初二数学全等三角形压轴几何题 易错题难题提优专项训练

初二数学全等三角形压轴几何题易错题难题提优专项训练
一、全等三角形旋转模型
1．阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，
∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，
∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE的长．
答案：B
解析：（1）∠B+∠D=180°（或互补）；（2）∴5
DE
【解析】
试题分析：(1)如图，△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，利用全等的知识可知，要使EF=BE+DF，即EF=DG+DF，即要F、D、G三点共线，即∠ADG+∠ADF=180°，即
∠B+∠D=180°．
(2) 把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，通过证明△AEG≌△AED 得到DE=EG，由勾股定理即可求得DE的长．
(1)∠B+∠D=180°（或互补）．
(2)∵ AB=AC，
∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．
则∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG．
∵在△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°于，即∠ECG=90°．
∴ EC2+CG2=EG2．
在△AEG与△AED中,
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD．
又∵AD=AG，AE=AE，
∴△AEG≌△AED ．
∴DE=EG．
又∵CG=BD,
∴ BD2+EC2=DE2．
∴5
DE=．
考点：1．面动旋转问题；2．全等三角形的判定和性质；3．勾股定理．
2．问题背景
如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一
个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF
1
2
=α，连接EF，试探究：线段BE，
DF，EF之间的数量关系．
（1）特殊情景
在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．
（2）类比猜想
类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．
（3）解决问题
如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD2
=DE的长．
答案：B
解析：（1）BE+DF＝EF；（2）成立；（3）DE
2
3 =
【分析】
（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，由旋转的性质可得AE＝AG，BE＝
DG，∠BAE＝∠DAG，根据∠EAF=1
2
∠BAD可得∠BAE+∠DAF＝45°，即可得出∠∠EAF＝
∠FAG，利用SAS可证明△AFE≌△AFG，可得EF=FG，进而可得EF=BE+FD；（2）将△ABE 绕点A逆时针旋转α得到△ADH，由旋转的性质可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE
＝AH，BE＝DH，根据∠BAD＝α，∠EAF
1
2
=α可得∠BAE+∠FAD
1
2
=α，进而可证明∠FAH
＝∠EAF，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得EF=FH=BE+FD；（3）将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′，由旋转的性质可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝2，即可求出∠E′BD＝90°，利用SAS可证明△AEF≌△AHF，可得DE＝DE′，利用勾股定理求出DE的长即可的答案.
【详解】
（1）BE+DF＝EF，
如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，
∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，
∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．
由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．
∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣1
∠BAD=90°-45°＝45°，
2
∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，
∴∠EAF＝∠FAG，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG．
又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF，
故答案为BE+DF＝EF．
（2）成立．
如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，
可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．
∵∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADH+∠ADC＝180°，
∴点C，D，H在同一直线上．
∵∠BAD＝α，∠EAF1
=α，
2
∴∠BAE+∠FAD1
=α，
2
∴∠DAH+∠FAD1
=α，
2
∴∠FAH＝∠EAF，
又∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AHF（SAS），
∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；
（3）DE
52
3 =，
如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．
可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，
在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝42，
∴CD=BC=BD=32，
∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，
∴E′B2+BD2＝E′D2．
易证△AE′D≌△AED，
∴DE＝DE′，
∴DE2＝BD2+EC2，即DE222
(2)(32)
DE
=+-，
解得
52
3
DE=．
【点睛】
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，旋转后不改变图形的大小和形状，并且对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定定理是解题关键.
3．探究问题：
(1)方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠BAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．
∵∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．
即∠GAF＝∠________．
又AG＝AE，AF＝AE
∴△GAF≌△________．
∴ _________＝EF，故DE＋BF＝EF．
(2)方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF ＝∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
答案：E
解析：(1)EAF、△EAF、GF；(2)DE＋BF＝EF.
