§1-3 描述质点运动的坐标系 (2)
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质点运动学
r x 2 y 2 z 2
rB
y
方向: A B
注: (1) 位移是矢量，满足平行四边形则； (2) 位移与实际经过路径不同； x (3) 矢量问题，标量解决 即：t 时刻位于A点，位矢 rA 三维分解 一维 “+”、“-”表示 t +t 时刻位于B点，位矢 r B (4) 位移具有矢量性、相对性。 在t 时间内，位矢的变化量称为位移。
s v t
B
3.加速度(acceleration) ----描述质点速度的变化快 慢 1) 平均加速度(mean acceleration)
z
v1
r rA rB
v2
O
O
y
s ds v 瞬时速率： lim dt t 0 t
y
x
注意:速率是标量 讨论： 一般情况：
103 102 101 100 出现古人类 10-1 10-2 10-3 人类文明史 10-4 古树的年龄 10-5 人类的寿命 10-6 -7 地球公转周期(年) 10 10-8 月球周期(月) 10-9 10-10
10-11 10-12 中子的寿命 10-13 10-14 百米赛跑世界纪录 -15 10 钟摆的周期 10-16 10-17 市电的周期 10-18 -19 超快速摄影曝光时间 10 10-20 子的寿命 10-21 10-22 -23 10 介子的寿命 10-24 10-25
大小： r x 2 y 2 z 2 r x y
方向： cos
2 2
r r 2 cos cos cos 1
cos
cos
z r
特性：矢量性、瞬时性、相对性
2015/11/4
rB
y
方向: A B
注: (1) 位移是矢量，满足平行四边形则； (2) 位移与实际经过路径不同； x (3) 矢量问题，标量解决 即：t 时刻位于A点，位矢 rA 三维分解 一维 “+”、“-”表示 t +t 时刻位于B点，位矢 r B (4) 位移具有矢量性、相对性。 在t 时间内，位矢的变化量称为位移。
s v t
B
3.加速度(acceleration) ----描述质点速度的变化快 慢 1) 平均加速度(mean acceleration)
z
v1
r rA rB
v2
O
O
y
s ds v 瞬时速率： lim dt t 0 t
y
x
注意:速率是标量 讨论： 一般情况：
103 102 101 100 出现古人类 10-1 10-2 10-3 人类文明史 10-4 古树的年龄 10-5 人类的寿命 10-6 -7 地球公转周期(年) 10 10-8 月球周期(月) 10-9 10-10
10-11 10-12 中子的寿命 10-13 10-14 百米赛跑世界纪录 -15 10 钟摆的周期 10-16 10-17 市电的周期 10-18 -19 超快速摄影曝光时间 10 10-20 子的寿命 10-21 10-22 -23 10 介子的寿命 10-24 10-25
大小： r x 2 y 2 z 2 r x y
方向： cos
2 2
r r 2 cos cos cos 1
cos
cos
z r
特性：矢量性、瞬时性、相对性
2015/11/4
质点运动的描述
质点运动的描述质点运动是经典力学中的基本概念，它描述了一个物体在空间中运动的方式。
质点被定义为一个没有体积的点，它具有质量和位置。
在质点运动的描述中，我们通常关注的是质点的位置、速度和加速度，以及与时间的关系。
I. 位置的描述质点的位置可以用坐标来描述。
在二维情况下，我们可以用笛卡尔坐标系或极坐标系来表示质点的位置。
在三维情况下，我们通常使用笛卡尔坐标系。
质点在空间中的位置可以用一个向量来表示，该向量以质点所处位置为终点，以参考点为起点。
II. 速度的描述质点的速度是指单位时间内质点位置的变化率。
在一维情况下，我们可以用标量表示质点的速度。
在二维或三维情况下，我们需要使用向量表示质点的速度。
质点的速度可以通过位置对时间的导数来计算，即速度等于位置关于时间的导数。
III. 加速度的描述质点的加速度是指单位时间内质点速度的变化率。
加速度表示了质点运动的变化情况。
在一维情况下，我们可以用标量表示质点的加速度。
在二维或三维情况下，我们需要使用向量表示质点的加速度。
质点的加速度可以通过速度对时间的导数来计算，即加速度等于速度关于时间的导数。
