专题13 相似三角形中的圆的切线问题专练(一)(解析版)九下数学专题培优训练

专题13 相似三角形中的圆的切线问题专练（一）

班级：___________姓名：___________得分：___________

一、选择题

1.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，C是劣

弧AB的中点，连接BC并延长交PA于D，若PD

AD =2

3

，

则CD

CB

的值为()

A. 1

3B. 2

3

C. 3

5

D. 2

5

【答案】B

【分析】连接OA、OB，过B作BE//PA与PO的延长线交于点E，证明Rt△OAP≌Rt△OBP，

进而可得CD

CB =PD

PA

．

本题主要考查了圆的切线长定理，圆的切线的性质，相似三角形的性质与判定，关键是构造相似三角形．

【解答】解：连接OA、OB，过B作BE//PA与PO的延长线交于点E，

∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，

∴∠OAP=∠OBP=90°，OA=OB，PA=PB，

∴Rt△OAP≌Rt△OBP(HL)，

∴∠APE=∠BPE，∠AOP=∠BOP，

∴OP平分AB⏜，

∵C是劣弧AB的中点，

∴点C在OP上，

∵BE//PA，

∴∠BEP=∠APE=∠BPE，

∴BE=PB=PA，

∵BE//PA，

∴△PCD∽△ECB，

∴DC

BC =PD

EB

，

∴CD

CB =PD

PA

，

∵PD

AD =2

3

，

∴CD

CB =2

3

，

2.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过

点D的切线交AC的延长线于点E，若DE=4，AC=2，则⊙O的半径为()

A. 6

B. √15

C. √17

D. 2√15

【答案】C

【分析】

本题考查矩形的判定与性质，切线的性质，平行线分线段成比例，求得BC的长是解题的关键，属于中档题．

连接OD交CB于点F，根据AD平分∠BAC及OA=OD，得AE//OD，结合DE是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，得到四边形FDEC是矩形；根据AE//OD，AO=BO，得到BC= 2CF=8，在中，运用勾股定理得到AB=2√17，即可得到⊙O的半径．【解答】

解：如图，连接OD交CB于点F，

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAB=∠DAE，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠DAE，

∴AE//OD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠OFC=90°，

∵过点D的切线交AC的延长线于点E，

∴OD⊥DE，

∴四边形FDEC是矩形，

∴CF=DE=4，

∵AE//OD，AO=BO，

∴BC=2CF=8，

在中，

AB=√BC2+AC2=√82+22=2√17，

AB=√17，

∴AO=BO=1

2

3.如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C

是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC

的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，

连接AC，给出下列结论：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；

③点P是△ACQ的外心；④AC2=AE⋅AB；⑤CB//GD，其中正确的结论是()

A. ①③⑤

B. ②④⑤

C. ①②⑤

D. ①③④

【答案】D

【分析】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，所

对的弦相等，据此推理可得①正确，②错误；通过推理可得

∠ACE=∠CAP，得出AP=CP，再根据∠PCQ=∠PQC，可得

出PC=PQ，进而得到AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的

中点，故P为Rt△ACQ的外心，即可得出③正确；连接BD，则∠ADG=∠ABD，根据∠ADG≠∠BAC，∠BAC=∠BCE=∠PQC，可得出∠ADG≠∠PQC，进而得到CB与GD 不平行，可得⑤错误．

此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定

与性质以及三角形的外接圆与圆心的综合应用，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．解题时注意：弦切角等于弦所对的圆周角．

【解答】解：∵在⊙O中，点C是AD⏜的中点，

∴AC⏜=CD⏜，

∴∠CAD=∠ABC，故①正确；

∵AC⏜≠BD⏜，

∴AD⏜≠BC⏜，

∴AD≠BC，故②错误；

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

又∵CE⊥AB，

∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°，

∴∠ACE=∠ABC，

又∵C为AD⏜的中点，

∴AC⏜=CD⏜，

∴∠CAP=∠ABC，

∴∠ACE=∠CAP，

∴AP=CP，

∵∠ACQ=90°，

∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠PQC=90°，

∴∠PCQ=∠PQC，

∴PC=PQ，

∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，

∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；

由∠ACB=∠AEC=90°，∠ACE=∠ABC，

可得△ABC∽△ACE，可得AE

AC =AC

AB

，

可得AC2=AE⋅AB，故④正确；