倍长中线与截长补短法

∴BE+CF>EF
在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。
例如：如图5-1：AD为 △ABC的中线，求证：
AB+AC>2AD
A
分析：要证AB+AC>2AD，
由图想到： AB+BD>AD, AC+CD>AD，
D
B
C
所以有AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，
左边比要证结论多BD+CD， 故不能直接证出此题， 而由2AD想到要构造2AD，
所谓补短，即把两短线段补成一条，再 证它与长线段相等。
让我们来大显身手吧！
例如：已知如图6-1：
在△ABC中，
AB>AC，∠1=∠2， P为AD上任一点
A 1 2
P
求证：AB-AC>PB-PC。 N
D
C
B
图6 1
M
思路导航
要证：AB-AC>PB-PC，想 到利用三角形三边关系定 理证明。
因为欲证的线段之差，故用 两边之差小于第三边，从 而想到构造第三边AB-AC
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3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 005:53: 5805:5 3Dec-20 10-Dec-20
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4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 05:53:5 805:53: 5805:5 3Thursday, December 10, 2020
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5、知人者智，自知者明。胜人者有力 ，自胜 者强。 20.12.1 020.12. 1005:5 3:5805: 53:58D ecembe r 10, 2020
2020 5:53:58 AM05:53:582020/12/10
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/10/
谢 谢 大 家 2020 5:53 AM12/10/2020 5:53 AM20.12.1020.12.10
• 12、这一秒不放弃，下一秒就会有希望。10-Dec-2010 December 202020.12.10
故可在AB上截取AN等于AC
，得AB-AC=BN
再连接PN，则PC=PN，又
N
在△PNB中，PB-PN<BN
即：AB-AC>PB-PC。
B
A 1 2
P C
D
图6 1
M
证明：（截长法）在AB上截取AN=AC连接PN 在△APN和△APC中
AN=AC（辅助线作法） ∠1=∠2 （已知） AP=AP （公共边） ∴△APN≌△APC （SAS） ∴PC=PN （全等三角形对应边相等） ∵在△BPN中，有 PB-PN<BN （三角形两边之差小于第 三边）
E
F
∴∠3+∠2=90° 即：∠EDF=90°
∴∠FDM=∠EDF =90° 在△EDF和△MDF中
12 34
C
B
D
ED= MD （辅助线作 法）
∠EDF=∠FDM （已证） DF=DF （公共边）
图4 1 M
∴△EDF≌△MDF （SAS）
∴EF=MF （全等三角形对应边相等）
∵在△CMF中，CF+CM>MF（三角形两边之和大于第三边）
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6、意志坚强的人能把世界放在手中像 泥块一 样任意 揉捏。 2020年 12月10 日星期 四上午 5时53 分58秒0 5:53:58 20.12.1 0
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A
E
12 34
B
D
F C
图4 1 M
证明：廷长ED至M，使DM=DE，连接
CM，MF。在△BDE和△CDM中，
BD=CD （中点定义）
∠1=∠5 （对顶角相等）
ED=MD （辅助线作法）
A
∴△BDE≌△CDM （SAS）
又∵∠1=∠2，∠3=∠4 （已知）
∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定义）
E 图5 1
即加倍中线，
把所要证的线段转移到同一个三角形中去
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE ∵AD为△ABC的中线 （已知） ∴BD=CD （中线定义）
在△ACD和△EBD中 BD=CD （已证） ∠1=∠2 （对顶角相等） AD=ED （辅助线作法）
∴△ACD≌△EBD （SAS） ∴BE=CA（全等三角形对应边相等） ∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大 于第三边）
∴AB+AC>2AD。 （常延长中线加倍，构造全等三角形）
练习
• 已知△ABC，AD是BC E
边上的中线，分别以
F
AB边、AC边为直角边
A
各向外作等腰直角三
角形，如图5-2， 求证
EF=2AD。
B DC
图5 2
二、截长补短法作辅助线
要证明两条线段之和等于第三条线段， 可以采取“截长补短”法。
截长法即在较长线段上截取一段等于两 较短线段中的一条，再证剩下的一段等于 另一段较短线段。
初中数学辅助线专题 （辅助线口诀）
辅助线一般作法
初中几何常见辅助线作法口诀
人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
一、 倍长法 1、 有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍 此线段，构造全等三角形。
例如：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1=∠2， ∠3=∠4，求证：BE+CF>EF
N B
A 1 2
P C
D
图6 1
M
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1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1020. 12.10Thursday, December 10, 2020
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2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。05:5 3:5805: 53:5805 :5312/ 10/2020 5:53:58 AM
∴BP-PC<AB-AC
A
1 2
N B
P C
D
图6 1
M
证明：（补短法）延长AC至M，使AM=AB，连接PM 在△ABP和△AMP中 AB=AM （辅助线作法） ∠1=∠2 （已知） AP=AP （公共边） ∴△ABP≌△AMP （SAS） ∴PB=PM （全等三角形对应边相等）
又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边) ∴AB-AC>PB-PC。
• 13、无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异 纸上画饼充饥，无补于事。Thursday, December 10, 202
010-Dec-2020.12.10
• 14、我只是自己不放过自己而已，现在我不会再逼自 己眷恋了。20.12.1005:53:5810 December 202005:53