IV. 运动方程的描述运动方程是描述质点运动的基本方程。
对于匀速直线运动，质点的运动方程可以表示为x = x0 + vt，其中x为质点的位置，x0为初始位置，v为速度，t为时间。
对于匀加速直线运动，质点的运动方程可以表示为x = x0 + vt + 0.5at^2，其中a为加速度。
在二维或三维情况下，我们可以将位置、速度和加速度的每个分量分别表示，并分别应用相应的运动方程。
V. 质点运动的特殊情况在质点运动中，还存在一些特殊情况。
例如，匀速圆周运动中，质点沿着一个固定半径的圆周以恒定速度运动。
在这种情况下，质点的位置可以用极坐标来表示，并且质点的速度与加速度垂直于运动方向。
VI. 质点运动的描述与分析质点运动的描述和分析对于理解物体运动的基本规律和设计运动轨迹具有重要意义。
质点参考系和坐标系知识点总结
• 物体与质点1、质点：当物体的大小和形状对所研究的问题而言影响不大或没有影响时，为研究问题方便，可忽略其大小和形状，把物体看做一个有质量的点，这个点叫做质点。
2、物体可以看成质点的条件条件：①研究的物体上个点的运动情况完全一致。
②物体的线度必须远远的大于它通过的距离。
(1)物体的形状大小以及物体上各局部运动的差异对所研究的问题的影响可以忽略不计时就可以把物体当作质点(2)平动的物体可以视为质点平动的物体上各个点的运动情况都完全相同的物体，这样，物体上任一点的运动情况与整个物体的运动情况相同，可用一个质点来代替整个物体。
小贴士：质点没有大小和形状因为它仅仅是一个点，但是质点一定有质量，因为它代表了一个物体，是一个实际物体的'理想化的模型。
质点的质量就是它所代表的物体的质量。
• 参考系1、参考系的定义：描述物体的运动时，用来做参考的另外的物体。
2、对参考系的理解：(1)物体是运动还是静止，都是相对于参考系而言的，例如，肩并肩一起走的两个人，彼此就是相对静止的，而相对于路边的建筑物，他们却是运动的。
(2)同一运动选择不同的参考系，观察结果可能不同。
例如司机开着车行驶在高速公路上以车为参考系，司机是静止的，以路面为参考系，司机是运动的。
(3)比拟物体的运动，应该选择同一参考系。
(4)参考系可以是运动的物体，也可以是静止的物体。
小贴士：只有选择了参考系，说某个物体是运动还是静止，物体怎样运动才变得有意义参考系的选择是研究运动的前提是一项根本技能。
• 坐标系1、坐标系物理意义：在参考系上建立适当的坐标系，从而，定量地描述物体的位置及位置变化。
2、坐标系分类：（1）一维坐标系（直线坐标系）：适用于描述质点做直线运动，研究沿一条直线运动的物体时，要沿着运动直线建立直线坐标系，即以物体运动所沿的直线为某轴, 在直线上规定原点、正方向和单位长度。
例如，汽车在平直公路上行驶，其位置可用离车站（坐标原点）的距离（坐标）来确定。
01-02 质点运动的描述之二
4
a at et anen
an 0 0 π
切向加速度
an tan a t
1
at dv r dt
a
y
v
en
et
0, 0 π , v 增大 2 0, π , v 常量 at 2 0, π π , v 减小 2
e en
en
切向单位矢量 法向单位矢量
10
§1-2 质点运动的描述之二
*补充：
曲 线 运 动
v1 A e B en
一般曲线运动
v2
C
F v1 O v n v v2 D v E
速度增量 取 由于速度大小不同而引起的速度变化 由于速度方向改变而引起的速度变化
例1：由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪口为 原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时t=0.试 求： (1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程； (2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。
o
解：(1)
v0
x
an
a
y
§1-2 质点运动的描述之二
g
16
(2)
与速度同向
与切向加速度垂直
v r et
s r
s r
§1-2 质点运动的描述之二
6
四 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动 1 匀速率圆周运动：速率 常量 .
