2017-2018学年高中数学 第一章 导数及其应用 第2节 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数、基本初等函数

[尝试解答] (1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋ x)ex.
(2)∵y＝x－12sin x，∴y′＝x′－12(sin x)′＝1－12cos x. (3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋xln1 3. (4)y′＝（ex＋1）′（ex－（1）ex－－1（）ex2＋1）（ex－1）′ ＝ex（ex－（1）ex－－1（）ex2＋1）ex＝（e－x－2e1x）2.
则曲线 y＝ex 在点 P(x0，y0)处的切线斜率为 1， 又 y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得 x0＝0，代入 y＝ex，得 y0＝1，即 P(0， 1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为 22.
解决有关切线问题的关注点 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三 个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个 要素间的关系． (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第 一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设 出切点，这是解题时的易错点．
—————————[课堂归纳·感悟提升]—————————
1．本节课的重点是基本初等函数的导数公式及导数 运算法则，难点是灵活运用导数公式和运算法则解决相 关问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)利用导数公式求导数，见讲 1； (2)利用导数运算法则求导数，见讲 2； (3)利用导数研究曲线的切线问题，见讲 3.
③gf（（xx））′＝
(g(x)≠0)．
[问题思考] (1)常数函数的导数为0说明什么？
提示：说明常数函数f(x)＝c图象上每一 点处的切线的斜率都为0，即每一点处的切 线都平行(或重合)于x轴．
(2)对于公式“若f(x)＝xα (α∈Q*)，则 f′(x)＝αxα －1”，若把“α∈Q*”改为 “α∈R”，公式是否仍然成立？
名师指津：(1)幂函数 f(x)＝xα中的 α 可以由 Q*推 广到任意实数．
(2)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换， (符号)正同余反”．
(3)指数函数的导数等于指数函数本身乘以底数 的自然对数，(ex)′＝ex 是(ax)′＝axln a 的特例． (4)对数函数的导数等于 x 与底数的自然对数乘积的倒 数，(ln x)′＝1x是(logax)′＝xln1 a的特例．
练一练
2．求下列函数的导数：
(1)y＝coxs x；
(2)y＝xsin x＋ x；
(3)yБайду номын сангаас11－＋
xx＋11＋－
x； x
(4)y＝lg x－x12.
解：(1)y′＝coxs
x′＝（cos

x）′·x－cos x2
x·（x）′
＝－x·sin xx2－cos
x＝－xsin
x＋cos x2
提示：当α∈R时，f′(x)＝αxα－1仍然成 立．
(3)下面的计算过程正确吗？
sinπ4
′＝cosπ4
＝
2 2.
提示：不正确．因为 sinπ4 ＝ 22是一个常 数，
而常数的导数为零，所以sinπ4 ′＝0．
(4)若 f(x)，g(x)都是可导函数，且 f(x)≠0， 那么下列关系式成立吗？
练一练 3．求过曲线 y＝cos x 上点 Pπ3 ，12且与 曲线在这点处的切线垂直的直线方程．
解：∵y＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x， ∴曲线在点 Pπ3 ，12处的切线的斜率为 k＝y′|x＝π3 ＝－sinπ3 ＝－ 23， ∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为233， ∴满足题意的直线方程为 y－12＝233x－π3 ， 即233x－y＋12－293π ＝0.
1＝－xln1 2
2.
(4)y′＝(4 x3)′＝(x34)′＝34x－14＝
3 4
.
4x

