高考数学专题：导数大题专练(含答案)

高考数学专题：导数大题专练(含答案)
一、解答题
1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间；
(2)设()2x
g x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求
实数a 的取值范围.
2．已知函数()1ln f x ax x =--，a R ∈． (1)讨论函数()f x 在区间()1,e 的极值；
(2)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数
b 的取值范围．
3．已知函数()32
f x x ax bx =++的图象在点(0,(0))f 处的切线斜率为4-，且2
x =-时，()y f x =有极值． (1)求()f x 的解析式；
(2)求()f x 在3,2上的最大值和最小值． 4．已知函数()ln f x x =．
(1)当()()sin 1g x x =-，求函数()()()T x f x g x =+在()0,1的单调性； (2)()()1
2h x f x b x
=+
-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 5．已知函数1()2ln f x x x x
=+-． (1)求函数的单调区间和极值；
(2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <． 6．已知函数2()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中.a R ∈ (1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)若函数()f x 的导函数()'f x 在区间()1,e 上存在零点，证明：当()1,e x ∈时，
()2e .f x >-
7．已知函数()32
2f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切
线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式；
(2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围.
8．已知函数e ()(1)1x
f x b x a
=+-+
(1)当114
a b ==-，时，求曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程；
(2)当1a =时，()2f x ≥恒成立，求b 的值． 9．已知函数2()e 1)(x f x ax x =-+.
(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程； (2)若函数()f x 在0x =处取得极大值，求a 的取值范围； (3)若函数()f x 存在最小值，直接写出a 的取值范围.
10．设函数()22
3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >．
(1)求()f x 的单调区间；
(2)若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．
【参考答案】
一、解答题
1．(1)答案见解析 (2)3
1a e ≤-
【解析】 【分析】
（1）由()()11
0ax f x a x x
x
+=+=
>'，按0a ≥，0a <进行分类讨论求解； （2）由已知，转化为()()max max f x g x <，由已知得()()max 12g x g ==，由此能求出实数a 的取值范围． (1)
()(]110ax f x a x x x
+'=+
=>， ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，()0f x '>， 所以()f x 的单调递增区间为()0,∞+； ②当0a <时，由()0f x '=，得1x a
=-，
在区间10,a ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭上()0f x '>，在区间1,a
∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
上()0f x '<， 所以，函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
，单调递减区间为1
,a
∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
；
(2)
由题目知，只需要()()max max f x g x <即可
又因为()()max 12g x g ==，所以只需要()max 2f x <即可
()max 2f x <即等价于()2f x <恒成立，
由变量分离可知2ln x
a x
-<，[]1,100x ∈， 令()2ln x
h x x -=，下面求()h x 的最小值， 令()2
3ln x
h x x
-+'=
，所以()0h x '=得3x e =， 所以()h x 在31,e ⎡⎤⎣⎦为减函数，3
,100e ⎡⎤⎣⎦为增函数， 所以()()3
3
min 1h x h e e -==
，所以
31
a e ≤-. 2．(1)答案见解析 (2)2
1
1e b ≤-
【解析】 【分析】
（1）先讨论()f x 的单调性再确定()f x 在()1,e 上的极值（2）利用极值点处的导数为求出1a =，代入恒成立的不等式中，用分离参数法求b 的取值范围 (1)
在区间()0,∞+上， ()11
ax f x a x
x
-'=-=
， 当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()1,e 上单调递减， 则()f x 在区间()1,e 上无极值； 当0a >时，令()0f x '=得1
x a
=，
在区间10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，
在区间1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上，()0f x '>，函数()f x 单调递增.