v 和角速度 都为
at 0
常量
如
2e a an en r n
2 匀变速率圆周运动
0 t
2 2 2 0 2 ( 0 )
_高中物理第一章运动的描述第1节质点参考系和坐标系2课件新人教版必修
【微思考】 (1)参考系一定是相对地面静止的物体吗? 提示：不一定,参考系可以是相对于地面静止的物体,也可以是 相对于地面运动的物体。 (2)在描述物体运动的过程中,参考系可以更换吗? 提示：不可以,在描述同一物体的同一运动过程时,参考系必须 是同一物体。
【题组通关】 【示范题】如图所示,由于风,河岸上的 旗帜向右飘,在河面上的两条船上的旗帜 分别向右和向左飘,两条船的运动状态 是( ) A.A船肯定是向左运动的 B.A船肯定是静止的 C.B船肯定是向右运动的 D.B船可能是静止的
第一章 运动的描述
第1节 质点 参考系和坐标系
学习 目标
1.理解质点的概念,知道物体可看成质点的条件。 2.理解参考系的概念,知道运动具有相对性。 3.理解坐标系的概念,会用一维坐标系定量描述 物体的位置以及位置的变化。 4.体会物理模型在探究自然规律中的作用。
一、物体和质点 1.机械运动：物体的_空__间__位__置__随时间的变化。 2.质点：某些情况下,忽略物体的_大__小__和_形__状__,突出“物体具 有质量”,把它简化成_有__质__量__的物质点。 3.把物体看成质点的条件：物体的_大__小__和_形__状__可以忽略或物 体上任意一点的运动可代替_整__个__物__体__的运动。
(2)物体做某一运动时可以看成质点,同一物体做其他运动也一 定能看成质点吗? 提示：不一定,物体做其他运动时,其大小和形状可能对运动产 生明显的影响,如研究地球上不同的பைடு நூலகம்随地球自转的运动时,地 球不能看成质点。
【题组通关】 【示范题】(2014·苏州高一检测)在研究物体的运动时,下列物 体可看作质点的是( ) A.研究校运动会上跳高运动员的过杆动作 B.研究火车全部通过长江大桥所需的时间 C.研究“嫦娥二号”卫星的运动轨迹 D.研究跳水运动员的入水动作
第一章 质点运动学
z
r rA rB
B
y
平均速度的方向与t时间内位移的方向一致。
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
A
2. 瞬时速度(速度) 能精细地描述 z 质点在某时刻的运动情况。 r dr v lim O t d t t 0 x 速度的方向为轨道上质点所在
处的切线方向。
r rA rB
B
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
v
r
2 z
y
A
B
v vx i v y j vz k
速度的大小： v v
dx dy dz vx , v y , vz dt dt dt
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
速度(speed)----描述质点运动的快慢和方向。
定义：单位时间内质点所发生的位移。 1. 平均速度(mean speed) 设质点：
A
t 时刻： A, rA t t 时刻: B, rB O 位移: r x r 平均速度： v 单位：ms-1 t
大小： r
单位矢量：i , j , k
2 2
r
x y z
2
x y z 方向： cos cos cos r r r
cos cos cos 1
2 2 2
特性：矢量性、 瞬时性、相对性
§1-2 质点运动的描述
第1章 质点运动学
2. 运动方程(equation of motion): 质点运动时位置随时 间变化的规律。 z
ax 0 (2) x : vx 5 y : v y 15 10t a y 10 g
1-3 描述质点运动的坐标系
质点运动学两类基本问题
Ⅰ Ⅱ
(1006A)
x 5 t2
1、已知质点运动方程为: y 3 5t t 2 ,
z 1 2t2
第二秒末质点的速度和加速度，长度和时间的单位 分别是米和秒。
解：vx
dx d(5 t2 ) 2t
dt
dt
4 (m / s)
0
x1
=
0式是抛射点的位置, 另一个是射程
x2
v02 g
sin 20
dx2
d0
2v02 g
cos 20
0
0
π 4
最大射程
xmax
v02 g
物体的飞行时间
T
x2
v0 cos 0
2v0 g
sin 0
当物体到达最大高度时, 必有 v y 0
物体达最大高度的时间 y
t1
v0 g
§1-3 描述质点运动的坐标系
一、直角坐标系 (rectangular coordinate)
o xyz “右旋系”
单位矢量： i , j , k
直角坐标中位矢的表达式
r
xi
yj
zk
大小： r r x2 y2 z2
z 右旋系
轨道 z
Px, y,z
dt
A
at
dv dt
2(m
/
s2 )
an
v2 R
402 1500
16 (m / 15
s2 )
av
at
tˆ
第1章 质点运动学共48页文档
(2) 位矢法 以O点为参考点
r
x(
t
)i
y(
t
)j
R
cos
t
i
R
sin
t
j
(3) 自然法
以O’点为参考点，逆时为正。
S R t
第一章 质点运动学
7
§1-2 质点的位移、速度和加速度
一、位移 描述质点位置变化的物理量
S
几何描述： 数学描述：
PrQ
r(
t
t
)
r(
t
)
r( t ) r( t t )
2、联系 从数学上看是微分与积分的关系
微分法 r a 积分法
微分法
积分法
ar ra
第一类问题（微分法） 第二类问题（积分法）
第一章 质点运动学
14
例：直杆AB两端可以分别在两固定而 相互垂直的直线导槽上滑动，已知杆 的倾角按φ=ωt 随时间变化，试求杆 上M点的运动规律。（运动方程、轨 迹、速度、加速度）
直角坐标系
j
i
k
i jk
分别是x、y、z方 向的单位矢量
在直角坐标系中可写成：
r xi yj zk
a
x i y axi ay
j
z
k
j azk
(A)
大小
2 x
2 y
2 z
a
ax2
a
2 y
az2
第一章 质点运动学
12
由基本关系式
有：
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt
a
dx
b
2
sin
t
质点运动的描述
y
yB yA
A
r
B
rA
yB y A
rB
xA xB xB x A
若质点在三维空间中运动， o 则在直角坐标系 Oxyz 中其位
x
移为
r ( xB x A )i ( yB y A ) j ( zB z A )k 2 2 2 r x y z 位移的大小为
v
v0
vdv kxdx
x0
x
§ 1-1 描述质点运动的运动学量
2 2 1 y ( t ) ( m s )t 2m. 其中 x(t ) (1m s )t 2m, 4 （1）求 t 3 s 时的速度.（2） 作出质点的运动轨迹图.
