第2讲 绝对值与有理数运算(学生版)

第2讲 绝对值与有理数运算
知识精要
（一）绝对值
1、一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。

2、一个正数的绝对值是他本身；
一个负数的绝对值是它的相反数； 零的绝对值是零。

3、正数大于零，零大于负数，正数大于负数。

两个负数绝对值大地那书数反而小。

（二）、有理数的加减法
1、有理数的加法法则
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数。

2、有理数减法的意义
有理数的减法的意义与小学学过的减法的意义相同。

已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。

减法是加法的逆运算。

3、有理数的减法法则
有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 设b a x -=，则a b x =+，
)()(b a b b x -+=-++∴)(b a x -+=． 因此，)(b a b a -+=-．
（三）有理数的乘法
1、有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零. 说明：①掌握乘法法则的关键是会确定积的符号：“两数相乘，同号得正，异号得负”. 且不可与有理数加法的符号法则混淆；②有理数乘法法则中“同号得正，异号得负”是专指“两数”相乘而言的. 2、有理数乘法法则的推广
①几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正.
②几个数相乘，有一个因数为零，积就为零.
3、 倒数
（1）倒数的意义
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数. 即若a ·b=1，则a 与b 互为倒数；若a 与b 互为倒数，则a ·b=1.
（2）倒数的求法
①求一个非零整数的倒数，直接可写成这个数分之一的形式，即a 的倒数为1a .
②求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下位置即可，即m n 的倒数为n
m
. 对于带分数先将其化为假分数，再求倒数.
③求一个小数的倒数，应先将小数化为分数，然后再求倒数.
（3）零没有倒数，因为零不能作除数. 4、 有理数的除法法则
（1）除以一个数等于乘上这个数的倒数. 即：)0(1
≠⨯
=÷b b
a b a （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0.
名师精讲
例1、现规定一种运算“*”，对于a 、b 两数有：ab a b a b
2*-=,试计算2*)3(-的值。

例2、已知2-ab 与1-b 互为相反数，设法求代数式
.)
1999)(1999(1
)2)(2(1)1)(1(11的值++++++++++b a b a b a ab
例3、当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是？
例4、（1）21
122()(2)2233-+
⨯-- （2）23122(3)(1)6293
--⨯-÷-
备选例题
例1、有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24。

例如对1，2，3，4，可作如下运算：(1+2+3)×4＝24（上述运算与4×(1＋2＋3)视为相同方法的运算）
现有四个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24。

运算式如下：（1） ， （2） ，（3） 。

另有四个有理数3，－5，7，－13，可通过运算式（4） 使其结果等于24。

例2、观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与-2，3与5，-2与-6，-4与3.
并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？（相等） （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离
可以表示为__ _____。

（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 。

（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 。

巩固练习
1、绝对值等于它本身的有理数是 ，绝对值等于它的相反数的数是 。

2、如果a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，且m=-1，则代数式2ab-（c+d ）+m 2
=___ ____。

3、当b 为 值时，5-12-b 有最大值，最大值是 。

4、相反数等于-5的数是___ ___,绝对值等于5的数是___ _____。

5、-4的倒数的相反数是__ ____。

6、绝对值小于π的整数有_-3、-2、-1、0、1、2、3_______。

7、若|-x|=2，则x=__ __；若|x －3|=0，则x=___ ___；若|x －3|=1，则x=___ ____。

8、|－4|－|－2.5|+|－10|＝___ ___；|－24|÷|－3|×|－2|＝___ ___。

9、若3+-y x 与1999-+y x 互为相反数，则
y
x y
x -+= 。

10、两个有理数，它们的和为正数，积也为正数，那么这两个有理数 （ ） A 、都是正数 B 、都是负数 C 、一正一负 D 、符号不能确定
11、已知a<c<0,b>0,且|a|>|b|>|c|,则|a|+|b|-|c|+|a+b|+|b+c|+|a+c|等于（ ）
A 、-3a+b+c
B 、3a+3b+c
C 、a-b+2c
D 、-a+3b-3c 12、两个非零有理数的和为正数，那么这两个有理数为（ ）
A 、都是正数
B 、至少有一个为正数
C 、正数大于负数
D 、正数大于负数的绝对值，或都为正数。