若11e a <<，即1
1e a
<
<，则()f x 在区间()1,e 上极小值1ln f a a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
若1a ≥或10e
a <≤，即11a
≤或1e a
≥，则()f x 在区间()1,e 上无极值 (2)
因为函数()f x 在1x =处取得极值，
所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意 由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-，
即1ln 1+x
b x x
-
≥对()0,x ∀∈+∞恒成立， 令()1ln 1x g x x
x =+-
，则()22211ln ln 2x x g x x x x
-='---=， 当()20,e x ∈时，()0g x '<；当()2
e ,x ∈+∞时，()0g x '> 所以()g x 在()20,e 上单调递减，在()2
e ,+∞上单调递增，
所以()()22
min 1e 1e g x g ==-， 即2
11e b ≤-
. 3．(1)32()24f x x x x =+- (2)最大值为8，最小值为40
27
-． 【解析】 【分析】
（1）由题意可得(0)4,
(2)1240,f b f a b ==-⎧⎨
-=-+=''⎩从而可求出,a b ，即可求出()f x 的解析式，
（2）令()0f x '=，求出x 的值，列表可得(),()f x f x '的值随x 的变化情况，从而可求出函数的最值 (1)
由题意可得，2()32f x x ax b '=++．
由(0)4, (2)1240,f b f a b ==-⎧⎨-=-+=''⎩解得2,
4.a b =⎧⎨=-⎩
经检验得2x =-时，()y f x =有极大值． 所以32()24f x x x x =+-． (2)
由（1）知，2()344(2)(32)f x x x x x '=+-=+-．
令()0f x '=，得12x =-，22
3
x =，
()'f x ，()f x 的值随x 的变化情况如下表：
由表可知()f x 在[3,2]-上的最大值为8，最小值为27
-． 4．(1)单调递增 (2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）直接求导，判断出导数大于0，即可得到单调性；
（2）直接由1x ，2x 是函数()1
ln 2h x x b x
=+-的两个零点得到121212
2ln x x x x x x -=，分别解出
1211
2
12ln x x x x
x -=，21
21212ln x x x x x -=，再换元令12x t x =
构造函数()1
2ln l t t t t
=--，求导确定单调性即可求解. (1)
由题意，函数()()sin 1ln T x x x =-+，则()()1cos 1T x x x
'=--+，
又∵()0,1x ∈，∴11x
>，()()10,1,cos 11x x -∈-<，∴()0T x '>，∴()T x 在（0，1）上单调递增． (2)
根据题意，()()1
ln 02h x x b x x =+
->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x
=+
-的两个零点，∴111ln 02x b x +-=，22
1
ln 02x b x +
-=． 两式相减，可得122111
ln
22x x x x =-，即112221
ln 2x x x x x x -=， ∴121212
2ln x x x x x x -=，则1211
2
12ln x x x x x -=，2
1
21212ln x
x x x x -=． 令12
x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t
--
-+=+=．
记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()2
21t l t t
-'=． 又∵()0,1t ∈，∴()0l t '>恒成立，∴()l t 在()0,1上单调递增，
故()()1l t l <，即12ln 0t t t --<，即12ln t t t
-<．因为ln 0t <，可得1
12ln t t t
-
>，∴
121x x +>．
【点睛】
本题关键点在于对双变量的处理，通过对111ln 02x b x +-=，22
1
ln 02x b x +-=作差，化简得到
12
1212
2ln x x x x x
x -=
， 分别得到12,x x 后，换元令1
2
x t x =，这样就转换为1个变量，再求导确定单调性即可求解．
5．(1)减区间()0,1，增区间()1,+∞，极小值3， (2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可； （2）构造新函数利用函数单调性去证明121x x <即可. (1)
1()2ln (0)f x x x x x =+
->，则()()22
21111()2(0)x x f x x x x x +-'=--=>
由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<， 即()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，
在1x =时()f x 取得极小值(1)2103f =+-=，无极大值. (2)
不妨设12x x <且()()12f x f x a ==，则101x <<，21>x ，3a >，21
01x <<
令1
()()2ln (0)h x f x a x x a x x
=-=+-->，则()()120h x h x ==
()()22
21111()2x x h x x x x +-'=-
-=， 则当1x >时()0h x '>，()h x 单调递增；当01x <<时()0h x '<，()h x 单调递减 由()2222
12ln 0x x h x a x +=--=，得222
1
2ln a x x x =+-
则222222222221
1ln 2ln 2ln 1x x x x x h x x x x x ⎛⎫++-+-=-+ ⎪⎛⎫=
⎪⎝⎝⎭
⎭ 令21
t x =
，则22
2
112ln 2ln (01)x x t t t x t -+=--<< 令()12ln (01)t m t t t t --<=<，则()()2
22112
10t t t
t m t -'=+-=>
即()1
2ln (01)t m t t t t
--<=<为增函数，
又()11100m =--=，则()12ln 0m t t t
t --<=在(0,1)上恒成立.