例 3 设质点的运动方程为 r(t) x(t)i y(t) j ,
三 位置矢量和位移 1 位置矢量 确定质点P某一时刻在 坐标系里的位置的物理量称 位置矢量，简称位矢 r.
y
y
r xi yj zk
式中 i 、 j 、k 分别为x、y、 z z 方向的单位矢量.
位矢
o z k x
2 2
j
*P r
i
x
的值为 r
r (t )
z (t )
从中消去参数 t 得轨迹方程
z z (t )
o
x(t )
f ( x, y, z) 0
z
x
§ 1-1 描述质点运动的运动学量
3 位移
y
A
r
y
B
yB yA
A
r
B
rA
o
rB
x
o
rA
大学物理：第一章 质点运动学-位矢、速度和加速度
7
2) 质点
2)质点 在某些问题中，物体形状 和大小可忽略，可看成一个只有 质量、没有大小和形状的点。
2.质点位置和运动描述
1)质点的位置和位置矢量
它的位置还可以用从参考点O到 质点所在位置的有向线段来表示
质点的
位矢
位置矢量 r op 矢径
坐标系中，质点P的位置
由三个坐标 x、y、z 确定
z
z
质点P
第2节
位移和速度
Displacement and Velocity
§1.2 位移和速度 1. 位移
1.位移
位置的变化 r p1p2
位移 矢量
r r (t t) r (t)
大小 r ：P1P2间直线距离
方向：由 P1 P2
注意 r r r(t t) r(t)
路程 一般
S
S
： P1Pr2，间但曲d线S距离d，r 标量
r r(t)
质点在空间运动时，位置 矢量和坐标均随时间变化
x x(t)
质点运动方程
或
y
y (t )
它们给出任一时刻质点位 置，表示质点的运动规律
z z(t)
f (x, y, z) 0 运动方程，联立消去t 质点轨道方程
y f (x) 轨道是直线的称为直线运动 轨道是曲线的称为曲线运动
11
P1 r s
r (t)
P2
r
O r (t t)
13
2.速度
运动路径
表示质点运动快慢和方向的物理量
1）平均速度
r
P(t1)
r
v r
大小：
t
O
t 方向：r 方向
Q(t2 )
瞬时速度的方向就是
质点运动的平面极坐标描述
e e ( )
与直角坐标系不同的是，矢量沿质点所在位置的基 矢 “就地” 进行正交分解. 在极坐标系中, 质点的运动学方程为
r r (t )er (t )
r r (t ), (t )
根据速度的定义
f (r , ) 0源自§1-2质点运动的平面极坐标描述
§1-2
质点运动的平面极坐标描述
当质点被限制在一个平面上运动时, 其自由度为2, 可以建立与参考系固连的极坐标系来描述质点的运动 . 质点的位置由坐标量 r 和 确定, 要明确极角 的正方向 (即 的增加方向)!
