高一不等式(4)二元一次不等式组表示的平面区域与面积

二元一次不等式组表示的平面区域与面积必考点1二元一次不等式组表示的平面区域
1. 不等式3x+2y-6<0表示的平面区域是（）
A. B. C. D.
2. 画出下列不等式(组)表示的平面区域．
(1)2x－y－6≥0；(2)
220
4
x y
x y
x
+-≤⎧
⎪
+≥
⎨
⎪≤
⎩
3. 不等式组
360
20
x y
x y
-+≤
⎧
⎨
-+>
⎩
表示的平面区域是()
4. 在直角坐标系中，不等式y2－x2≤0表示的平面区域是()
5. 不等式组表示的平面区域是一个（ ）.
A.三角形
B.直角三角形
C.梯形
D.矩形
6. 平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋2y －1≥0，3x －3y ＋4≥0，x ≤2表示的平面区域的形状是________．
7. 若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2
表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．
8. 若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤0，x ＋2y ≥0，
kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的
值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9. 如图阴影部分用二元一次不等式组表示为( )
A ．⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0x ＋y ≥3y ≥1 B.⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≥0x ＋y ≤3y ≥1 C.⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ≤0x ＋y ≤3y ≥1
D.⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ≤0x ＋y ≥3y ≥1
10. 表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是（ ）
A. B.
C. D.
11. 由直线x －y ＋1＝0，x ＋y －5＝0和x －1＝0所围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示为( ) A.⎩⎪⎨⎪
⎧ x －y ＋1≤0x ＋y －5≤0x ≥1
B.⎩⎪⎨⎪
⎧ x －y ＋1≥0x ＋y －5≤0x ≥1
C.⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0x ＋y －5≥0x ≤1 D.⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≤0x ＋y －5≤0x ≤1
12. 若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≥0，y ≤kx ＋3，
0≤x ≤3表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k 的
取值范围是________．
平面区域的面积
1. 在平面直角坐标系中,不等式组
,表示的平面区域的面积是（ ）
A. B. 4 C. D. 2
2. 不等式组110220x x y x y ≤⎧⎪
-+≥⎨⎪++≥⎩
表示的平面区域的面积是________．
3. 不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧ y ≤x ，x ＋2y ≤4，
y ≥－2表示的平面区域的面积为( )
A.50
3 B.253 C.1003 D.103
4. 不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )
A.3
2 B.2
3 C.43 D.34
5. 不等式组20240320x y x y x y +-⎧⎪
+-⎨⎪+-⎩
≥≤≥，表示的平面区域的面积为 .
6. 画出不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
表示的平面区域，并回答下列问题：
(1)指出x ，y 的取值范围； (2)求平面区域的面积．
7. 已知实数x ，y 满足不等式组Ω：⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋3y －6≤0，x －y －1≤0，
x －2y ＋2>0，
x ＋y －1>0.
(1)画出满足不等式组Ω的平面区域； (2)求满足不等式组Ω的平面区域的面积．
8. 若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤0，y ≥0，
y －x ≤2
表示的平面区域为Ⅰ，则当a 从－2连续变化到1时，动直线
x ＋y －a ＝0扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为( ) A.7
2 B.7
3 C.7
4 D.12
9. 已知不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，
y ≥0
表示的平面区域被直线2x ＋y －k ＝0平分成面积相等的两
部分，则实数k 的值为________．
10. 已知点M (a ，b )在由不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2表示的平面区域内，求N (a －b ，a ＋b )所在的平
面区域的面积．
必考点2 平面区域点的位置
1. 在不等式2x ＋y －6<0表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,7) B ．(5,0) C ．(0,1) D ．(2,3)
2. 不在3x ＋2y ＞3表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0)
3. 以下各点中，在不等式组
表示的平面区域中的点是（ ） A. B. C. D.
4. 原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(2，＋∞) B ．{0,2} C ．(0,2) D ．[0,2]
5. 已知点A (1,0)，B (－2，m )，若A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，则m 的取值集合
是________． 6. 已知点和
在直线
的同侧,则直线倾斜角的取值范围
是（ ） A. B.
