第2章计算机中的信息表示习题参考答案-汇编语言与计算机组成原理 答案

第2章计算机中的信息表示习题参考答案
1. 设机器数长为8位（含1位符号位在内），写出对应下列各真值的原码、补码和反码。

6413−, 12829
,100,-87
2. 写出下列各数的原码、反码、补码表示（用8位二进制数），其中MSB 是最高位（又是符号位），LSB 是最高位。

如果是小数，小数点在MSB 之后；如果是整数，小数点在LSB 之后。

(1) -35/64 (2)23/128 (3) –127 (4)用小数表示-1 (5)用整数表示-1 解：(1)-35/64 = -0.100011
原码1.1000110 反码1.0111001 补码1.0111010
(2)23/128= 0.0010111
原码0.0010111 反码0.0010111 补码0.0010111 (3) –127=1111111
原码11111111 反码10000000 补码10000001 (4) 用小数表示-1 补码1.0000000 (5) 用整数表示-1
原码10000001 反码11111110 补码111111111
3. 己知[X]，求[X]和X .
补原
4. 当十六进制数9B和FF分别表示为原码、补码、反码、移码和无符号数时，所对应的十进制数
各为多少（设机器数采用一位符号位）。

答：
5. 有一个字长为32位的浮点数，符号位１位，阶码８位，用移码表示，尾数23位，用补码表示；基数为2。

请写出：（1）最大数的二进制表示；（2）最小数的二进制表示； （3）规格化数所能表示数的范围。

解：用IEEE754格式(E的取值范围：1~254，留出全0和全1分别表示0和无穷大)
31 30 23 22 20 0
S E M
(1) 最大数的二进制表示：
0 11111110 11111111111111111111111即 2127(2-2-23)
(2) 最小数的二进制表示：
1 11111110 11111111111111111111111即 - 2127(2-2-23)
(3) 规格化数所能表示数的范围：
最小的正数：0 00000001 00000000000000000000001 即2-126(1+2-23)
绝对最小的负数：
1 00000001 00000000000000000000001 即-2-126(1+2-23)
所以范围是： -2127(2-2-23)至-2-126(1+2-23) ，2-126(1+2-23)至2127(2-2-23)
6. 将下列十进制数表示成IEEE754标准的32位浮点规格化数。

(1) 27/64 (2) – 27/64
解：27/64=0.011011=1.1011*2-2
(1) 0 01111101 10110000000000000000000
(2) 1 01111101 10110000000000000000000
7. 设机器数字长为8位（含1位符号位），用补码运算规则计算下列各题。

○1B ；A ，，B A +−==求32
13
649
○2 B ；A ，，B A −−==
求128173219
○3；求B A ,32
9
B ,163A +=−=
○4B ；A B A −=−=求,53,87
○5B ；A B A +−==求,24,115
答：
○
1A=B ；A ，B +−=求32
13
649 [][][][][]0100010
.11011110
.11001100
.1,0010010.00110100.1,0010010.0=+∴=+∴==∴==B A B A B A B A 补补补原原
○
2B ；A ，，B A −−==求128
17
3219 [][][][][][]1101
0.110B A 1
0111010.B A 001
0001.0B 1011111.1B 00,10011.0A 1010000.1B 00,10011.0A 补补补补原原=+∴=−∴=−==∴==
○
3
[][][][][]00
11000.0B A 00
11000.0B A 00100
0.01B 1.1101000,A 10010000.B 1.0011000,A ；
B A 求,32
9
B ,163A 补
补
补原原=+∴=+∴==∴==+=−=
○
4 [][][][][][]溢出
？求补补补补原原∴=−∴=−∴==∴==−=−=1110100101001011101101010,0101001101101010,10101111,53,87，B A ，B ，B ，A ，B ，A B ；A B A
○
5 [][][][][]0001011
11101101011010001,1110011000110001,11100110,24,115，B A ，B A ，B ，
A ，
B ，A B ；A B A =+∴=+∴==∴==+−==补补补原原求
8.已知x 和y，用变形补码计算x-y，同时指出运算结果是否溢出。

（1）x=0.11011 y=-0.11111 （2）x=0.10111 y=0.11011 （3）x=0.11011 y=-0.10011 解：（1）x = 0.11011
溢出
（2）x = 0.10111
x-y = -0.00100
无溢出
（3）x = 0.11011
9. 已知两个十进制数：X = -41，Y = +101试用8位二进制变形补码形式运算X + Y，并讨论结果
的正确性。