§1-2
质点运动的平面极坐标描述
平面极坐标系的基矢为极角的函数
er er ( )
径向加速度
横向加速度
2 r )er (r 2r )e a ( r
dr dr der v er r dt dt dt der er (t t ) er (t ) lim d t t 0 t er lim lim e e t 0 t t 0 t
径向速度 横向速度
er re v r
§1-2
质点运动的平面极坐标描述
矢量的变 化为矢量 大小的变 化及矢量 方向的变 化二者产 生效果的 叠加！
dv d er re ) a (r dt dt
de e r e re r rer r dt de e r dt
第1章 质点运动学
r
dr υ= dt
方向： 方向：切线方向
速度是位置矢量对时间的一阶导数
第一章 质点运动学 9
3) 平均速率和瞬时速率 平均速率
S υ= t
S dS υ = lim = dt 0 t → t
运动路径
P (t1 )
瞬时速率 讨论
υ
r
s
Q(t2 )
速度的矢量性、瞬时性和相对性。 1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。 2) 速度和速率的区别
∫
∫
第一章 质点运动学
18
§1-4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
自然坐标系 （用自然坐标 表示质点位置） 用自然坐标S表示质点位置 表示质点位置）
设质点作曲线运动，且轨迹已知， 设质点作曲线运动，且轨迹已知，则 选参考点和正方向即可建立自然坐标。 选参考点和正方向即可建立自然坐标。运 动方程为： 动方程为： s = s(t) 单位切向量τ ： 长度为 ，沿切向指向运动方向 长度为1， 单位法向量 n： 长度为 ，沿法向指向凹的一侧 长度为1，
S = Rωt
第一章 质点运动学 7
§1-2 质点的位移、速度和加速度 质点的位移、
一、位移
描述质点位置变化的物理量 几何描述： 几何描述： PQ 数学描述： 数学描述： r
= r ( t + t ) r ( t )
r( t )
P S Q r
r ( t + t )
r
讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向） 位移是矢量（有大小，有方向） 位移不同于路程 r ≠ S (2) 位移与坐标选取无关 (3) 由质点的始末位置确定， 由质点的始末位置确定， 与中间运动过程无关 (4) 分清 r 与r 的区别
dr υ= dt
方向： 方向：切线方向
速度是位置矢量对时间的一阶导数
第一章 质点运动学 9
3) 平均速率和瞬时速率 平均速率
S υ= t
S dS υ = lim = dt 0 t → t
运动路径
P (t1 )
瞬时速率 讨论
υ
r
s
Q(t2 )
速度的矢量性、瞬时性和相对性。 1) 速度的矢量性、瞬时性和相对性。 2) 速度和速率的区别
∫
∫
第一章 质点运动学
18
§1-4 用自然坐标表示平面曲线运 动中的速度和加速度
自然坐标系 （用自然坐标 表示质点位置） 用自然坐标S表示质点位置 表示质点位置）
设质点作曲线运动，且轨迹已知， 设质点作曲线运动，且轨迹已知，则 选参考点和正方向即可建立自然坐标。 选参考点和正方向即可建立自然坐标。运 动方程为： 动方程为： s = s(t) 单位切向量τ ： 长度为 ，沿切向指向运动方向 长度为1， 单位法向量 n： 长度为 ，沿法向指向凹的一侧 长度为1，
S = Rωt
第一章 质点运动学 7
§1-2 质点的位移、速度和加速度 质点的位移、
一、位移
描述质点位置变化的物理量 几何描述： 几何描述： PQ 数学描述： 数学描述： r
= r ( t + t ) r ( t )
r( t )
P S Q r
r ( t + t )
r
讨论 (1) 位移是矢量（有大小，有方向） 位移是矢量（有大小，有方向） 位移不同于路程 r ≠ S (2) 位移与坐标选取无关 (3) 由质点的始末位置确定， 由质点的始末位置确定， 与中间运动过程无关 (4) 分清 r 与r 的区别
质点参考系坐标系
质点参考系坐标系什么是质点参考系坐标系在物理学中，质点是指具有质量但无大小的物体，可以看作是具有位置但无大小的几何点。
而参考系是用于观察和描述物体运动的坐标系统。
质点参考系坐标系是用来描述质点运动的坐标系，它是一个惯性参考系，其中质点被假设为在任何给定时间只在一个点上。