C.
D.
7. 已知点M (2，－1)，直线l ：x －2y －3＝0，则( ) A ．点M 与原点在直线l 的同侧 B ．点M 与原点在直线l 的异侧 C ．点M 与原点在直线l 上
D ．无法判断点M 及原点与直线l 的位置关系
8. 直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，
x ≥0，y ≥0表示的平面区域的公共点有________个．
9. 设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y ＋1>0，x －m <0，
y ＋m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0
＝2，则实数m 的取值范围是________．
10. 若平面区域30
230230x y x y x y +-⎧⎪
--⎨⎪-+
⎩
夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间
的距离的最小值是（ ）.
A.
11. 已知点P 在|x |＋|y |≤1表示的平面区域内，点Q 在⎩
⎪⎨⎪⎧
|x －2|≤1，
|y －2|≤1表示的平面区域内．
(1)画出点P 和点Q 所在的平面区域； (2)求P 与Q 之间的最大距离和最小距离．
12. 由不等式0
020
x y y x ⎧⎪
⎨⎪--⎩
确定的平面区域记为1Ω，不等式组12x y x y +⎧⎨+-⎩确定的平面区域
记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）. A.18 B.14
C. 34
D.78
13. 在平面上，过点作直线的垂线所得的垂足称为点在直线上的投影.由区域
中的点在直线上的投影构成的线段记为，则（ ）.
A. B. C. D.
必考点3 用二元一次不等式组表示实际问题
1. 投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，用数学关系式和图形表示上述要求．
P l P l 200340
x x y x y -⎧⎪
+⎨⎪-+⎩
20x y +-=AB AB =
46
2. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表：
电力/(k W·h) 工人/人
该工厂有工人200人，每天只能保证160 k W·h的用电额度，每天用煤不得超过150 t，请在平面直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围．
3. 某厂使用两种零件A，B装配两种产品P，Q，该厂的生产能力是月产P产品最多有2 500件，月产Q产品最多有1 200件；而且组装一件P产品要4个零件A,2个零件B，组装一件Q产品要6个零件A,8个零件B，该厂在某个月能用的A零件最多14 000个，B零件最多12 000个．用数学关系式和图形表示上述要求．
4. 某家具厂制造甲、乙两种型号的桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张甲、乙型号的桌子分别需要1 h和2 h，漆工油漆一张甲、乙型号的桌子分别需要3 h 和1 h．又木工、漆工每天工作分别不得超过8 h和9 h．请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域．
5. 完成一项装修工程，木工和瓦工的比例为2∶3，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人数的限制条件是()
A.⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋3y ≤5
x ，y ∈N * B.⎩⎪⎨⎪⎧
50x ＋40y ≤2 000x y ＝23
C.⎩⎪⎨⎪⎧
5x ＋4y ≤200
x y ＝23
x ，y ∈N
*
D.⎩⎪⎨⎪
⎧
5x ＋6y <100x y ＝23
参考答案
二元一次不等式组表示的平面区域与面积
必考点11、二元一次不等式组表示的平面区域 1. 【答案】D
【解析】根据已知的不等式可知，原点的坐标满足不等式
，那么说明区域中
含有原点，排除旋下那个A,C,同时要注意到直线的一侧的部分包括整个半平面，因此B 错误，只有选D.