【解析】
【分析】
（1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案；
（2）将△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，再证明△AGF≌△AEF，即可得出答案；
【详解】
解：（1）如图①所示；
根据等量代换得出∠GAF=∠FAE，
利用SAS得出△GAF≌△EAF，
∴GF=EF，
故答案为：FAE；△EAF；GF；
(2)DE＋BF＝EF，理由如下：
假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转，m°得到△ABG，如图，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB ＝AD ，BG ＝DE ，∠1＝∠2，∠ABG ＝∠D ＝90°，
∴ ∠ABG ＋∠ABF ＝90°＋90°＝180°，
因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．
∵
， ∴
．
∵ ∠1＝∠2，
∴ ∠1＋∠3＝． 即∠GAF ＝∠EAF ．
∵在△AGF 和△AEF 中，
，
∴ △GAF ≌△EAF （SAS ）．
∴ GF ＝EF ．
又∵ GF ＝BG ＋BF ＝DE ＋BF ，
∴ DE ＋BF ＝EF ．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质、以及折叠的性质和旋转变换性质等知识，证得△GAF ≌△EAF 是解题的关键．
4．如图所示，ABC ∆中，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，把一块含30角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DF ，长直角边为DE ），将三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转.
（1）在如图所见中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N ，证明DM DN =； （2）继续旋转至如图所见，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，证明DM DN =.
答案：B
解析：(1)见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接BD ，证明△DMB ≌△DNC ．根据已知，全等条件已具备两个，再证出∠MDB=∠NDC ，用ASA 证明全等，四边形DMBN 的面积不发生变化，因为它的面积始终等于△ABC 面积的一半；
（2）同样利用（1）中的证明方法可以证出△DMB ≌△DNC ；
（3）方法同（1）．
【详解】
证明：（1）连接BD,
∵AB=BC ，∠ABC=90°，点D 为AC 的中点
∴BD ⊥AC ，∠A=∠C=45°
∴BD=AD=CD
∴∠ABD=∠A=45°
∴∠MBD=∠C=45°
∵∠MDB+∠BDN=90°
∠NDC+∠BDN=90°
∴∠MDB=∠NDC
在△MDB 和△NDC 中
MBD C BD CD
MDB NDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴△MDB ≌△NDC （ASA ）
∴DM=DN （5分）
（2）DM=DN 仍然成立．理由如下：连接BD ，
由（1）知BD ⊥AC ，BD=CD
∴∠ABD=∠ACB=45°
∵∠ABD+∠MBD=180°∠ACB+∠NCD=180°
∴∠MBD=∠NCD
∵BD ⊥AC
∴∠MDB+∠MDC=90°
又∠NDC+∠MDC=90°
∴∠MDB=∠NDC
在△MDB 和△NDC 中
MBD NCD BD CD
MDB NDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴△MDB ≌△NDC （ASA ）
∴DM=DN.
【点睛】
本题主要考查学生的推理能力，题目比较典型，利用ASA 求三角形全等（手拉手模型），还运用了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，及等腰三角形三线合一定理等知识．
5．如图1，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD ＝AE ，连结DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是________，位置关系是
__________；
（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连结MN ，判断△PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若DE ＝2，BC ＝4，请直接写出△PMN 面积的最大值．
答案：C
解析：（1）PM=PN ，PM ⊥PN ，理由见详解；（2）△PMN 是等腰直角三角形，理由见详解；（3）△PMN 面积的最大值是
94． 【分析】
（1）利用三角形的中位线得出PM=12CE ，PN=12
BD ，进而判断出BD=CE ，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM ∥CE 得出∠DPM=∠DCA ，最后用互余即可得出结论； （2）先判断出△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，同（1）的方法得出PM=12BD ，PN=12
