事件的相互独立性 课件

A，B互斥
P(A)＋P(B)
0 1－[P(A)＋P(B)]
P(A)＋P(B)
1
A，B相互独立
1－P(－A )P(－B )
P(A)P(B)
P(－A )P(－B ) P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)
1－P(A)·P(B)
又A B 与 A B互斥，
所以P[(A
B
)∪(
ABBiblioteka ]＝P(AB)＋P(
A
B)＝P(A)P(
B
)＋P(
A
)P(B)＝
1 3
×1－14＋1－13×14＝152. (4)“至多一人能破译”为事件(A B )∪( A B)∪( A B )，而A B 、 A B、 A
B 互斥，故P[(A B )∪( A B)∪( A B )]＝P(A B )＋P( A B)＋P( A B )＝P(A)P( B )
事件的相互独立性与互斥性
[探究问题] 1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙 击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件 A B与 A B 呢？
[提示] 事件A与B， A 与B，A与 B 均是相互独立事件，而 A B与A B 是 互斥事件．
2．在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙 二人恰有一人击中目标的概率？
[思路探究] (1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个 球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还 是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义判断．
[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中
选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
事件的相互独立性
1．相互独立事件的定义和性质 (1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝__P_(_A_)_P_(_B_)_，那么称事件A 与事件B相互独立． (2)性质：①如果A与B相互独立，那么A与 B ， A 与B， A 与 B 也都相互 独立． ②如果A与B相互独立，那么P(B|A)＝__P_(_B_)_，P(A|B)＝_P__(A__) _． 思考：互斥事件与相互独立事件的区别是什么？
[提示] “甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝ A B＋A B . 所以P(C)＝P( A B＋A B )＝P( A B)＋P(A B ) ＝P( A )·P(B)＋P(A)·P( B ) ＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.
小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的 三列火车正点到达的概率分别为 0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到 达互不影响．求：
(1)“两人都能破译”为事件 AB，则 P(AB)＝P(A)P(B)＝13×14＝112. (2)“两人都不能破译”为事件 A B ，则
P( A B )＝P(－A )P(－B )
＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝1－13×1－14＝12.
(3)“恰有一人能破译”为事件(A B )∪( A B)，
(3)A，B都不发生为事件－A －B . (4)A，B恰有一个发生为事件A－B ＋－A B. (5)A，B中至多有一个发生为事件A－B ＋－A B＋－A －B .它们之间的概率关系
如表所示：
P(A＋B)
P(AB)
P(－A －B ) P(A－B ＋－A B) P(－A ·－B ＋A·－B ＋－A ·B)
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P(－A －B －C ) ＝1－P(－A )P(－B )P(－C )
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
母题探究：1.(改变问法)本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概 率．
[解] 恰有一列火车正点到达的概率
P3＝P(A－B －C )＋P(－A B－C )＋P(－A －B C) ＝P(A)P(－B )P(－C )＋P(－A )P(B)P(－C )＋P(－A )P(－B )P(C)
＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.
2．(变换条件，改变问法)若一列火车正点到达计5分，用ξ表示三列火车 的总得分，求P(ξ≤10)．
[解] 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8， P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P(－A )＝0.2，P(－B )＝0.3，P(－C )＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(－A BC)＋P(A－B C)＋P(AB－C ) ＝P(－A )P(B)P(C)＋P(A)P(－B )P(C)＋P(A)P(B)P(－C )
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为
5 8
，若这一事件
发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为
47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否
发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB ＝{6}，
相互独立事件的判断
判断下列各对事件是否是相互独立事件． (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组 中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出 1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取 出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
所以P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16. 所以P(AB)＝P(A)·P(B)， 所以事件A与B相互独立．
[规律方法] 判断事件是否相互独立的方法 1．定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B)． 2．直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． 3．条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
[解] 事件“ξ≤10”表示“至多两列火车正点到达”其对立事件为 “三列火车都正点到达”，
所以P(ξ≤10)＝1－P(ABC) ＝1－P(A)P(B)P(C) ＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.
[规律方法] 与相互独立事件有关的概率问题求解策略 明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发 生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义． 一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么： (1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B. (2)A，B都发生为事件AB.
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率． (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
[思路探究] (1)这三列火车之间是否正点到达互不影响，因此本题是相 互独立事件同时发生的概率问题，注意两列正点到达所包含的情况．
(2)这三列火车至少有一列正点到达的对立事件是三列火车都没正点到 达，这种情况比正面列举简单些，因此利用对立事件的概率公式求解．
＋P( A )·P(B)＋P( A )P( B )＝13×1－14＋1－13×14＋1－13×1－14＝1112.
[规律方法] 1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤： (1)首先确定各事件是相互独立的； (2)再确定各事件会同时发生； (3)先求每个事件发生的概率，再求其积． 2．公式P(AB)＝P(A)P(B)可推广到一般情形，即如果事件A1，A2，…， An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积， 即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
相互独立事件同时发生的概率
甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14.求： (1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率； (4)至多有一人能够破译的概率.
[解] 设“甲能破译”为事件 A，“乙能破译”为事件 B，则 A、B 相互
独立，从而 A 与－B 、－A 与 B、－A 与－B 均相互独立．
[提示]
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件 B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符合
相互独立事件A，B同时发生， 互斥事件A，B中有一个发生，
记作：AB
记作：A∪B(或A＋B)
计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
2.n个事件相互独立 对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中__任__一__个__事__件___发生的概率不受 其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 3．独立事件的概率公式 (1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)×P(B)； (2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝ P(A1)×P(A2)×…×P(An)．