则22
2212ln 10x x x h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-<恒成立，则()211h h x x ⎛⎫
⎪< ⎝⎭
， 又01x <<时()h x 单调递减，101x <<，21
01x <<
则2
11
x x >，故121x x <
6．(1)答案不唯一，具体见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）根据导函数在()1,e 上存在零点，则()0f x '=在()1,e 上有解，则有1e 2
a <<，
即22e a <<，得到函数()f x 的最小值，构造函数2()ln (1ln 2)4
x
g x x x x =--+，
22e <<x ，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．
(1)
函数()f x 的定义域是(0,)+∞，(2)(1)
()2(2)a x a x f x x a x
x
'--=+-+=
， ①0a 时，20x a ->，令()0f x '>，解得：1x >，令()0f x '<， 解得：01x <<，故()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增； ②02a <<时，令()0f x '>，解得：1x >或02a
x <<，
令()0f x '<，解得：12
a x <<，
故()f x 在0,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭递增，在,12
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
a 递减，在()1,+∞递增；
③2a =时，()
0f x '，()f x 在(0,)+∞递增；
④2a >时，令()0f x '>，解得：2
a
x >或01x <<，
令()0f x '<，解得：12
a
x <<，
故()f x 在(0,1)递增，在1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭a 递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
a
递增；
综上：0a 时，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，
02a <<时，()f x 在0,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭递增，在,12
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
a 递减，在(1,)+∞递增； 2a =时，()f x 在(0,)+∞递增；
2a >时，()f x 在(0,1)递增，在1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭a 递减，在,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
a 递增；
(2)
因为(2)(1)
()2(2)a
x a x f x x a x
x
'--=+-+=
， 又因为导函数()'f x 在(1,)e 上存在零点，所以()0f x '=在(1,e)上有解， 则有1e 2
a <<，即22e a <<，
且当12
a x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当e 2
a x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以
22()ln (2)ln (1ln 2)22424⎛⎫
=+-+=--+ ⎪⎝⎭
a a a a a f x f a a a a a ，
设2
()ln (1ln 2)4
x g x x x x =--+，22e x <<，则
()ln 1(1ln 2)ln ln 222
x x
g x x x '=+-
-+=--，则11()02g x x ''=-<，
所以()g x '在(2,2e)上单调递减，所以()g x 在(2,2e)上单调递减，
则()()()22
2e 22e e 2e 1ln 2e 2g eln g =--+=-<，
所以()2
e g x >-，则根据不等式的传递性可得，
当()1,e x ∈时，()2
e .
f x >-
【点睛】
本题考查利用导数表示曲线上某点处的斜率，考查函数的单调性，考查导数的综合应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．
7．(1)()32
32f x x x =+-
(2)()2,2- 【解析】
【分析】
（1）由已知可得()()2013f f ⎧-=⎪
⎨-=-''⎪⎩，可得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未
知数的值，即可得出函数()f x 的解析式；
（2）分析可知，直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点，利用导数分析函数
()f x 的单调性与极值，数形结合可得出实数λ的取值范围.
(1)
解：因为()322f x x ax bx =++-，则()2
32f x x ax b '=++，
由题意可得()()212401323
f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨-=-+=-''⎪⎩，解得30a b =⎧⎨=⎩，所以，()32
32f x x x =+-.
当3a =，0b =时，()2
36f x x x '=+，经检验可知，函数()f x 在2x =-处取得极值. 因此，()32
32f x x x =+-.
(2)
解：问题等价于()f x λ=有三个不等的实数根，求λ的范围.
由()2
360f x x x '=+>，得2x <-或0x >，
由()2
360f x x x '=+<，得20x -<<，
所以()f x 在(),2-∞-、()0,∞+上单调递增，在()2,0-上单调递减， 则函数()f x 的极大值为()22f -=，极小值为()02f =-，如下图所示：
由图可知，当22λ-<<时，直线y λ=与函数()f x 的图象有3个交点， 因此，实数λ的取值范围是()2,2-. 8．(1)25y x =+ (2)0b = 【解析】 【分析】
（1）利用切点和斜率求得切线方程.
