期望方差公式-V1

期望方差公式-V1
期望方差公式是统计学中的一个重要公式，用来计算一个随机变量与
其期望之间的偏离程度，也是许多概率论和数理统计中的基本工具。

在此，我们重新整理一下期望方差公式，希望能够更好地理解和应用。

一、期望的定义
期望是随机变量的平均值，表示某个随机变量可能取到不同取值时的
平均预期结果。

设随机变量为 $X$，$X$ 取 $n$ 个不同的取值
$x_1,x_2,\cdots,x_n$，概率分别为
$p(x_1),p(x_2),\cdots,p(x_n)$，则 $X$ 的期望为：
$$
E(X)=\sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i)
$$
二、方差的定义
方差是随机变量与其期望值之间差异程度的度量，是对随机变量分布
的离散程度的一个度量。

它的计算公式为：
$$
Var(X)=E[(X-E(X))^2]=E(X^2)-[E(X)]^2
$$
其中，$E(X^2)$ 表示 $X^2$ 的期望。

三、期望方差公式
根据期望和方差的定义，可以得到期望方差公式：
$$
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\sum_{i=1}^{n} x_i^2 p(x_i) -
[\sum_{i=1}^{n} x_i p(x_i)]^2
$$
即方差是每个取值平方与概率的乘积之和减去期望的平方。

四、应用举例
假设现有一批产品，生产厂家声称其产品的尺寸标准差为 $0.5$，而消费者却认为实际标准差应该在 $0.3$ 左右。

通过对产品进行抽样测量，可得到随机变量 $X$ 的取值，表示产品尺寸与标准尺寸偏差的大小，此时就可以使用期望方差公式来计算产品尺寸的标准差。

假设样本的大小为 $n=100$，那么相应地，$X$ 的期望可以表示为：
$$
E(X)=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} x_i
$$
同时，$X^2$ 的期望可以表示为：
$$
E(X^2)=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} (x_i)^2
$$
根据期望方差公式，可以计算出随机变量 $X$ 的标准差为：
SD(X)=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{E(X^2)-[E(X)]^2}
$$
对于本例中的产品尺寸样本，应当将 $n$ 设置成实际样本数量，并代入以上公式进行计算，进而得到标准差的值，以判断产品尺寸是否符合承诺。

以上是对期望方差公式的重新整理及应用举例，期望方差公式在概率和统计中都有广泛的应用，是理解和分析随机变量的一个基本工具。