2. 【解析】(1)如图，先画出直线2x －y －6＝0，取原点O (0,0)代入2x －y －6中，
∵2×0－1×0－6＝－6<0，
∴与点O 在直线2x －y －6＝0同一侧的所有点(x ，y )都满足2x －y －6<0，故直线
2x －y －6＝0右下方的区域就是2x －y －6>0，因此2x －y －6≥0表示直线下方的区域(包含边界)．
(2)先画出直线x ＋2y －2＝0(画成实线)，如图，取原点O (0,0)代入x ＋2y －2，
∵0＋0－2＝－2<0，∴原点在x ＋2y －2≤0表示的平面区域内，即x ＋2y －2≤0表示直线 x ＋2y －2＝0上及其左下方的点的集合．同理可得，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤4表示直线x ＝4上及其左方的点的集合．如图中阴影部分就表示原不等式组表示的平面区域．
3. 【答案】C
【解析】由x －3y ＋6≤0得y ≥
3x ＋2，不等式表示的平面区域在直线y ＝3
x
＋2的左上方，由x －y ＋2>0得y <x ＋2，不等式表示的平面区域在直线y ＝x ＋2的右下方，故选C.
4. 解析：选C 原不等式等价于(x ＋y )(x －y )≥0，因此表示的平面区域为左右对顶的区域(包括边界)，故选C.
5. 【答案】C
【解析】作出平面区域如图，所以不等式组表示的区域是梯形.
6. 解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知平面区域为等腰直角三角形．
答案：等腰直角三角形
7. 解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当y ＝a 过A (0,5)时表示的平面区域为三角形，即△ABC ，当5＜a ＜7时，表示的平面区域为三角形，综上，当5≤a ＜7时，表示的平面区域为三角形．
答案：[5,7)
8. 解析：选B 如图，易知直线kx －y ＋1＝0经过定点A (0,1)，又知道关于x ，y 的不等式
组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤0，x ＋2y ≥0，kx －y ＋1≥0
表示的平面区域是直角三角形区域，且k >0，所以k ·⎝⎛⎭
⎫－1
2＝－1， 解得k ＝2，故选B.
9. 解析：选B 由图易知平面区域在直线2x －y ＝0的右下方，在直线x ＋y ＝3的左下方，在直线y ＝1的上方，故选B. 10. 【答案】D
【解析】根据图像可知，有三条直线，分别是
=0，
，
，
那么根据原点的位置可以带入直线方程中来判定其符号，结合图形的位置可知，那么不等式
的组为，故选D.
11. 解析：选A 由题意，得所围成的三角形区域在直线x －y ＋1＝0的左上方，直线x ＋y －5＝0的左下方，及直线x －1＝0的右侧，所以所求不等式组为⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≤0，x ＋y －5≤0，
x －1≥0.
12. 解析：直线y ＝kx ＋3恒过定点(0,3)，作出不等式组表示的可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y ＝kx ＋3的斜率在0与1之间，即k ∈(0,1)．
答案：(0,1)
必考点12、平面区域的面积 1. 【答案】B
【解析】本题主要考查线性规划问题.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，不等式组所表示的平面区域是斜边为4、高为2的等腰直角三角形，所以面积为4.
2.【解析】作出不等式组表示的平面区域如图△ABC ，由条件知A (－1,0)，B (1,2)，C (1，－4)．
所以S △ABC ＝1
2
·|BC |·d ＝12
×6×2＝6.(d 表示A 到直线BC 的距离)．
3. [解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤x ，x ＋2y ≤4，
y ≥－2
表示的平面区域，如图阴影部分所示．可以求得点A
的坐标为⎝⎛⎭⎫43，43，点B 的坐标为(－2，－2)，点C 的坐标为(8，－2)，所以△ABC 的面积是12×[8－(－2)]×⎣⎡⎦⎤43－(－2)＝503
.
[答案] A
4. 解析：选C 作出平面区域如图所示为△ABC ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋3y －4＝0，3x ＋y －4＝0，可得A (1,1)， 又B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43，∴S △ABC ＝12·|BC |·|x A |＝12×⎝⎛⎭⎫4－43×1＝4
3，故选C. 5. 解析 不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.由320240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得8
2x y =⎧⎨=-⎩
.
所以()0,2A
，()2,0B ，()8,2C -.直线240x y +-=与x 轴的交点D 的坐标为()4,0.因此
11
2222422
ABC ABD BCD S S S =+=
⨯⨯+⨯⨯=△△△.故答案为4.