BD ，
即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN=1
2
BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM=1
2
CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN；
故答案为：PM=PN，PM⊥PN；
（2）△PMN是等腰直角三角形；
理由：由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=1
2
BD，PM=
1
2
CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN 是等腰直角三角形；
（3）由（2）知，△PMN 是等腰直角三角形，PM=PN=12BD ， ∴PM 最大时，△PMN 面积最大，即：BD 最大时，△PMN 面积最大， ∴点D 在BA 的延长线上，
∵DE ＝2，BC ＝4，
∴2222
AD =⨯=，24222AB =⨯= ∴BD=AB+AD=32，
∴PM=322
， ∴S △PMN 最大=
12PM 2=21329()224⨯=； 【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PM=12CE ，PN=12
BD ，解（2）的关键是判断出△ABD ≌△ACE ，解（3）的关键是判断出BD 最大时，△PMN 的面积最大，是一道中考常考题．
6．已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B 、C 重合)．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，请直接写出线段BD 与CF 的数量关系： ； （2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其它条件不变，若AC=2，CD=1，则CF= ；
（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系： ；
②若连接正方形对角线AE 、DF ，交点为O ，连接OC ，探究△AOC 的形状，并说明理由．
答案：B
解析：（1）BD=CF ；（2
）1；（3）①CD=CF+BC ，②等腰三角形，见解析
【分析】
（1）△ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ；
（2）同（1）相同，利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ，从而证得BD=CF ，即可得到CF=CD+BC ，然后求出答案；
（3）中的①与（1）相同，可证明BD=CF ，又点D 、B 、C 共线，故：CD=BC+CF ； ②由（1）猜想并证明BD ⊥CF ，从而可知△FCD 为直角三角形，再由正方形的对角线的性质判定△AOC 三边的特点，再进一步判定其形状．
【详解】
解：（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF 是正方形，
∴AD=AF ，∠DAF=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF ，
在△BAD 和△CAF 中，
AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAF （SAS ），
∴BD=CF ，
（2）与（1）同理，证△BAD ≌△CAF ；
∴BD=CF ，
∴CF=BC+CD ，
∵AC=AB=2，CD=1，
∴BC ==
∴
CF=1；
（3）①BC 、CD 与CF 的关系：CD=BC+CF
理由：与（1）同法可证△BAD ≌△CAF ，从而可得：
BD=CF ，
即：CD=BC+CF
②△AOC 是等腰三角形
理由：与（1）同法可证△BAD ≌△CAF ，可得：∠DBA=∠FCA ，
又∵∠BAC=90°，AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
则∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠ABD=∠FCA=135°
∴∠DCF=135°-45°=90°
∴△FCD 为直角三角形．
又∵四边形ADEF 是正方形，对角线AE 与DF 相交于点O ，
∴OC=12
DF ， ∴OC=OA ∴△AOC 是等腰三角形．
【点睛】
本题考查了等腰三角形、正方形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，一般情况下，要证明两条线段相等，就得证明这两条线段所在的两个三角形全等，关键是掌握图形特点挖掘题目所隐含的条件．
7．如图，在ABC 中，,AB AC BAC α=∠=，过A 作AD BC ⊥于点D ，点E 为直线AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转α，得到线段EF ，连接FC 、FB ，直线AD 与BF 相交于点G ．
（1）（发现）如图1，当60α=︒时，填空：
①
AE BF
的值为___________； ②AGB ∠的度数为___________； （2）（探究）如图2，当120α=︒时，请写出
AE BF
的值及AGB ∠的度数，并就图2的情形给出证明；
（3）（应用）如图3，当90α=︒时，若23,15AB ACE =∠=︒，请直接写出DFG 的面积． 答案：G
解析：（1）1；60°；（2）
3AE BF =∠G =30°，理由见解析；（3）333 【分析】
