a
a









设t=-x2+x+，∵x∈ −， ，


∴t∈ ， .


当a>1时，y=logat是 ， 上的增函数，



∵f(x)在 −， 上的最小值为-2，∴loga=-2，解得a=.
(2)f(x)=loga
− > ，
∵f(-x)=loga(1-2x)-loga(1+2x)=-[loga(1+2x)-loga(1-2x)]=-f(x)，
∴函数y=f(x)为奇函数.
探究：对数函数的综合应用
(2)根据题意，loga(1+2x)-loga(1-2x)>0，即loga(1+2x)>loga(1-2x).
∵log32>log52>log72，∴a>b>c，故选D.
C.a>c>b
D.a>b>c
【针对训练】2.函数y=log2|x+1|的单调递减区间为 (-∞，-1) ，单调递增区间为 (-1，+∞) .
【解析】作出函数y=log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y=log2|x|的图象，
再将y=log2|x|的图象向左平移1个单位长度就得到函数y=log2|x+1|的图象(如图所示).
第二步，将y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y=log2(x+1)的图象，如图②所示.
学以致用
第三步，将y=log2(1+x)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y=|log2(x+1)|的图象，如图③所示.
第四步，将y=|log2(x+1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图④所示.
【解析】由2x-5=1，得x=3，∴f(3)=loga1=0.故函数f(x)恒过定点(3，0).
4.若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)=lg(x+1)，求f(x)的表达式，并画出大致图
象.
【解析】∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)=0.
又当x∈(-∞，0)时，-x∈(0，+∞)，
【探究小结】若a>1，则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；若0<a<1，则y=logaf(x)的单调性与y=f(x)
的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域.本题考查了逻辑推理、数学运算的核心素养.
【针对训练】已知a>1，函数f(x)=loga



+ +loga
对数函数的知识总结：
对数增减有思路，函数图象看底数；底数只能大于0，等于1来可不行；
底数若是大于1，图象从下往上增；底数0到1之间，图象从上往下减；
无论函数增和减，图象都过(1，0)点.
学以致用
二、对数函数的图象与性质
【例2】(1)函数y=loga(2x-1)-3(a>0，且a≠1)的图象过定点 (1，-3) .
【方法小结】解决对数函数图象问题的注意事项
(1)明确对数函数图象的分布区域.对数函数的图象在第一、四象限.当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，
但永远不会与y轴相交.
(2)建立分类讨论的思想.在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0<a<1.
(3)牢记特殊点.对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(1，0)，(a，1)和