(5)∵y＝sin

2x＋cos
2x2－1
＝sin22x＋2sin
x 2cos
2x＋cos22x－1
＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数 公式，则直接利用公式求导．
利用导数运算法则求解的策略 (1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是 由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公 式． (2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求 导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积 式求导，三角函数恒等变换后求导等． (3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差， 利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法 则求导．
(4)∵y＝3 lg3 x＝lg x，∴y′＝(lg x)′＝xln110. (5)∵y＝2cos22x－1＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
讲一讲 2．(链接教材 P15－例 2)求下列函数的导数： (1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sin 2xcos2x； (3)y＝x2＋log3x; (4)y＝eexx＋ －11.
①[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b 为 常数)；
②f（1x）′＝－f[′f（（x）x）]2.
提示：由导数的运算法则可知，这两个 关系式都正确．
[课前反思] (1)基本初等函数的导数公式有哪些？
； (2)导数的运算法则有哪些？其适用条件是什么？
．
[思考] 你能说出函数 f(x)＝c 与 f(x)＝xα 、f(x)＝sin x 与 f(x)＝cos x、f(x)＝ax 与 f(x)＝ex、f(x)＝logax 与 f(x) ＝ln x 的导数公式有什么特点和联系吗？
讲一讲 1．求下列函数的导数： (1)y＝10x；(2)y＝lg x；(3)y＝log1x；
2
(4)y＝4 x3；(5)y＝sin

2x＋cos
2x2－1.
[尝试解答] (1)y′＝(10x)′＝10xln 10.
(2)y′＝(lg x)′＝xln110.
(3)y′＝(log1x)′＝ 1 2 xln
x .
(2)y′＝(xsin x)′＋( x)′＝sin x＋xcos x＋21 x .
(3)∵y＝（11＋－xx）2＋（11－－xx）2＝21＋－2xx＝1－4 x－
2，
∴y′＝1－4 x－2′＝－（4（1－1－x）x）2 ′＝（1－4 x）2.

(4)y′＝lg

x－x12′＝(lg
f(x)＝ex
f′(x)＝ ex
f(x)＝logax
f′(x)＝
1 xln
a
(a＞0，且 a≠1)
f(x)＝ln x
f′(x)＝ 1 x
(2)导数运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
②[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ； 当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x) ．
x)′－x12′
＝xln110＋x23.
讲一讲 3．点 P 是曲线 y＝ex 上任意一点，求点 P 到 直线 y＝x 的最小距离．
[思考点拨] 将直线 y＝x 向上平移，当直线 与曲线 y＝ex 相切时，该切点到直线 y＝x 的距离 最小．
[尝试解答] 如图，当曲线 y＝ex 在点 P(x0，y0)处的 切线与直线 y＝x 平行时，点 P 到直线 y＝x 的距离最近．
(2)函数②③④⑤的导数分别是什么？
提示：由导数的定义得：(x)′＝1，(x2)′＝2x，1x′＝－x12， ( x)′＝21 x .
(3)函数②③⑤均可表示为 y＝xα (α∈Q*)的形式，其 导数有何规律？
提示：∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，( x)′＝x12′＝12x12－1
(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变 换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数 幂的形式求导．
练一练 1．求下列函数的导数： (1)y＝1ex；(2)y＝110x； (3)y＝lg 5；(4)y＝3lg3 x； (5)y＝2cos22x－1.
解：(1)y′＝1ex′＝1exln1e＝－e1x＝－e－x. (2)y′＝110x′＝110xln 110＝－1ln0x10＝－10－x ln 10. (3)∵y＝lg 5 是常数函数，∴y′＝(lg 5)′＝0.
3．本节课的易错点是导数公式(ax)′＝axln a 和
(logax)′＝
1 xln
a以及
运算
法
则
[f(x)·g(x)]′
与gf（（xx））
′
的区别．
第 1 课时 几个常用函数的导数、基本初等函 数的导数公式及导数的运算法则
[核心必知] 1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材 P12～P16 的内容，回答下列问题． 已知函数： ①y＝f(x)＝c，②y＝f(x)＝x，③y＝f(x)＝x2， ④y＝f(x)＝1x，⑤y＝f(x)＝ x. (1)函数 y＝f(x)＝c 的导数是什么？ 提示：∵Δ Δyx＝f（x＋ΔΔx）x－f（x）＝cΔ－xc＝0，
＝ 2
1
x，∴(xα)′＝αxα－1．
2．归纳总结，核心必记
(1)基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c(c 为常数)
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα (α∈Q*)
f′(x)＝α·xα －1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax
f′(x)＝ axln_a (a＞0)