（1）①根据已知条件可以证明三角形ABC 和三角形EFC 都是等边三角形，然后根据等边三角形的性质证明△AEC ≌△BFC ，即BF =AE 从而得出答案；②根据①中的证明
∠ABG =90°，∠BAG =30°，从而计算出∠AGB 的度数；
（2）根据题目已知条件可以计算出BC =，同理可以证得CF =，再证ECA FCB ∠=∠即△ACE ∽△BCF ，从而得到比值和角的度数；
（3）根据第（2）问的计算结论分E 在AD 上和E 在DA 的延长线上分类讨论求解即可．
【详解】
解：（1）①∵AB =AC ，CE =EF ，∠BAC =∠FEC =60°
∴△ABC 和△EFC 都是等边三角形
∴∠ACB =∠ECF =60°，AC =CB ，CE =CF
∴∠ACE =∠BCF
∴△ACE ≌△BCF
∴A E =BF ，即
1AE BF
= ②∵△ACE ≌△BCF
∴∠EAC =∠CBF 由①可知△ABC 是等边三角形
∴AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD
∴∠CAE =∠CBF =30°
∴∠AGB =∠180°-∠CBF -∠BDG =60°
（2）3
AE BF =，理由如下： ∵AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥BC
∴∠ABD =30°=∠ACB
∴BD AB AC CD === ∴BC =
同理∵∠FEC =120°，EF =EC ∴CF =
∴
BC CF AC CE
=，∠ACB =∠ECF =30° ∴△ACE ∽△BCF
∴∠CAE =∠CBF
∴AE AC BF BC ==∵AD ⊥BC ，∠BAC =120°，
∴∠CAE =∠CBF =60°
又∵∠BDG =90°
∴∠G =30°
（3）第一种情况，如图所示，当E 在AD 上时
∵23AB AC ==，∠BAC =90°，AD ⊥BC ∴sin 4562BC AD BD CD AB ===
==，∠DAC =45° ∵∠ACE =15°
∴∠CED =∠CAD +∠ACE =60°
∴2tan 60
DC DE == ∴62AE AD DE =-=
- 2BC CF AC CE
==，∠ACB =∠ECF =45° 又∵AD ⊥BC ，∠BAC =90°，
∴∠CAE =∠CBF =45°
∴△ACE ∽△BCF
∴2BF BC AE AC
== ∴()
262232BF =-=- ∵∠ADC =∠BDG
∴∠G =∠ACB =45°
∴223BG BD ==
∴2FG BG BF =-=
过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M ，
∵∠G =∠ACB =45°，∠BDG =90°
∴=6DG BD CD ==
∴232DM DG =
= ∴132
DFG S FG DM ==△
第二种情况：当E 在DA 的延长线上时
过点D 作DM ⊥BG 交BG 于M ，
同上可证2BF BC AE AC ==，6BG BD ==，3DM = ∵∠ACE =15°，∠DAC =45°
∴∠DEC =30° ∵AD ⊥CD ，6CD =
∴32tan 30
DC DE == ∴=6DG BD CD ==
326AE DE AD =-=-
∴2623FB AE ==-
∴6FG BF BG =+=
1332
DFG S FG DM ==△ 故答案为：3或33．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，三角函数等知识点，解题的关键在于能够熟练的掌握相关知识点．
8．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．
（1）问题发现：
如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是 ；
（2）拓展探究：
如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：
如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，25AC ＝AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．
答案：C
解析：（1）60BD CE ，＝；（2）452CEB BD CE ∠︒＝，＝，理由见解析；（3）CE 的长为2或2
【分析】
（1）证明ACE ABD ≌，得出CE ＝BD ，AEC ADB ∠=∠，即可得出结论； （2）证明ACE ABD ∽，得出AEC ADB ∠=∠，2BD CE =
，即可得出结论； （3）先判断出2BD CE =，再求出210AB =：
①当点E 在点D 上方时，先判断出四边形APDE 是矩形，求出AP ＝DP ＝AE ＝2，再根据勾股定理求出，BP ＝6，得出BD ＝4；
②当点E 在点D 下方时，同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝1，BP ＝6，进而得出BD ＝BP +DP ＝8，即可得出结论．
【详解】
解：（1）ABC 为等腰三角形，60AC BC ACB ∠︒＝，＝，
∴ABC 是等边三角形，
同理可得ADE 是等边三角形
6018012060BAD DAC DAC CAE BAD CAE AD AE AB AC
EAC DAB ACE ABD SAS BD CE
AEC ADB ADE AEC AED CEB
CEB ∠+∠=∠+∠=︒
∴∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩
