涉及无限大电介质的问题及相关讨论

涉及无限大电介质的问题及相关讨论
张孟;吴赵龙;陆慧;汪溶
【摘要】对第十三届非物理类专业大学生物理竞赛试题中一道涉及无限大电介质问题的电磁学题目进行详细的分析和讨论,给出了更全面的解答.类似的无限大电介质问题广泛存在,可以从本文的讨论中得到一些启示和参考.
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】2016(035)003
【总页数】4页(P18-21)
【关键词】大学物理;电磁学;无限大电介质
【作者】张孟;吴赵龙;陆慧;汪溶
【作者单位】华东理工大学理学院物理系,上海200237;华东理工大学理学院物理系,上海200237;华东理工大学理学院物理系,上海200237;华东理工大学理学院物理系,上海200237
【正文语种】中文
【中图分类】O441
由北京物理学会和北京高校物理教学研究会发起的工科大学物理竞赛，自1984年起每年举办一次，时至2014年已举办了31届.大学生物理竞赛不但促进高校物理教育的改革，提高教学质量，而且适应国家科技发展，激发广大学生学习物理的积极性，培养创新精神.后经北京物理学会和北京高校物理教学研究会十三届理事会讨论决定，将非物理类大学生竞赛更名为全国部分地区大学生物理竞赛.是我国目
前覆盖面最广参加人数最多影响力最大的大学生物理竞赛活动之一.历届试题都很
好地体现了大学生物理竞赛试题命题的原创性，各位专家也投入了大量精力, 编制了众多高水平的好题，每一届都会涌现出一些经典试题.其中包括1996年第十三
届非物理类专业大学生物理竞赛试题中第11题.笔者曾把此题在物理基础比较优秀的学生中进行讨论，结果在课堂上引起了热议，甚至争论.因此我们认为这一道涉
及无限大电介质问题的电磁学题目值得探讨[1-5].
题：厚度为b的无限大平板内分布有均匀体电荷密度ρ(>0)的自由电荷，在板外
两侧分别充有介电常数为ε1与ε2的电介质，如图1.
求：1) 板内外的电场强度;
2) A,B两点的电势差.
解答：假设板内存在E=0且D=0的平面MM′，距左侧面为d1，距右侧面为d2，根据对称性，E、D的方向垂直于板面，以MM′为底面作垂直板面的高斯面(如图
2所示)，求得电位移矢量与电场强度分别为：
板内
板外
因为E1=E2，得，与d1+d2=b联立得
回代式(2)，不难得出
求出场强后，由电势的定义不难求出
本道竞赛题主要考察电介质中的高斯定理D·dS=Q0，粗看解题步骤都较为合理，只是在第一问的求解中，等式E1=E2的使用上原文没有给出解释，存在歧义，笔
者先对这一等式稍作解释.
由于厚度为b带有自由电荷的平行板产生的电场E0，与左右侧面相贴的电介质表
面会产生极化电荷，如图3所示，1和2分别为左边和右边的极化电荷面密度，
则整个平面的电场可看作一块有厚度的无限大带电平板和两块薄的无限大带电平面
所产生电场的叠加，则介质ε1与ε2内的场强为
显然，E1=E2成立.
然而，还有一种解法：直接从清晰的物理图像入手，标出极化电荷1和2，根据电荷守恒可知，在无穷远处还有极化电荷1和2(如图4所示)，然后列方程对介质ε1和ε2内的电场进行求解，得
又对于充满均匀介质的平行板情况，有
式中，为相对介电常数.求解式(6)、式(7)得出
显然，E1≠E2，求解的结果与原题的解答当然也就不一致，出现了矛盾.原题的解
答中认为，左右介质中的电场强度E的数值应当相同；而另解中则认为
D1=εr1ε0E1=ε0E0=εr2ε0E2=D2，即左右介质中电位移矢量的数值相等，其求
解结果为
笔者认为，两种解法的根本矛盾在于对于电介质极化后带极化电荷电板的数目的见解不同，原题解答中认为只有厚度板相邻的两侧介质表面存在极化电荷，由于只有中间的3块无限大的平板带电，且无限大平板激发的场强与距离无关，故左右介
质中的场强大小相同是必然结论；而另解中则考虑到了无穷远处由于电荷守恒感应出的电荷产生的电场，一共可认为是五块无穷大带电平板激发电场，由于一组无穷大的平行板电容器对于其外侧区域的电场强度恒为零，则左右介质中的极化电荷互不影响对方的场强，又左右板都是由中间有厚度板激发电场所引起的极化，故左右介质中电位移矢量数值相同也是必然的结果.
