人教版数学八年级上册第十二章12.3角的平分线的判定

证明：作射线OP， ∴AM平分∠BAD．
例4 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
∴∠C=∠DEM=90°，
即BO，CO都是角平分线，
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∵MC⊥DC，ME⊥AD，DM平分∠ADC，
F M
∴∠CBO=∠ABO= ∠ABC，
∵ OC平分∠AOB， 同理可证 AE=AB，
∴FG=FM.
A
判断一个点是否在角的平分线上.
B HD
同理可得，∴FM=FH， 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
例4 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
角的平分线的判定
知识回顾
角平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言描述： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD=PE.
不必再证全等
A
垂线段PD长
P到边OA的距离
D
C 角平分线上的点
P
垂线段PE长
P到边OB的距离
O
EB
新知引入
(1) 求证：AM平分∠BAD；
即OP平分∠AOB. ∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
O
P
∵ OC平分∠AOB，
分在析Rt与 △D：C∵MO和到R三t△D角E形M三中边的距离相在等，Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP， 角的内部到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上？
解: (2)CD+AB=AD； 例2 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
同理可得，∴FM=FH，
你能证明这
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
个结论吗？
新知讲解
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
形的内心，并且这点到三边的距离相等.
证明：过点F作FG⊥AE，FH⊥AD，FM⊥BC，垂足为G，H，M.
如图，已知PD⊥OA， ∵PD⊥OA，PE⊥OB.
则∠AOC与∠BOC 是否相等?
PE⊥OB，且PD=PE.
即OP平分∠AOB.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于
A ∵MC⊥DC，ME⊥AD，DM平分∠ADC，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
又∵ME=MC，
新知讲解
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
分如析图与 ，：已∵知OP到D⊥三O角A形，三已P边E⊥的知O距B离：，相且等如P，D=图PE. ，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
即OP平分∠AOB.
求证：OP平分∠AOB. 例4 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P. D A 解: (2)CD+AB=AD；
(2)数量关系：该点到角两边的距离相等.
D ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴∠CBO=∠ABO= ∠ABC，
则∠AOC与∠BOC 是否相等?
分析与：∵O到三角形三边的距离相等，
∴O是内心，即三条角平分线的交点，
C
∴∠CBO=∠ABO= ∠ABC，
P 分析与：∵O到三角形三边的距离相等，
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
新知应用
解: (2)CD+AB=AD；
发现：三角形的三条角平分线相交于三角形内一点.
A．110° B．120°
C．130°
D．140°
E
例2 如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F， ∴AM平分∠BAD．
∵MC⊥DC，ME⊥AD，DM平分∠ADC，
G
求证：点F在∠DAE的平分线上． 例4 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
形的内心，并且这点到三边的距离相等.
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
O 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， E B ∵ OC平分∠AOB，
又∵ME=MC，
即又点∵MPE到⊥三A边D，ABM，BB⊥CA，BC，A角的距的离相内等. 部到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上？
M
平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
小区C
P
解：作OA，OB夹角的角平分线，与MN 的交点就是所求作的超市P的位置.
O
N
B
课堂总结
角的平分线的性质 角的平分线的判定
C
图形
P
已知 条件
结论
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D PE⊥OB于E
PD=PE
C P
PD=PE
PD⊥OA于D PE⊥OB于E OP平分∠AOB
解: (2)CD+AB=AD；
例4 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
例3 如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
∵ OC平分∠AOB，
∴∠CBO=∠ABO= ∠ABC，
课堂总结
内容
角平分线的 判定定理
作用
结论
角的内部到角两边距离相等的点在 这个角的平分线上.
判断一个点是否在角的平分线上.
三角形的三条角平分线相交于三角 形内一点.
感谢聆听
例4 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
∴∠C=∠DEM=90°，
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE，FM⊥BC.
判∴∠断A一OP个=点∠B是O否P.在角的平分线上.发现：过交点作三角形三边的垂线段的长度相等.