质点参考系坐标系通常由三个坐标轴构成，分别是x轴、y轴和z轴。
这些坐标轴相互垂直，可以固定在空间中的固定点上。
质点在这个坐标系中的位置可以通过x、y和z坐标来表示。
质点参考系坐标系的特点质点参考系坐标系具有以下特点：1.无质量：质点参考系坐标系本身没有质量，只是用来描述质点运动的参考系统。
2.惯性参考系：质点参考系坐标系中没有外力作用，即没有加速度，可以看作是一个惯性参考系。
3.相对运动：质点参考系坐标系是基于质点运动的，因此随着质点的运动，坐标系的位置也会变化。
4.三维空间：质点参考系坐标系是一个三维空间，因此可以描述质点在三维空间中的位置。
质点参考系坐标系的应用质点参考系坐标系在物理学中有着广泛的应用，特别是在描述质点运动和相对运动时。
1. 描述质点运动通过质点参考系坐标系，可以精确地描述质点在空间中的位置和运动。
通过记录质点在不同时间点的坐标，可以绘制出质点的轨迹，进而研究质点的运动规律和性质。
2. 分析相对运动质点参考系坐标系还可以用来分析不同质点之间的相对运动。
通过将不同质点的坐标系重合，就可以研究它们之间的相对位置和运动情况。
这对于研究多个质点之间的相互作用和碰撞具有重要意义。
3. 进行物理计算质点参考系坐标系作为一个惯性参考系，可以简化复杂物理问题的计算。
通过建立适当的坐标系和选择合适的参考系，可以简化分析和计算的复杂度，得到准确的结果。
总结质点参考系坐标系是物理学中用来描述质点运动的坐标系。
它是一个惯性参考系，可以准确地描述质点在空间中的位置和运动。
质点参考系坐标系的应用范围广泛，特别是在描绘质点运动、分析相对运动和进行物理计算方面具有重要作用。
1.3描述质点运动的坐标系
n
dv
v2
n
dt
4
❖ 讨论
利用自然坐标，一切运动都可用切向、法
向加速度表示：
an= 0 a = 0 匀速直线运动
a
an= 0 an 0
a 0 a = 0
变速直线运动
匀速曲线运动 an
a
an 0 a 0 变速曲线运动
2024/1/3
5
三 质点运动学的两类基本问题
1 由质点的运动方程可以求得质点在任一时 刻的位矢、速度和加速度；
y
dt y dt
v B
x y
dx dt
j
B
l
dx v
o
dt
vB vtan
j
A
v x
当 60o时，vB 1.73v，vB沿 y 轴正向
2024/1/3
12
2、第二类问题
问题：假设质点作曲线运动，其加速度a为恒量. 在t=0时，质点的r0 ，v0，求在任意时刻t，质点的 位矢、位移和速度。
一 直角坐标系 （略）
二 自然坐标系
一切曲线运动都可用切向、法
向加速度表示：
v v a d v dv d v
a
a
dt dt ann
dt
an
切向加速度
➢切向加速度
2024/1/3
法向加速度
a
dv
dt
d2s dt 2
a
a
1
➢法向加速度的证明
切向单位矢量的时间变化率？
d lim Δ lim Δ n
dt Δt0 Δt Δt0 Δt
lim s n 1 ds n
t0 Rt
R dt
vn R
a
质点运动的自然坐标描述
a R x s i it y i n j R z k c o t j s h 2 k
R 2 ct i o R s 2 st j in
§1-5 质点运动的自然坐标描述
v x 2 y 2 z 2R 2 ( h 24 π 2 ) 常量
切向加速度
at vt 0
§1-5 质点运动的自然坐标描述
利用质点运动轨道本身的几何特性 (如切线、法线方 向等)来描述质点的运动. 这种方法称为自然坐标法.
1. 弧长方程
在轨道上取一点 作原O点, 规定沿轨道的某一方向为弧
长的正方向, 质点位置可由原点 到质点间的一段O弧长 来
确定, 称为弧坐s标.
s
s s(t)
弧长方程和轨道方程一起与 质点的运动学方程等价.
ebeten
§1-5 质点运动的自然坐标描述
3. 速度和加速度表达式
速度 加速度
v a v sddetvte tt dsds tde d (etsttet)
dsd
d d e tt s1d d t ve tn e n s e n
§1-5 质点运动的自然坐标描述
切向加速度
法向加速度
a
set
s2
en
在自然坐标描述中, 需要已知质点运动的轨道, 而对轨道 的数学描述又需要一个坐标系, 所以必须掌握自然坐标描述
中联有的系不物的同理基的a量本表与依达其据形他 是 式:,坐速 但标度 它系们中和的的加大物速小理度和量方在之向不间是同的惟的联一描系确述. 建定方立的法v这.中个
§1-5 质点运动的自然坐标描述
弧坐标为可正可负的标量,与恒正的路程是不同的.
