2019年中考数学抢分训练之“小题狂做”：勾股定理(含解析)

勾股定理
一、选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)[来%源:中教~@^&]
1．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是( )
A．10 B．4 5 C．10和4 5 D．10或217[中国~@&教
2．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积验证勾股定理，图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )
A．90 B．100 C．110 D．121
[:
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线M N翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MAB N的面积是( )
A．6 3 B．12 3 C．18 3 D．24 3
4．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值，则67.5°角的正切值是( )
A.3＋1
B.2＋1 C．2.5 D. 5
5．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为( )
A.25
8
cm B.
25
4
cm C.
25
2
cm D．8 cm[来^@源~:中国教育出版*&]
二、填空题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)
6．如图所示：∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BC＝4，AE＝2，则AD＝______．
第6题图第7题图
7．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为______．三、解答题(共18分)
8．(18分)阅读下列材料并解答相关问题：
正方形格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．
数学老师给小明同学出了一道题目：在图①正方形格(每个小正方形边长为1)中画出格点△ABC，使AB＝AC ＝5，BC＝2；
[中国教#育出版@~^*]
图①图②[:
小明同学的做法是：由勾股定理，得AB＝AC＝22＋12＝5，BC＝12＋12＝2，于是画出线段AB、AC、BC，从而画出格点△ABC.
(1)请你参考小明同学的做法，在图②正方形格(每个小正方形边长为1)中画出格点△A′B′C′(A′点位置如图②所示)，使A′B′＝A′C′＝5，B′C′＝10(直接画出图形，不写过程)；
(2)观察△ABC与△A′B′C′的形状，猜想∠BAC与∠B′A′C′有怎样的数量关系，并证明你的猜想．[:
1. C 解析：根据题意复原直角三角形可能有以下两种情况：
根据题目条件知，点M、N分别是三角形斜边的中点，由相似三角形的性质可以得到如图所示的各线段的长度，从而由勾股定理得到三角形的斜边是10或4 5.
2. C 解析：延长AC交LM于点P，延长AB交KL于点O.
[中&国教育^@*出版#]
易证△ABC≌△PCG≌△QFB，
所以BQ＝AC＝4，PC＝AB＝3，
所以MJ＝3＋4＋3＝10，
JK＝4＋3＋4＝11，所以矩形KLMJ的面积为10×11＝110，故选C.[:
3. C 解析：连接CD，交MN于点E，
∴MN⊥CD，且CE＝DE，又MN∥AB，∴MN是Rt△ABC的中位线．
在Rt△CMN中，MN＝6，NC＝23，则MN＝CM2＋CN2＝36＋12＝43，
∴AB＝2MN＝83，DE＝CE＝CM×CN
MN
＝
6×23
43
＝3，
∴四边形MABN 的面积＝12
(MN ＋AB)×DE＝18 3. 4. B 解析：设AB ＝a ，则BE ＝a ，在Rt△ABE 中，∠BEA＝∠BAE＝45°，由勾股定理，得AE ＝AB 2＋BE 2＝a 2＋a 2＝2a ，易知AE ＝FE ，则∠EAF＝∠EFA＝22.5°，EF ＝2a ，则BF ＝BE ＋EF ＝(2＋1)a ，则∠BAF＝∠BAE
＋∠EAF＝67.5°，则tan ∠BAF＝ tan67.5°＝BF AB ＝2＋1，故选B.[#*:中国^教育出~&版] 5. B 解析：设AF ＝x cm ，则D′F＝DF ＝(8－x) cm ，由折叠可知，AB ＝AD′＝6 cm ，在Rt△AD′F 中，根据勾股定理，得AD′2＋D′F 2＝AF 2，
所以62＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝254
，故选择B. 6. 103 解析：由题意知AB ＝BC 2＋AC 2＝42＋32＝5， 又△ABC∽△ADE，∴AB AD ＝AC AE ，∴AD＝AB·AE AC ＝5×23＝103
.[w@ww.zzstep*.#%com&] 7. 4.5 解析：在Rt△ABE 中，∠E＝90°，AE ＝BE ，AB ＝3，
所以S △AB E ＝94
. 因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以S △ABC ＋S △CBF ＝14AC 2＋14
BC 2 ＝14AB 2＝S △ABE ＝94
，所以阴影部分的面积为4.5.[中~国教#育出&%版@] 8. 解：(1)如图．(6分)[:
[来@源:z%zstep.&^co*m]
(2)猜想：∠BAC＝∠B′A′C′.(8分)
证明：∵AB A′B′＝55，AC A′C′＝55，BC B′C′＝210＝55， ∴AB A′B′＝AC A′C′＝BC B′C′
，∴△ABC∽△A′B′C′，∴∠BAC＝∠B′A′C′.(18分)。