经过分析，两种解法的根本矛盾在于无穷大极化电荷的平板应该认为是两块还是四块.要解决这一由于叙述不清引起的矛盾也十分简单：如果要认为原题的解答正确，即认为只有两块极化电板，则只需在原题题干中指明“不考虑左右两电介质在无穷远处的极化电荷效应”，就可以消除关于无穷远处极化电荷的争议，解题的步骤与结果也就必然与原题解答一致；若要认为另解正确而原题解答存在争议，即认为有
四块极化电板，则只需在题干中指出“左右两电介质的厚度为有限大”，就暗示了此问题中必须纳入由于电荷守恒而极化出的正电荷给介质中电场带来的影响，解题的过程与答案也就应该改成另解的方法.综上，可以看出既取消该题的争议，又保
证达到考察静电场极化知识点的目的是不难的.
应当指出的是，本题也额外地引起我们思考一个问题：无穷远处的无限大带电体，会不会改变空间场点的场强.笔者认为不能一概而论.
无穷大的带电体可以分为无限长的带电导线和无穷大的带电平面两类，其中包括了直径不能忽略的无限长带电导线和厚度不能忽略的无穷大带电平板，因为仅考虑带电体在自身外部所激发的电场时，二者是等效的.对于无限长的带电导线，由高斯
定律不难求出场强为，则无穷远处的电场为零，对易两者的位置，即无穷远处无限长的带电导线在空间某点的场强应该也为零，所以不会改变空间场点的场强.但对
于无穷大的带电平面，这一结论不能轻易推广，形象的说，可以认为带电平面比带电导线无穷大的“阶数”要高，在两个方向上都延伸至无穷，而且其场强的表达式也不显含距离r，不易直接分析.
通过本题来看，若认为原题解答正确，也就表明无穷远处无穷大的带电平面对空间场点没有影响，则决定某点电场及电荷分布变化的因素，只有贴着中间有厚度板的两介质表面1和2，显然两介质表面的极化电荷面密度不相等，所以必然会对中间有厚度的原来均匀带电的平行电板中的电荷分布造成影响，导致电荷重排，极化面电荷密度较大的介质将会把中间有厚度电板中的电荷向这一侧吸引，导致电荷分布不再均匀，而题干中给出的电荷体密度ρ也就失去了意义，按照中间电板电荷均
匀分布的原题解答也就自相矛盾了；而认为另解正确却能做到内部逻辑的自洽，由于无穷远处无穷大带电平面的影响，左右两电介质可以看作两个无穷大平行电容器，对中间有厚度电板内部的电荷分布不会造成影响，那么“电荷均匀”这一条件及电荷体密度ρ这一参量仍可使用，不存在争议.综上分析，与无限长的带电导线不同，
无穷远处的无穷大带电平面对空间场点应该是有影响的.
此外，对于无穷远处的无穷大带电平面对空间场点的影响这一问题的解答，还可以通过实验进行验证，基于此题，笔者提出以下实验思路.利用原题解答的答案与另解的答案的不同，可以设计两介电常数相差悬殊的电介质，不妨令ε1>>ε2来进行实验，若结果为，则证明原题解答正确，即认为无穷远处无穷大的带电平面对空间场点的影响可以忽略，若结果为E1<<E2，则证明另解正确，可以认为无穷远处无穷大的带电平面对空间场点确有影响，不能忽略.希望有兴趣的老师与同学可以进一步设计并进行实验.
【相关文献】
[1] 第十三届非物理类专业大学生物理竞赛试题及解答(1996)[J].工科物理,1997,S1:128-135.
[2] 赵凯华，陈熙谋.新概念物理教程：电磁学[M].北京：高等教育出版社，2003.
[3] 刘家福，张昌芳.大学生物理竞赛及其试题特色[J].物理与工程，2008，18(4):65.
[4] 吴秀文，李庚伟，邢杰,等.全国部分地区大学生物理竞赛的回顾和展望[J].物理通报，2009,12:45.
[5] 程涛，赵诗华，宋彦琦，等.一道刚体例题的商榷[J].大学物理，2013,32(3):10-11.。