∴∴=∠=∠=︒-∠=︒
∠=∠+∠∴∠=︒
＝≌（）
故答案为：60CEB BD CE ∠=︒=；．
（2）452CEB BD CE ∠︒＝，＝，理由如下：
在等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ，90ACB ∠︒＝， 245AB AC CAB ∴∠︒＝，＝ ， 同理，245AD AE ADE DAE ∠∠︒＝，＝＝，
∴AE AC AD AB
=，DAE CAB ∠∠＝， EAC DAB ∴∠∠＝，
ACE ABD ∴∽ ，
∴BD AD CE AE
== ∴
AEC ADB BD ∠∠＝，，
点B 、D 、E 在同一条直线上:
180135ADB ADE ∴∠︒-∠︒＝＝
135AEC ∴∠︒＝
45CEB AEC AED ∴∠∠-∠︒＝＝；
（3）由（2）知，ACE ABD ∽，
BD ∴，
在Rt ABC 中，AC ＝
AB ∴＝，
①当点E 在点D 上方时，如图③，
过点A 作AP BD ⊥交BD 的延长线于P ，
DE BD ⊥，
PDE AED APD ∴∠∠∠＝＝，
∴四边形APDE 是矩形，
AE DE ＝ ，
∴矩形APDE 是正方形，
2AP DP AE ∴＝＝＝，
在Rt APB △中，根据勾股定理得，6BP ，
4BD BP AP ∴-＝＝，
CE BD ∴＝ ②当点E 在点D 下方时，如图④
同①的方法得，AP ＝DP ＝AE ＝2，BP ＝6，
∴BD ＝BP +DP ＝8，
CE ∴＝
综上CE 的长为或．
【点睛】
本题是几何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE 和三角形ABD 相似是关键．
9．如图，ABD △和ACE △都是等边三角形．
（1）连接CD 、BE 交于点P ，求∠BPD ；
（2）连接PA ，判断线段PA 、PB 、PD 之间的数量关系并证明；
（3）如图，等腰ABC 中AB ＝AC ，∠BAC ＝α（0＜α＜90），在ABC 内有一点M ，连接MA 、MB 、MC ．当MA ＋MB ＋MC 最小时，∠ABM ＝ （用含α的式子表示）
答案：D
解析：（1）60BPD ∠=︒（2）PD PB PA =+，证明见详解（3）1602
α︒-
【分析】
（1）证明()DAC BAE SAS ≅，得ADC ABE ∠=∠，就可以证明60BPD DAB ∠=∠=︒；
（2）在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，证明()DBF ABP SAS ≅，得DF PA =，即可证明PD PB PA =+；
（3）分别以AB 和AC 为边，向两边作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，然后利用等腰三角形ADC ，求出ADC ∠的度数，即可得到ABM ∠的度数．
【详解】
解：（1）∵ABD △和ACE △是等边三角形，
∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒，
∵DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，
∴DAC BAE ∠=∠，
在DAC △和BAE △中，
AD AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()DAC BAE SAS ≅，
∴ADC ABE ∠=∠，
∵ADC DAB ABE BPD ∠+∠=∠+∠，
∴60BPD DAB ∠=∠=︒；
（2）如图，在DP 上截取PF=PB ，连接BF ，
∵60BPD ∠=︒，PF PB =，
∴PFB △是等边三角形，
∴BF BP =，60FBP ∠=︒，
∴DBA FBP ∠=∠，
∵DBA FBA FBP FBA ∠-∠=∠-∠，
∴DBF ABP ∠=∠，
在DBF 和ABP △中，
DB AB DBF ABP BF BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()DBF ABP SAS ≅，
∴DF PA =，
∵PD PF FD =+，
∴PD PB PA =+；
（3）如图，分别以AB 和AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接BE 和CD ，交于点M ，连接AM ，此时MA MB MC ++最小，
由（2）中的结论可得MD MA MB =+，则当D 、M 、C 三点共线时MA MB MC ++最小，即CD 的长，
由（1）得ADC ABM ∠=∠，
∵AD AB AC ==，60DAC α∠=︒+，
∴()1806016022
ADC αα︒-︒+∠==︒-， ∴1
602ABM α∠=︒-， 故答案是：1602α︒-．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，解题的关键是做辅助线构造全等三角形来进行证明求解．
10．问题解决
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P 是等边ABC 内的一点，6PA =，8PB = ，10PC =．你能求出APB ∠的度数和等边ABC 的面积吗？ 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
如图①将BPC △绕点B 逆时针旋转60°，得到BPA △，连接PP '，可得BPP '是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得AP P '是直角三角形，从而使问题得到解决．