§1-5 质点运动的自然坐标描述
2. 相关的微分几何知识
1-3 描述质点运动的坐标系
9
v de ρ
dt Δt Δt →0 Δt dθ v v dρ v v= eρ + ρ eθ dt dt 第一项是速度的径向分量, 称为径向速度； dt
Δt →0
= lim
v Δe ρ
v e ρ Δθ v dθ v = lim eθ = eθ
第二项则是速度的横向分量, 称为横向速度。
v v v v = v ρ e ρ + vθ eθ
dρ v d v v eρ + ρ v(t ) = ( ρ e ρ ) = dt dt dt v de ρ v 式中 是单位矢量 e ρ 的方向随时间的变化率。
dt
8
v de ρ
在 Δt 时间内, 质点沿任意平面曲线L由点A到 达点B, 极角的增量为 Δθ。 B
ρ (t + Δt )
Δθ
v e ρ (t + Δt )
2
14
*三、自然坐标系 (natural coordinates)
沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。 取轨道上一固定点为原点，规定两个随质点位置变
v 的切向单位矢量，用 et 表示，另一个是垂直于切向并 v 指向轨道凹侧的法向单位矢量，用 en表示。
因为质点运动的速度总是沿着轨道的切向，所以 在自然坐标系中，速度矢量可表示为
x O
1
z P(x,y,z)
v r
y
位置矢量可表示为
v v v v r = xi + yj + zk
v v v j 和 k分别是x、y和z方向的单位矢量。 其中 i 、
v 2 2 2 位矢大小 r = r = x + y + z
可用方向余弦来表示位置矢量方向。
v de ρ
dt Δt Δt →0 Δt dθ v v dρ v v= eρ + ρ eθ dt dt 第一项是速度的径向分量, 称为径向速度； dt
Δt →0
= lim
v Δe ρ
v e ρ Δθ v dθ v = lim eθ = eθ
第二项则是速度的横向分量, 称为横向速度。
v v v v = v ρ e ρ + vθ eθ
dρ v d v v eρ + ρ v(t ) = ( ρ e ρ ) = dt dt dt v de ρ v 式中 是单位矢量 e ρ 的方向随时间的变化率。
dt
8
v de ρ
在 Δt 时间内, 质点沿任意平面曲线L由点A到 达点B, 极角的增量为 Δθ。 B
ρ (t + Δt )
Δθ
v e ρ (t + Δt )
2
14
*三、自然坐标系 (natural coordinates)
沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。 取轨道上一固定点为原点，规定两个随质点位置变
v 的切向单位矢量，用 et 表示，另一个是垂直于切向并 v 指向轨道凹侧的法向单位矢量，用 en表示。
因为质点运动的速度总是沿着轨道的切向，所以 在自然坐标系中，速度矢量可表示为
x O
1
z P(x,y,z)
v r
y
位置矢量可表示为
v v v v r = xi + yj + zk
v v v j 和 k分别是x、y和z方向的单位矢量。 其中 i 、
v 2 2 2 位矢大小 r = r = x + y + z
可用方向余弦来表示位置矢量方向。
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抛体运动轨道方程
令y
=
y (tan 0 )x
0，得
2(v0
g
cos 0 )2
x2
(tan 0 )x
2(v0
g
cos 0 )2
x2
0
x1 = 0是抛射点的位置，另一个是射程
x2
v02 g
sin 2 0
11
2
抛射角0 =/4时，最大射程
xmax
v0 g
物体的飞行时间
T
x2
v0 cos 0
2v0 g
x x x0 vx (t t0)
5
当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动 是各个独立运动的合成结果，这称为运动叠加原理 (superposition principle)，或运动的独立性原理。
质点的实际运动是各分运动的矢量合成。
运动的叠加性也是运动的一个重要特性，抛体的运 动正是竖直方向和水平方向两种运动叠加的结果。
dv z
k
dt dt dt
d2 x dt 2
i
d2 y dt 2
j
d2z dt 2
k
axi +ay j+azk
ax
dv x dt
d2x dt 2
,
ay
dv y dt
d2y ,
dt 2
az
dvz dt
d2z dt 2
加速度大小
a
a
ax2 ay2 az2
任何一个方向的速度和加速度都只与该方向的位置矢 量的分量有关，而与其他方向的分量无关。
根据类似的无数的客观事实，可得到一个结论： 一个运动可以看成是几个各自独立进行的运动叠 加而成，这就是运动的叠加原理。
6
如果质点在某个方向(如x方向)上的加速度不随时
间变化，该方向上分运动为匀变速直线运动。例如，