解：
X=-41=（-101001）2[X]补=11 1010111
Y=101=（+1100101）2 [Y]补=00 1100101
采用变形补码运算
[X+Y]补 = [X]补 +[Y]补
= 11 1010111 + 00 1100101
= 00 0111100
双符号位为：00 无溢出，结果正确；
即[X+Y]补=00111100
10. 已知两个十进制数：X=-41，Y=-101试用8位二进制变形补码形式运算X+Y，并讨论结果的正确性。

解：
X=-41=（-101001）2[X]补=11 1010111
Y=-101=（-1100101）2 [Y]补=11 0011011
采用变形补码
[X+Y]补 = [X]补 +[Y]补
= 11 1010111 + 11 0011011
= 10 01110010
双符号位为：10 有负溢出，结果不正确；
11. 已知两个二进制数：X=0.11001，Y=0.00111 试用变形补码形式运算X+Y，并讨论结果的正确性。

解：
X=0.11001 [X]补=00.11001
Y=0.00111 [Y]补=00.00111
采用变形补码运算：
[X+Y]补 = [X]补 +[Y]补
= 00.11001+00.00111
= 01.00000
双符号位为：01 有正溢出，结果不正确；
12. 已知两个二进制数：X = 0.11001，Y = -0.10111 试用变形补码形式运算X+Y，并讨论结果的正确性。

解：
X=0.11001 [X]补=00.11001
Y=-0.10111 [Y]补=11.01001
用变形补码运算：
[X+Y]补 = [X]补 +[Y]补
= 00.11001+11.01001
= 00.00010
双符号位为：00 无溢出，结果正确；
即[X+Y]补=0.00010
13. 已知两个二进制数：X=110011，Y=101101 试用变形补码形式运算X+Y，并讨论结果的正确性。

解：
X=110011， [X]补=00 110011
Y=101101 [Y]补=00 101101
采用变形补码运算：
[X+Y]补 = [X]补 +[Y]补
= 00 110011 + 00 101101
= 01 100000
双符号位为：01 有正溢出，结果不正确；
14. 已知两个二进制数：X=110011，Y=101101试用变形补码形式运算X-Y，并讨论结果的正确性。

解：
X=110011， [X]补=00 110011
Y=101101 [-Y]补=11 010011
采用变形补码运算：
[X - Y]补 = [X]补 +[-Y]补
= 00 110011 + 11 010011
= 00 000110
双符号位为：00 无溢出，结果正确；
[X - Y]补=0 000110
15. 已知两个二进制数：X=0.11001，Y=0.00111 试用变形补码形式运算X-Y，并讨论结果的正确性。

解：
X=0.11001 [X]补=00.11001
Y=0.00111 [-Y]补=11.11001
采用变形补码运算：
[X - Y]补 = [X]补 +[-Y]补
= 00.11001 + 11.11001
= 00.10010
双符号位为：00 无溢出，结果正确；
[X - Y]补=0.10010
16. 已知x和y，用变形补码计算x+y，同时指出结果是否溢出。

（1）x=0.11011 y=0.00011
（2）x=0.11011 y=-0.10101
（3）x=-0.10110 y=-0.00001
解：（1）x = 0.11011, y = 0.00011
x+y = 0.11110
无溢出
x+y = 0.00110
无溢出
（3）x = -0.10110
x+y = -0.10111
无溢出
17．已知x和y，用变形补码计算x-y，同时指出运算结果是否溢出。

（1）x=0.11011 y=-0.11111
（2）x=0.10111 y=0.11011
（3）x=0.11011 y=-0.10011
解：（1）x = 0.11011
溢出
（2）x = 0.10111
x-y = -0.00100
无溢出
（3）x = 0.11011
18. 已知两个无符号二进制数：X=1001，Y=1101 ，用原码一位乘法完成X × Y。

解：
X=1001，Y=1101
B ：1001被乘数 A ： 0000
C ：1101乘数
0000 1101 C 0=1 累加1 +B
1001
1001
移位1 0100 1110 C 0=0
累加2 +0 0000
0100
移位2 0010 0111 C 0=1
累加3 +B 1001
1011
移位3 0101 1011 C 0=1
累加4 +B 1001
1110
移位4 0111 0101 （结果）
19. 已知两个无符号二进制数：X = 1101，Y = 1010 ，用原码一位乘法完成X × Y。