（1）结合小明的思路完成填空：PP '=_____________，APP '∠=_______________，APB ∠=_____________ ，ABC S = ______________．
（2）类比探究
Ⅰ如图②，若点P 是正方形ABCD 内一点，1PA = ，2PB =，3PC =，求APB ∠的度数和正方形的面积．
Ⅱ如图③，若点P 是正方形ABCD 外一点，3PA = ，1PB =， 11PC =APB ∠的度数和正方形的面积．
答案：B
解析：（1）8，90˚，150˚，25336+；（2）Ⅰ135APB ∠=︒，
722ABCD S =+正方形；Ⅱ45APB ∠=︒， 1032ABCD S =-正方形
【分析】
（1）根据小明的思路，然后利用等腰三角形和直角三角形性质计算即可；
（2）Ⅰ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BE ⊥AP 于点E ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；
Ⅱ将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，求出∠APB 的度数；先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；过B 作BF ⊥AP 于点F ，然后利用勾股定理求出AB 的长度即可求出正方形面积；
【详解】
解:（1）由题易有P BP '∆是等边三角形，AP P '∆是直角三角形
∴PP '=BP=8，90?APP '=∠，60?P PB '=∠，
∴APB ∠=APP '∠+=P PB '∠150˚，
如图1，过B 作BD ⊥AP 于点D
∵APB ∠=150°
∴30?BPD =∠
在Rt △BPD 中，30?BPD =∠，BP=8
∴BD=4，PD=43 ∴AD=6+43
∴AB 2=AD 2+BD 2=100+483
∴ABC S =234
AB =25336+ （2）Ⅰ．如图2，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，
∴△ABP'≌△CBP ，
∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，
在Rt △PBP'中，BP=BP'=2，
∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=22，
∵AP=1，
∴AP 2+PP'2=1+8=9，
∵AP'2=32=9，
∴AP 2+PP'2=AP'2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；
过B 作BE ⊥AP 于点E ，
∵∠APB=135°
∴∠BPE=45°
∴△BPE 是等腰直角三角形
∴BE=BP=22
BP 2 ∴2
∴AB 2=AE 2+BE 22∴2722ABCD S AB ==+正方形
Ⅱ．如图3，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得到△BP′A ，连接PP′，
∴△ABP'≌△CBP ，
∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，11
在Rt △PBP'中，BP=BP'=1，
∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=2BP=2， ∵AP=3，
∴AP 2+PP'2=9+2=11，
∵AP'2=（11）2=11，
∴AP 2+PP'2=AP'2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，
∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°．
过B 作BF ⊥AP 于点F
∵∠APB=45°
∴△BPF 为等腰直角三角形
∴PF=BF=22
BP =22 ∴AF=AP-PF=3-
22 ∴AB 2=AF 2+BF 2=1032-
∴21032ABCD S AB ==-正方形
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
11．综合与实践
实践操作：
①如图1，ABC ∆是等边三角形，D 为BC 边上一个动点，将ACD ∆绕点A 逆时针旋转60︒得到AEF ∆，连接CE ．
②如图2，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，将ABD ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到AEF ∆，延长FE 与BC 交于点G ．
③如图3，将图2中得到AEF ∆沿AE 再一次折叠得到AME ∆，连接MB ．
问题解决：
（1）小明在探索图1时发现四边形ABCE 是菱形．小明是这样想的：
请根据小明的探索直接写出图1中线段CD ，CF ，AC 之间的数量关系为 ： （2）猜想图2中四边形ADGF 的形状，并说明理由；
问题再探：
（3）在图3中，若AD=6，BD=2，则MB 的长为 ．
答案：C
解析：（1）CD+CF=AC ；（2）四边形ADGF 为正方形；理由见解析；（3）213
【分析】
（1）先证明C 、F 、E 在同一直线上，再证明△BAD ≌△CAF （SAS ），则∠ADB=∠AFC ，BD=CF ，可得AC=CF+CD ；
（2）先根据∠ADC=∠DAF=∠F=90°，证明得四边形ADGF 是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF 是正方形；