在x方向的速度变化可根据速度公式求得
vx vx0 ax (t t0)
x
x0
vx0t
§1-3 描述质点运动的坐标系
一、直角坐标系 (rectangular coordinate)
在参考系上取一固定点作为坐标原点O, 过点O画
三条相互垂直的带有刻度的坐标轴, 即x轴、y轴和z
轴, 就构成了直角坐标系 O-xyz。
通常采用的直角坐标系 属右旋系, 当右手四指由x轴
z P(x,y,z)
r
x 轴水平向右, y 轴竖直向上, 如图。
抛体运动可以看作为x方向
y
的匀速直线运动和y方向的匀
v0
变速直线运动相叠加。
0
O
x
叠加原理是求解复杂运动的有力工具。
10
ax 0 , vx v0 cos 0 , x (v0 cos 0 )t
ay g,vy v0 sin 0 gt,y (v0 sin 0 )t 1 gt2. 2
sin 0
当物体到达最大高度时，必有 v y 0
物体达最大高度的时间
t1
v0 g
sin 0
最大高度
H
v02 2g
sin 2 0
实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高度
都比上述值要小。
12
二、平面极坐标系(planar polar coordinates) 用平面极坐标系处理圆周运动一类的平面运动。 取参考系上一固定点O作极点,过极点所作的
方向转向y轴方向时, 伸直的
O
y
拇指则指向z轴的正方向。
x
1
位置矢量可表示为 r xi yj zk
其中i 、j 和 k分别是x、y和z方向的单位矢量。
位矢大小 r r x2 y2 z 2
可用方向余弦来表示位置矢量方向。
cos x , cos y , cos z
r
r
r
cos2 cos2 cos2 1
dt
dt
l
22
x h
负号表示小船速
v u
u
x
x
度沿x 轴反方向。
小船向岸边移
d2x dv
u2h2
a
动的加速度为
dt2 dt
x3
9
例2 抛体运动。假设物体以初速度v0沿与水平方向
成角 0 方向被抛出, 求物体运动的轨道方程、射程、
飞行时间和物体所能到达的最大高度。
解 首先必须建立坐标系, 取抛射点为坐标原点O,
4
质点的任意运动都可以看作是由在三个坐标轴 方向上各自独立进行的直线运动所合成的。
质点的任意运动都可以分解为，在三个坐标轴 方向上各自独立进行的直线运动。
这是运动叠加原理在直角坐标系中的表现。 如果质点在某个方向(如x方向)上速度不随时间 变化, 即质点在该方向上的分运动为匀速直线运动, 则在x方向上的位移可根据位移公式求得
的极角在改变，e
ρ
方
向也相应改变，eρ 的方向是时间的函数，写为 eρ(t)。
v (t )
d dt
(
eρ
)
d
dt
eρ
deρ dt
式中 deρ 是单位矢量
eρ 的方向随时间的变化率。
dt
14
在t 时间内, 质点沿任意平面曲线L由点A到
达点B, 极角的增量为 。
B eρ (t t)
eρ (t) eρ (t t) 1
y 轴竖直向下, 如图所示。
u
O x
l
h
h
l
x
x
y
8
设小船到坐标原点的距离为l, 任意时刻小船到
岸边的距离x总满足 x 2 = l 2 h 2
两边对时间t 求导数, 得
dx 2x
dl 2l
dt dt
dl u 是绞车拉动纤绳的速率，纤绳随时间在缩
dt
短，故 dl 0 ; dx v 是小船向岸边移动的速率。
2
质点运动的轨道参量方程式 x x(t)
写成分量形式
y y(t)
速度表达式
z z(t)
v
dr dt
dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k
vxi
vy
j
vzk
vx
dx dt
,
vy
dy dt
,
vz
dz dt
v
v
vx2 vy2 vz2
3
加速度的表达式
a
dv x
i
dv
y
j
1 2
a
x
t
2
vx vx0 axt
vx2 vx02 2ax (x x0 )
vx vx0 axt
x
x0
vx0 2
vx
t
7
例1 通过绞车把湖中小船拉向岸边，如图。如果 绞车以恒定的速率u拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面的 高度为h, 求小船向岸边移动的速度和加速度。
解 以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向右,
一条固定射线OA称为极轴。
质点处于点P, 连线OP 称为
点P的极径, 用表示；从OA到
P(, )
OP转过的角称为点P的极角。
点P位置可用(, )来表示, 这两 O
A
个量就称t)
(t)
eρ(t)
eρ
(t
)是极径方向的单位矢量，长度为1，沿
增大
的方向。随着质点的运动，点P
(t t)
(t) A
O L
eρ (t)
eρ (t t)
B
eρ
A
O
eρ (t)
等腰三角形OAB, 当t→0时, 底边趋于与腰
垂的直单,位矢eρ量的e方。向趋于极角增大的方向, 引入该方向