解：
X=1101，Y=1010
B：1101被乘数 A： 0000 C：1010乘数 0000 1010 C 0=0 累加1 +0 0000 0000 移位1 0000 0101 C 0=1 累加2 +B 1101 1101 移位2 0110 1010 C 0=0 累加3 +0 0000 0110 移位3 0011 0101 C 0=1 累加4 +B 1101 10000 移位4 1000 0010 （结果）
20．用原码阵列乘法器、补码阵列乘法器分别计算x ×y。

（1）x = 0.11011 y = - 0.11111 （2）x = -0.11111 y = - 0.11011 解：（1）原码阵列
x = 0.11011, y = -0.11111 符号位: x 0⊕y 0 = 0⊕1 = 1 [x]原 = 11011, [y]原 = 11111
[x*y]原 = 1， 11 0100 0101
直接补码阵列
[x]补 = (0)11011, [y]补 = (1)00001
带求补器的补码阵列
[x]补 = 0 11011, [y]补 = 1 00001 乘积符号位单独运算0⊕1＝1
尾数部分算前求补输出│X│＝11011，│y│＝11111
(2) 原码阵列
x = -0.11111, y = -0.11011 符号位: x 0⊕y 0 = 1⊕1 = 0 [x]补 = 11111, [y]补 = 11011
[x*y]补 = 0,11010,00101
直接补码阵列
[x]补 = (1)00001, [y]补 = (1)00101
[x*y]补 = 0,11010,00101
带求补器的补码阵列
[x]补 = 1 00001, [y]补 = 1 00101
乘积符号位单独运算1⊕1＝0
尾数部分算前求补输出│X│＝11111，│y│＝11011
X×Y＝0.1101000101
21．用原码阵列除法器计算x÷y。

（1）x = 0.11000 y = - 0.11111
（2）x = -0.01011 y = - 0.11001
解：(1) 符号位 Sf = 0⊕1 = 1
去掉符号位后：[y’]补 = 00.11111
[-y’]补 = 11.00001
52*00111.0,11000.0−−=−=余数y
x
(2) 符号位 Sf = 1⊕0 = 1
去掉符号位后：[y’]补 = 00.11001 [-y’]补 = 11.00111
52*10111.0,01110.0−−=−=余数y
22．设阶码3位，尾数6位，按浮点运算方法，完成下列取值的[x+y],[x-y]运算。

（1）x = 2-011 × 0.100101 y = 2-010 ×（- 0.011110） （2）x = 2-101 ×（-0.010110） y = 2-100 × (0.010110)
解：设两数均以补码表示，阶码采用双符号位，尾数采用单符号位，则它们的浮点表示分别为：
题(1) [x]浮=11 101,0.100101 [y]浮=11 110,1.100010 (1)求阶差并对阶
ΔE=Ex-Ey=[Ex]补-[Ey]补=[Ex]补+[-Ey]补=11 101 + 00 010 =11 111 即ΔE 为-1，x 阶码小，应使Mx 右移1位，Ex 加1 [x]浮=11 110,0.010010(1) (2)尾数求和
0.010010(1) + 1.100010 1.110100(1) (3)规格化
可见尾数运算结果的符号位与最高位相同，应执行左规格化处理，每左移尾数一次，相应阶码减1，所以结果尾数为1．010010，阶码为11 100 (4)舍入处理 对本题不需要。

(5)判溢出
阶码两符号位为11，不溢出，故最后结果为 [x]浮+[y]浮=11 100，1010010 真值为2-100*(-0.101110)
(2)尾数求差
0.010010(1) + 0.011110 0.110000(1) [x]浮－[y]浮=11 100，0.110001 真值为2-100*0.110001
题(2) [x]浮=11 011,1.101010 [y]浮=11 100,0.010110 (1)求阶差并对阶
ΔE=Ex-Ey=[Ex]补-[Ey]补=[Ex]补+[-Ey]补=11 011 + 00 100 =11 111 即ΔE 为-1，x 阶码小，应使Mx 右移1位，Ex 加1 [x]浮=11 100,1.110101(0) (2)尾数求和
1.110101(0) + 0.010110 0.001011(0) (3)规格化
可见尾数运算结果的符号位与最高位相同，应执行左规格化处理，每左移尾数一次，相应阶码减1，所以结果尾数为0.101100，阶码为11 010 (4)舍入处理 对本题不需要。