（3）证明△BAM ≌△EAD （SAS ），根据BM=DE 及勾股定理可得结论．
【详解】
解：（1）如图：
由旋转得：∠DAF=60°=∠BAC ，AD=AF ，
∴∠BAD=∠CAF ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC ，
∴△BAD ≌△CAF （SAS ），
∴∠ADB=∠AFC ，BD=CF ，
∵∠ADC+∠ADB=∠AFC+∠AFE=180°，
∴C、F、E在同一直线上，
∴AC=BC=BD+CD=CF+CD，
+=；
故答案为：CD CF AC
（2）四边形ADGF是正方形，理由如下：
如图：
∵Rt△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，
∴AF=AD，∠DAF=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠DAF=∠F=90°，
∴四边形ADGF是矩形，
∵AF=AD，
∴四边形ADGF是正方形；
（3）如图3，连接DE，
∵四边形ADGF是正方形，
DG=FG=AD=AF=6，
∵△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△AEF，
∴∠BAD=∠EAF，BD=EF=2，
∴EG=FG-EF=6-2=4，
∵将△AFE沿AE折叠得到△AME，
∴∠MAE=∠FAE，AF=AM，
∴∠BAD=∠EAM，
∴∠BAD+∠DAM=∠EAM+∠DAM，即∠BAM=∠DAE，∵AF=AD，
∴AM=AD，
在△BAM和△EAD中，
∵
AM AD
BAM DAE
AB AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BAM≌△EAD（SAS），
∴BM=DE=22
EG DG
+=22
46213
+=．
故答案为：213．
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．
12．如图，BC⊥CA，BC＝CA，DC⊥CE，DC＝CE，直线BD与AE交于点F，交AC于点G，连接CF．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）求证：BF⊥AE；
（3）请判断∠CFE与∠CAB的大小关系并说明理由．
答案：C
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）∠CFE＝∠CAB，见解析
【分析】
（1）根据垂直的定义得到∠ACB＝∠DCE＝90°，由角的和差得到∠BCD＝∠ACE，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠CBD＝∠CAE，根据对顶角的性质得到∠BGC＝∠AGE，由三角形的内角和即可得到结论；
（3）过C作CH⊥AE于H，CI⊥BF于I，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，S△ACE＝
S△BCD，根据三角形的面积公式得到CH＝CI，于是得到CF平分∠BFH，推出△ABC是等腰直角三角形，即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵BC⊥CA，DC⊥CE，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
BC CA ACD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACE ≌△BCD ；
（2）∵△BCD ≌△ACE ，
∴∠CBD ＝∠CAE ，
∵∠BGC ＝∠AGE ，
∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°，
∴BF ⊥AE ；
（3）∠CFE ＝∠CAB ，
过C 作CH ⊥AE 于H ，CI ⊥BF 于I ，
∵△BCD ≌△ACE ，
∴ACE BCD AE BD,
S S ∆∆==，
∴CH ＝CI ，
∴CF 平分∠BFH ，
∵BF ⊥AE ，
∴∠BFH ＝90°，∠CFE ＝45°，
∵BC ⊥CA ，BC ＝CA ，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠CAB ＝45°，
∴∠CFE ＝∠CAB ．
【点睛】
角的和差、对顶角的性质这些知识点在证明全等和垂直过程中经常会遇到，需要掌握。

作辅助线是在几何题里常用的方法，必须学会应用。

13．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，其中A （3，0），B （﹣1，0），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线y ＝kx+b 1经过点A ，C ，连接CD ． （1）求抛物线和直线AC 的解析式：
（2）若抛物线上存在一点P ，使△ACP 的面积是△ACD 面积的2倍，求点P 的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90°得到线段QA 1，且A 1好落在抛物线上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：A
解析：（1）2y x 2x 3=-++；3y x =-+ ；（2）（﹣1，0）或（4，﹣5）；（3）存在；（1，2）和（1，﹣3）
【分析】
（1）将点A ，B 坐标代入抛物线解析式中，求出b ，c 得出抛物线的解析式，进而求出点C 的坐标，再将点A ，C 坐标代入直线AC 的解析式中，即可得出结论；