6. 【解析】(1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方点的集合．x ＋y ≥0表示直线上及右上方的点的集合．x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合，所以
不等式组50
03x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
表示的平面区域如图所示．
由图中阴影部分，可得x ∈5
,32⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，y ∈[－3,8]．
(2)平面区域是以55,
22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，(3，－3)，(3,8)为顶点的三角形．
x+
所以面积为S ＝12
×(8＋3)×532⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
＝
121
4
.
7. 解：(1)满足不等式组Ω的平面区域如图中阴影部分所示．
(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋3y －6＝0，x －2y ＋2＝0，得A ⎝⎛⎭⎫
67，107， 解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋3y －6＝0，x －y －1＝0，得D ⎝⎛⎭⎫
95，45， 所以满足不等式组Ω的平面区域的面积为
S 四边形ABCD ＝S △AEF －S △BCF －S △DCE ＝12×(2＋3)×107－12×(1＋2)×1－12×(3－1)×45＝8970.
8. 解析：选C 如图所示，Ⅰ为△BOE 所表示的区域，而动直线x ＋y ＝a 扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形BOCD ，
而B (－2,0)，O (0,0)，C (0,1)，D ⎝⎛⎭⎫－12，3
2，E (0,2)，△CDE 为直角三角形． ∴S 四边形BOCD ＝12×2×2－12×1×12＝7
4.
9. [解析] 画出可行域如图中阴影部分所示，其面积为1
2×1×(1＋1)＝1，可知直线2x ＋y －k ＝0
与
区域边界的交点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫k －13，k ＋23及⎝⎛⎭⎫k
2，0，要使直线2x ＋y －k ＝0把区域分成面积相等的两部分，必有12×⎝⎛⎭⎫k
2＋1×k ＋23＝12，解得k ＝6－2.
10. 解：由题意，得a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
a ≥0，
b ≥0，
a ＋
b ≤2，
设n ＝a －b ，m ＝a ＋b ，则a ＝n ＋m 2，b ＝m －n
2
，
于是有
⎩⎨⎧
n ＋m
2
≥0，m －n
2≥0，m ≤2，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
n ＋m ≥0，m －n ≥0，m ≤2，
这个不等式组表示的平面区域为如图所示的△OAB
内部(含边界)，其面积为1
2
×(2＋2)×2＝4，即点N (a －b ，a ＋b )所在的平面区域的面积为4.
必考点13、平面区域点的位置
1. 解析：选C 对于点(0,1)，代入上述不等式2×0＋0×1－6<0成立，故此点在不等式 2x ＋y －6<0表示的平面区域内，故选C.
2. 解析：选A 将(0,0)代入，此时不等式3x ＋2y ＞3不成立，故(0,0)不在3x ＋2y ＞3表示的平面区域内，将(1,1)代入，此时不等式3x ＋2y ＞3成立，故(1,1)在3x ＋2y ＞3表示的平面区域内，将(0,2)代入，此时不等式3x ＋2y ＞3成立，故(0,2)在3x ＋2y ＞3表示的平面区域内，将(2,0)代入，此时不等式3x ＋2y ＞3成立，故(2,0)在3x ＋2y ＞3表示的平面区域内，故选A.
3. 【答案】A
【解析】本题主要考查线性规划的应用.直接代入不等式组中验证可知A 正确.
4. 解析：选C 因为原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，所以－a (2－a )<0，即a (a －
2)<0，解得0<a <2.
5. 解析：因为A ，B 两点在直线x ＋2y ＋3＝0的同侧，所以把点A (1,0)，B (－2，m )代入可得x ＋2y ＋3的符号相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m ＋3)>0，解得m >－1
2
.
答案：⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
m ⎪
⎪
m >－12 6. 【答案】D
【解析】本题主要考查二元一次不等式表示的平面区域、直线的倾斜角和斜率.因为点
和在直线的同侧,所以,解得
,所以直线斜率
,所以直线倾斜角的取值范围是,故选
D.