(5)判溢出
阶码两符号位为11，不溢出，故最后结果为 [x]浮+[y]浮=11 010，010100 真值为2-110*(0.010100)
23.设数的阶码为3位，尾数6位，用浮点运算方法，计算下列各式 （1）（23 × 13/16）×[24 ×（－9/16）] （2） （2-2 × 13/32） ÷ （ 23 ×15/16）
解：(1) Ex = 0011, Mx = 0.110100
Ey = 0100, My = 0.100100 Ez = Ex+Ey = 0111
规格化： 26*0.111011
(2)Ex = 1110, Mx = 0.011010
Ey = 0011, My = 0.111100
Ez = Ex-Ey = 1110+1101 = 1011
[Mx]补 = 00.011010
商 = 0.110110*2-6, 余数=0.101100*2-6
24. 某加法器进位链小组信号为C4 C3 C2 C1 ，低位来的进位信号为C0 ，请分另按下述两种方法写出C4 C3 C2 C1 逻辑表达式：
（1）串行进位方式 （2）并行进位方式
解：
4位加法器如上图， 1
111)()(−−−−⊕+=++=++=i i i i i i i i i i i i i i i i i C B A B A C B A B A C B C A B A C
(1)串行进位方式
C 1 = G 1+P 1C 0 其中：G 1 = A 1B 1 P1 = A 1⊕B 1（A 1＋B 1也对） C 2 = G 2+P 2C 1 G 2 = A 2B 2 P 2 = A 2⊕B 2 C 3 = G 3+P 3C 2 G 3 = A 3B 3 P 3 = A 3⊕B 3 C 4 = G 4+P 4C 3 G 4 = A 4B 4 P 4 = A 4⊕B 4 (2)并行进位方式 C 1 = G 1+P 1C 0
C 2 = G 2+P 2G 1+P 2P 1C 0
C 3 = G 3+P 3G 2+P 3P 2G 1+P 3P 2P 1C 0
C 4 = G 4+P 4G 3+P 4P 3G 2+P 4P 3P 2G 1+P 4P 3P 2P 1C 0
25. 若给定全加器、半加器和门电路，请设计实现余3码的十进制加法器的逻辑线路。

解：（1）余3码到十进制的转换电路
如图所示电路是一个用四位加法器构成的代码变换电路，若输入信号E 3、E 2、E 1、E 0为余3BCD 码，则输出端S 3S 2S 1S 0是代码。

BCD 8421
（2）在十进制运算时,当相加二数之和大于9时,便产生进位。

可是用BCD 码完成十进制数运算时, 当和数大于9时,必须对和数进行加6修正。

这是因为,采用BCD 码后,在二数相加的和数小于等于 9时,十进制运算的结果是正确的；而当相加的和数大于9时,结果不正确,必须加6修正后才能得 出正确的结果。

因此,当第一次近似求值时,可将它看成每一级是一个4位二进制加法器来执行, 就好像ｘi 和ｙi 是普通4位二进制数一样。

设S'i 代表这样得到的4位二进制数和,C'i ＋1为输出 进位,而S i 代表正确的BCD 和,C i ＋1代表正确的进位,那么当ｘi ＋ｙi ＋C i <10时, S i ＝S'i
当X i ＋Y i ＋C i ≥10时, S i ＝S'i ＋6
显然,当C'i ＋1＝1或S'i ≥10时,输出进位C i ＋1＝1。