发现：三角形的三条角平分线相交于三角形内一点.
新知讲解
∴O是内心，即三条角平分线的交点，
∴OP 平分∠AOB.
活动2 在Rt△DCM和Rt△DEM中
∴∠PDO=∠PEO=90°，
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量
形的内心，并且这点到三边的距离相等.
∠BOC=180°－70°=110°.
每组垂线段，你发现了什么？
同理可证 AE=AB， ∵AE+DE=AD， ∴CD+AB=AD．
新知应用
例4 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、
OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的
距离相等，请确定该超市的位置P.
A
方法
根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边
点拨： 的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
C
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
分形析的与 内：心∵，O并到且三这证角点形明到三三边：边的的过距距离点离相相等F等，作. FG⊥AE，FH⊥AD，FM⊥BC，垂足为G，H，M.
在Rt△DCM和Rt△DEM中
例 ∵M1E⊥如A图D，，在M△CA⊥BCCD中，，点∵O是点△ABFC在内一∠点，B且C点EO的到△平ABC分三边线的上距离，相等F．G若⊥∠A=A40E°，，则∠FBMOC⊥的度B数C为.( )
分析与：∵O到三角形三边的距离相等，
例1 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A=40°，则∠BOC的度数为( )
形的内心，并且这点到三边的距离相等.
则∠AOC与∠BOC 是否相等?
∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∵MC⊥DC，ME⊥AD，DM平分∠ADC，
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
D N
P
∴PD=P点EP. 在∠A的平分线上.
B
同理PE=PF.
E
结∴论P：D=三PE角=形PF的. 三条角平分线交于一点，称为三角
即点P形到的三边内A心B，B并C且，这CA点的到距三离边相等的.距离相等.
F M
C
新知应用
例1 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三 边的距离相等．若∠A=40°，则∠BOC的度数为( A )
新知应用
例3 如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC． (2) 线段CD、AB、AD间有怎样的关系？
解: (2)CD+AB=AD；理由如下： ∵ME⊥AD，MC⊥CD， ∴∠C=∠DEM=90°， 在Rt△DCM和Rt△DEM中
DM=DM， MC=ME， ∴Rt△DCM≌Rt△DEM(HL)， ∴CD=DE，
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴MB=MC，
∴FH =FG ，
例1 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A=40°，则∠BOC的度数为( )
∵∴P∠DC⊥BOO=A∠，ABPOE⊥= OB∠.ABC，∴点F在∠DAE的平分线上.
解: (2)CD+AB=AD；
A．110° B．120° C．130° D．140°
分析与：∵O到三角形三边的距离相等， ∴O是内心，即三条角平分线的交点， 即BO，CO都是角平分线， ∴∠CBO=∠ABO= ∠ABC，
∠BCO=∠ACO= ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB=180°－∠A=180°－40°=140°， ∠OBC＋∠OCB=70°， ∠BOC=180°－70°=110°.
新知应用
例3 如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC． (1) 求证：AM平分∠BAD；
证明 : (1)作ME⊥AD于E， ∵MC⊥DC，ME⊥AD，DM平分∠ADC， ∴ME=MC， ∵M为BC中点， ∴MB=MC， 又∵ME=MC， ∴ME=MB， 又∵ME⊥AD，MB⊥AB， ∴AM平分∠BAD．
应用所具备的条件：
A
(1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等.
D C
P
定理的作用：判断点是否在角平分线上. O
E
B
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴OP 平分∠AOB.
新知讲解
三角形的内角平分线
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
E B
又∵ME⊥AD，MB⊥AB， ∴∠CBO=∠ABO= ∠ABC，
PD= PE，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
又∵ME⊥AD，MB⊥AB， ∴∠CBO=∠ABO= ∠ABC，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).
∴∠AOP=∠BOP. 即OP平分∠AOB.
新知讲解
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.