7. 解析：选B 因为2－2×(－1)－3＝1>0,0－2×0－3＝－3<0，所以点M 与原点在直线l 的异侧，故选B.
8. 解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，
x ≥0，y ≥0
表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为直线
2x ＋y －10＝0过点A (5,0)，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－4
3，故只有一个
公共点(5,0)．
答案：1
9. 解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图得点C 的坐标为(m ，－m )，把直线x －2y ＝2转化为斜截式y ＝1
2x －1，要使平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，
则点C 在直线x －2y ＝2的右下方，因此－m <m 2－1，解得m >2
3
，故m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫23，＋∞.
答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞
10. B 解析 画出不等式组所表示的平面区域如图所示，
由，得，由，得.由题意可知当斜率为1的
两条直线分别过点和点时，阴影部分夹在这两条直线之间，且与这两条直线有公共点，所以这两直线为满足条件的距离最小的一对直线，即.故选
B.
11. 解：(1)不等式|x |＋|y |≤1等价于⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0，
x －y ≤1，x ≥0，y ≤0，
x －y ≥－1，x ≤0，y ≥0，
x ＋y ≥－1，x ≤0，y ≤0，
不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x －2|≤1，|y －2|≤1等价于⎩
⎪⎨⎪⎧
1≤x ≤3，
1≤y ≤3，
由此可作出点P 和点Q 所在的平面区域，分别为如图所示的四边形ABCD 内部(含边界)，四边形EFGH 内部(含边界)．
23030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩()1,2A 23030x y x y --=⎧⎨+-=⎩
()2,1B A B
AB ==
(2)由图易知|AG |(或|BG |)为所求的最大值，|ER |为所求的最小值，易求得 |AG |＝(－1－3)2＋(0－3)2＝42＋32＝5，|ER |＝12|OE |＝2
2.
12. 略
13. C 解析 如图所示，PQR △的边界及内部为约束条件的可行域，区域内的点在直线
20x y +-=上的投影构成了线段R Q ''，也就是线段AB .因为四边形''RQQ R 为矩形，所以
R Q =RQ ''，由340
x y x y -+=⎧⎨
+=⎩，得(1,1)Q -.由2
x x y =⎧⎨
+=⎩，得(2,2)R -.
22(12)(12)32AB QR =
=--++=.故选C.
必考点14、用二元一次不等式组表示实际问题
1. 【解析】设生产A 产品x 百吨，生产
B 产品y 百米，则23142900
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，
用图形表示以上限制条件，得其表示的平面区域如图所示(阴影部分)．
2. 【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x t 和y t ，生产x t 甲产品和y t 乙产品的用电量是(2x ＋8y )k W·h ，根据条件有2x ＋8y ≤160；用煤量为(3x ＋5y )t ，根据条件有3x ＋5y ≤150；需工人数为(5x ＋2y )，根据条件有5x ＋2y ≤200；另外，x ≥0，y ≥0.
2
综上所述，x ，y 应满足不等式组2816035150522000,0
x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨+≤⎪⎪≥≥⎩.则甲、乙两种产品允许的产量范围是该不等
式组表示的平面区域，即如图中阴影部分(含连界)所示．
3. [解] 设分别生产P ，Q 产品x 件，y 件，依题意则有⎩⎪⎨⎪⎧
4x ＋6y ≤14 000，
2x ＋8y ≤12 000，
0≤x ≤2 500，x ∈N ，
0≤y ≤1 200，y ∈N.用图形表示
上述限制条件，得其表示的平面区域如图(阴影部分整点)所示．
4. 解：设家具厂每天生产甲，乙型号的桌子的张数分别为x 和y ，它们满足的数学关系式为：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y ≤8，
3x ＋y ≤9，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N.
分别画出不等式组中各不等式表示的平面区域，然后取交集，如图中的
阴影部分所示，生产条件是图中阴影部分的整数点所表示的条件．
5. 解析：选C 由题意50x ＋40y ≤2 000，即5x ＋4y ≤200，y x ＝2
3，x ，y ∈N *，故选C.。