因此,可利用C i ＋1的状态来产生所要求的 校正因子:C i ＋1＝1时校正因子为6;C i ＋1＝0时校正因子为0。

在图2.3(b)中,4位行波式进位的二 进制加法器计算出和S'i ,然后S'i 经过第二级二进制加法器加上0或6,则产生最终结果S i 。

解二：
余3码编码的十进制加法器规则如下：两个一位十进制数的余3码相加，如果无进位，则从和数中减去3（加上1101）；如结果有进位，则得和数和余3码。

试设计余3码编码的十进制加法器单元电路。

解：设余三码编码的两个运算数为X
i 和Y
i
，第一次用二进制加法求和运算的和数为S
i
’，
进位为C
i+1’，校正后所得的余三码和数为S
i
，进位为C
i+1
，则有：
X
i = X
i3
X
i2
X
i1
X
i0
Y
i = Y
i3
Y
i2
Y
i1
Y
i0
S
i ’ = S
i3
’S
i2
’S
i1
’S
i0
’
i3i3i2i2i1i1i0i0
根据以上分析，可画出余三码编码的十进制加加法器单元电路如图所示。

26.设有寄存器、74181和74182器件，请设计具有并行运算功能的16位（含一位符号位）补码二进制加减法运算器。

画出运算器的逻辑框图。

解：
（1）用集成电路构成ALU 的原理
74181 是一种具有并行进位的多功能ALU 芯片，每4 位构成一组，组内是并行进位的。

主
教材图2-13 是用正逻辑和负逻辑表示的4 位74181 芯片框图，表2-19 是74181 芯片的各种运算功能表。

74181 芯片本身是4 位的，也就是说它可以进行4 位二进制数的各种运算。

74181 芯片的
结构很适合连成不同位数的ALU，由4 片74181 ALU 可以构成一个16 位的ALU，由16 片74181 ALU 可以构成一个64 位的ALU。

（2）利用74181 芯片构成16 位ALU 的原理
74181 芯片的结构很适合连成不同位数的ALU，每片74181 芯片作为一个4 位的小组。

由
于芯片给出了C n+4、P i 和G i，所以用该芯片既可以构成组间串行进位的ALU，也可以构成组间
并行进位的ALU。

①片内进位是快速的，片间进位是逐片传递的，如图所示。

图2-3 片内快速进位、片间逐片传递的结构框图
② 片间、片内均是快速的。

• 超前进位的74182 芯片的结构框图如图2-4 所示。

图2-4 超前进位的结构框图
说明：G0～G3、P0～P3 为单片74181 的G、P；C n 为组进位输入，P、G 为组进位输出，
用于将4 组16 位快速的ALU 扩展成为64 位快速的ALU；C n+z、C n+y、C n+x 分别是单片74181
间的进位。

• 片间、片内均由快速进位的16 位ALU 构成，如图2-5所示。

说明：片间采用并行快速进位时，只需要增加一片74182 芯片。

74182 芯片是与74181 芯
片配套的产品，是一个产生进位信号的部件。

由于74181 提供了小组的进位传递函数P i 和进位 生成函数G i，74182 可以利用它们来作为输入函数，以并行的方式给出每个小组的最高位进位
信号。

74182 在这里的用途是作为第2 级并行进位系统，74182 并行给出的3 个进位信号分别是 C4、C8、C12，这3 个进位信号分别作为高位74181 的进位输入信号，这就可以构成74181 芯片
间快速进位的16 位ALU。

图2-5 片间、片内均是快速进位的结构框图
27. 设有效信息为110，试用生成多项式G （x ）＝11011，将其编成循环冗余校验码。

有一个(7,4)码，其生成多顶式G （x ）＝x 3＋x+1，写出代码1001的循环冗余校验码。

解：有效信息M(x)＝110＝x 2＋x （n ＝3）
；由G （x ）＝11011＝x 4＋x 3+x+1 得 k ＋1＝5所以k ＝4
将有效信息左移四位后再被G （x ）模2除，即 M(x)·x 4＝1100000＝x 6＋x 5
11011
1100
100110111100000)()(4+==x G x x M （模2除），所以 M （x ）·x 4＋R （x ）＝1100000＋1100
＝1101100为CRC 码。

28.有一个(7,4)码，其生成多顶式G （x ）＝x 3＋x+1，写出代码1001的循环冗余校验码。

解：有效信息M(x)＝1001＝x 3＋1 （n ＝4）
；由G （x ）＝x 3＋x+1=1011 得 k ＋1＝4所以k ＝3 将有效信息左移三位后再被G （x ）模2除，即 M(x)·x 3＝1001000＝x 6＋x 3
1011110
10101011
1001000)()(3+==x G x x M （模2除），所以 M （x ）·x 3＋R （x ）＝1001000＋110＝1001110
为CRC 码。