（2）由()2f x ≥恒成立构造函数()()2g x f x =-，对b 进行分类讨论，结合()
'
g x 研究()g x 的最小值，由此求得b 的值. (1)
当114
a b ==-，时，()4e 21x f x x =-+，则()4e 2x f x '=- 又因为(0)5,(0)2f f '==
所以曲线()y f x =在点（0，f （0））处的切线方程为()520y x -=-， 即25y x =+． (2)
当1a =时，令函数()()()2e 11x
g x f x b x =-=+--，
则()2f x ≥恒成立等价于()0g x ≥恒成立． 又()e 1,x g x b '=+-．
当1b ≥时，()e 10,x g x b '=+->，g (x )在R 上单调递增，显然不合题意； 当1b <时，令()e 10,x g x b '=+-<，得ln(1)x b <-．令()e 10x g x b '=+->，得
()ln 1x b >-，
所以函数g (x )在(,ln(1))b -∞-上单调递减，在(ln(1),)b -+∞上单调递增， 所以当ln(1)x b =-时，函数g (x )取得最小值． 又因为()00g =，所以0x =为g (x )的最小值点． 所以ln(1)0b -=，解得0b =． 9．(1)1y = (2)1(,)2
-∞ (3)10,4⎛⎤
⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】
（1）先求导后求出切线的斜率'(0)0f =，然后求出直线上该点的坐标即可写出直线方程；
（2）根据函数的单调性和最值分类讨论； （3）分情况讨论，根据函数的单调性和极限求解. (1)
解：由题意得：
22'e 121)e 2)()((x x ax x a f x ax x x ax =-++-=+- '(0)0f =，(0)1f =
故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线的方程1y =.
(2)
由（1）得要使得()f x 在0x =处取得极大值，'()f x 在0x <时应该'()0f x >，'()f x 在0x >时应该'()0f x <，
'e 2(1)()x x x ax f a =+-
故①0a <且
120a a -<，解得0a < ②0a >且120a a
->，解得102a << 当0a =时，'()e x f x x =-，满足题意； 当12a =时，'21
(e )2x f x x =，不满足题意；
综上：a 的取值范围为1(,)2-∞.
(3)
可以分三种情况讨论：①0a ≤②102a <<③12a ≥
若0a ≤，()f x 在12(,
)a a --∞上单调递减，在12(,0)a a -单调递增，在(0,)+∞上单调递减，无最小值； 若102a <<时，当0x <时，x 趋向-∞时，()f x 趋向于0；当0x > ，要使函数取得存在最小值
121221212112()[(41)0e ()]e a a a a a a a f a a a a a a -----=-=-≤+，解得104a <≤，故 12a x a -=处取得最小值,故a 的取值范围10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 若1
2a ≥时，()f x 在x 趋向-∞时，()f x 趋向于0，又(0)1f =故无最小值； 综上所述函数()f x 存在最小值， a 的取值范围10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 10．(1)在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增 (2)1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】
（1）求导，根据定义域和a 的范围，讨论导数符号可得单调区间； （2）由（1）中单调性可得函数最小值，由最小值大于0可解.
(1)
函数()f x 的定义域为()0+∞，
，
()()()222
231323'2ax ax a x ax f x a x a x x x +-+-=+-== 由于0a >且()0x ∈+∞，，所以230ax +>，令()'0f x =，解得1
x a
=， 当10x a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1
x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，()'0f x >，函数()f x 单调递增， ()f x ∴在10a ⎛⎫
⎪⎝⎭，上单调递减，在1
a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增．
(2)
要使()y f x =的图像与x 轴没有公共点，所以只需min ()0f x >即可，由（1）知min 111
()113ln 133ln 33ln 0f x f a a a a ⎛⎫==+-+=-=+> ⎪⎝⎭， 解得1e >a ，即a 的取值范围为1
(,)e +∞。