13、有理数的绝对值一定是 （ ）
A 、正数
B 、整数
C 、正数或零
D 、自然数 14、下列说法中正确的个数有 （ ）
①互为相反数的两个数的绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有正数；③不相等的两个数的绝对值不相等；④绝对值相等的两个数一定相等 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
15、如果甲数的绝对值大于乙数的绝对值，那么 （ ） A 、甲数必定大于乙数 B 、甲数必定小于乙数
C 、甲、乙两数一定异号
D 、甲、乙两数的大小，要根据具体值确定 16、下列等式成立的是（ ）
A 、100÷
71×（—7）=100÷⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-⨯)7(71 B 、100÷71×（—7）=100×7×（—7） C 、100÷
71×（—7）=100×71×7 D 、100÷7
1
×（—7）=100×7×7 17、下列说法正确的是（ ）
A 、a -一定是负数
B 、只有两个数相等时它们的绝对值才相等
C 、若a b =，则a 与b 互为相反数
D 、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负
12、计算
（1）()[]()5.13.42.56.34.1---+--
（2）(－0.6)+1.7+(+0.6 )+(－1.7 )+(－9 )
（3）4×（－96）×（－0.25）×
481 （4）87-×（143-）÷（8
3
-）
13、若y x -+3-y =0 ，求y x +2的值.
14、化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
15、有若干个数，第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，…，第n 个数记为a n 。

若a 1=
2
1
，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”。

试计算：a 2=___2__，a 3=__-1__，a 4=__
2
1
___，a 5=___2___。

这排数有什么规律吗？由你发现的规律，请计算a 2004是多少？ )1(-
热身练习
1.有理数的加减法计算:
(1) 1899⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (2) 121323⎛⎫+- ⎪⎝⎭; (3) 11123⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (4) 114
2412⎛⎫+- ⎪⎝⎭
(5) 351010⎛⎫⎛⎫
--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (6) 11
47⎛⎫-- ⎪⎝⎭; (7) 1145-; (8) 1135⎛⎫⎛⎫
--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二.计算:
(1)
22
9( 5.6)6( 5.6)(9)
33
⎛⎫⎛⎫
-+-+++++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
;
(2)
1312 5645 3535
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫++-+-
⎪ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣⎦
(3)
111 357
235⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
;
(4) 1353212424683⎛⎫⎛⎫⎛⎫
------+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
;
(5) 1
511451244126
3⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;
(6) 5213(15.5)165772⎛
⎫⎛⎫⎛⎫----+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2.有理数的乘除法计算:
1、（－8）×（－7）
2、2.9×（－0.4）
3、4
1
)98(⨯-
4、－91÷13
5、（－18）÷（－0.6） 4、)12
11
(713-÷
二、计算
1、)41()59(65)3(-⨯-⨯⨯-
2、)5
1
1()4()6(÷-÷-
3、)58()32(25.0-⨯-÷-
4、)4
1
2()211()43(-÷-⨯-
5、 )12()216141(-⨯-+
6、⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-⨯-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯721432)50(313751
7、 ()48242387651211-⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛-+- 8、7222352357323574⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯
自我测试：
1、绝对值大于2，且小于4的整数有_________。

2、7=x ，则=x ___ ； 7=-x ，则=x ___ 。

3、=-+--+-)3(2)3
2()3
1
(________。

4、10_____5-=+- , 6______3
1
2
-=--。

5、若,且,,则 ___ 。

6、1－3+5―7+……+97―99 =________。

7、．下面四个三角形内的数有共同的规律，请找出这个规律，确定A 为_________
8、一个有理数与它的相反数的积 ( )。

A 、 是正数
B 、是负数
C 、一定不大于0
D 、一定不小于0 9、下列说法中正确的是 ( )。

4m =3n =2
()m n +=10
2
3
21
3
4
36
4 5
A
5 6
A 、同号两数相乘,符号不变.
B 、异号两数相乘,取绝对值较大的因数的符号.
C 、两数相乘,积为正数,那么这两个数都为正数.
D 、两数相乘,积为负数,那么这两个数异号。

10、下列各式与c b a +-的值相等的是（ ）
A 、)()(c b a -+-+
B 、)()(c b a +-+-
C 、)()(c b a --+-
D 、)()(c b a ----
11、下列说法正确的是（ ）
A 、两个有理数的和一定大于每一个加数
B 、两个有理数的差一定小于被减数
C 、若两数的和为O ，则这两个数都为O
D 、若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个为正数 12、计算
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-------43315)312(213
)4.2(7
3
)187(-⨯⨯-
()()⎥⎦⎤
⎢
⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-----312
1421 )4
15()310()10(815-÷-⨯-÷
13、 已知5=a ，3=b 且b a b a +=+，求b a +的值。

14、已知a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 绝对值为2，求x n
m a
b mn --++
-2的值
15、已知2
)1(-+y x 与2+x 互为相反数，a ，b 互为倒数，试求ab x y
+的值．。