动态规划----流水线调度问题

动态规划----流⽔线调度问题
问题的描述：
n个作业{1，2，…，n}要在由2台机器M1和M2组成的流⽔线上完成加⼯。

每个作业加⼯的顺序都是先在M1上加⼯，然后在M2上加⼯。

M1和M2加⼯作业i所需的时间分别为ai和bi。

流⽔作业调度问题要求确定这n个作业的最优加⼯顺序，使得从第⼀个作业在机器M1上开始加⼯，到最后⼀个作业在机器M2上加⼯完成所需的时间最少。

调度规则
(1 ) 把全部ai和bi分类成⾮降序列，ai和bi分别是第i个作业在两个机器上所需要的时间。

(2 ) 按照这⼀分类次序考察此序列: 如果序列中下⼀个数是aj 且作业j还没调度,那么在还没使⽤的最左位置调度作业j ; 如果下个数是bj 且作业j还没调度,那么在还没使⽤的最右位置调度作业j ; 如果已经调度了作业j,则转到该序列的下⼀个数。

算法主要利⽤Johnson不等式原理，对于所有的a步骤和b步骤的时间从⼩到⼤排序。

如果合并序列中拿出的元素属于a集合，则将其所属的job作为第⼀个job执⾏；如果属于b集合，则将其所属的job作为最后⼀个job执⾏。

进⾏下⼀个元素的判断，分别作为第⼆、倒数第⼆，依次类推；直到所有job被标记之后退出，获得的job数组就是job的执⾏序列。

例⼦1
设 n=4,( a1,a2,a3,a4 ) =( 3,4,8,10 ) 和( b1,b2,b3,b4 ) =(6,2,9,15 ),对这些a和b分类后的序列是( b2,a1,a2,b1,a3,b3,a4,b4 ) = ( 2,3,4,6,8,9,10,15),
设σ1,σ2,σ3,σ4是最优调度。

最⼩数是b2, 置σ4 = 2。

下⼀个最⼩数是a1, 置σ1 = 1。

接着的最⼩数是a2,由于作业2已被调度,转向再下⼀个数b1 。

作业1已被调度,再转向下⼀个数a3,置σ2 = 3。

最后剩σ3 是空的,⽽作业4还没调度,从⽽σ3= 4
例⼦2：
排序的结果( a4,b3,a0,b1,a2,b2,a1,b0,a3,b4 )
执⾏顺序为 J4 -> J0 ->J2 ->J1 ->J3。