（2）利用抛物线的对称性得出BD ＝AD ，进而判断出△ABC 的面积和△ACP 的面积相等，即可得出结论；
（3）分点Q 在x 轴上方和在x 轴下方，构造全等三角形即可得出结论．
【详解】
解：（1）把A （3，0），B （﹣1，0）代入y ＝﹣x 2+bc+c 中，得93010b c b c -++=⎧⎨
--+=⎩， ∴23
b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+3，
当x ＝0时，y ＝3，
∴点C 的坐标是（0，3），
把A （3，0）和C （0，3）代入y ＝kx+b 1中，得11
303k b b +=⎧⎨=⎩， ∴1
13k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x+3；
（2）如图，连接BC ，
∵点D 是抛物线与x 轴的交点，
∴AD ＝BD ，
∴S △ABC ＝2S △ACD ，
∵S △ACP ＝2S △ACD ，
∴S △ACP ＝S △ABC ，此时，点P 与点B 重合，
即：P （﹣1，0），
过B 点作PB ∥AC 交抛物线于点P ，则直线BP 的解析式为y ＝﹣x ﹣1①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3②，
联立①②解得，
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
或
4
5
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴P（4，﹣5），
∴即点P的坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）；
（3）如图，
①当点Q在x轴上方时，设AC与对称轴交点为Q'，由（1）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴Q'坐标为（1，2），
∵Q'D＝AD＝BD＝2，
∴∠Q'AB＝∠Q'BA＝45°，
∴∠AQ'B＝90°，
∴点Q'为所求，
②当点Q在x轴下方时，设点Q（1，m），
过点A1'作A1'E⊥DQ于E，
∴∠A1'EQ＝∠QDA＝90°，
∴∠DAQ+∠AQD＝90°，
由旋转知，AQ＝A1'Q，∠AQA1'＝90°，
∴∠AQD+∠A1'QE＝90°，
∴∠DAQ＝∠A1'QE，
∴△ADQ≌△QEA1'（AAS），
∴AD＝QE＝2，DQ＝A1'E＝﹣m，
∴点A1'的坐标为（﹣m+1，m﹣2），
代入y＝﹣x2+2x+3中，
解得，m＝﹣3或m＝2（舍），
∴Q的坐标为（1，﹣3），
∴点Q的坐标为（1，2）和（1，﹣3）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，涉及解析式的求解，与三角形面积有关的问题，三角形“k”字型全等，解题的关键是利用数形结合的思想，设点坐标并结合几何图形的性质列式求解．
14．如图，在等边三角形ABC中，点D是射线CB上一动点，连接DA，将线段DA绕点D 逆时针旋转60°得到线段DE，过点E作EF∥BC交直线AB于点F，连接CF．
（1）如图1，若点D为线段BC的中点，则四边形EDCF是；
（2）如图2，若点D为线段CB延长线上任意一点，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点D为射线CB上任意一点，当∠DAB＝15°，△ABC的边长为2时，请直接写出线段BD的长．
答案：A
-31．
解析：（1）平行四边形；（2）成立，见解析；（3）423
【分析】
（1）证明△ADB≌△DEO（AAS）和四边形EOBF为平行四边形，进而求解；
（2）证明△OED≌△DAC（SAS），则∠EOD＝∠ACD＝60°＝∠ABC，故OE∥AB，进而求解；
（3）分点D在线段BC上、点D（D′）在BC的延长线上两种情况，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质分别求解即可．
【详解】
解：（1）过点E作DE的垂线交CB的延长线于点O，设BA交ED于点R，
∵点D为线段BC的中点，则AD⊥BC且∠BAD＝30°，∵∠ADE＝60°，
∴∠EDB＝∠ADB﹣ADE＝90°﹣60°＝30°，
∵EF∥BC，
∴∠EFD＝∠ABC＝60°，∠FED＝∠EDO＝30°，
∴∠ERF＝90°，
∴DE⊥AB，
∵AD＝ED，∠BAD＝∠EDO＝30°，∠ADB＝∠DEO＝90°，∴△ADB≌△DEO（AAS），
∴OE＝BD＝1
2BC＝
1
2
AB，则OB＝OD﹣BD＝AB﹣
1
2
AB＝
1
2
AB，
∴OB＝BD＝CD，
∵OE⊥DE，DE⊥AB，
∴OE∥AB，
∵EF∥BC，
∴四边形EOBF为平行四边形，
∴EF＝OB＝CD，
而EF∥CD，
∴四边形EFCD为平行四边形，
故答案为：平行四边形；
（2）如图2，在CD的延长线上截取DO＝AC，连接OE，设∠ADC的度数为α，
∵∠EDO＝180°﹣∠EDA﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，
∠DAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝120°﹣α＝∠EDO，
而AC ＝OD ，DE ＝AD ，
∴△OED ≌△DAC （SAS ），
∴∠EOD ＝∠ACD ＝60°＝∠ABC ，
∴OE ∥AB ，而EF ∥BC ，
∴四边形EFCD 为平行四边形；
（3）①当点D 在线段BC 时，
过点A 作AH ⊥BC ，则∠BAH ＝30°，而∠DAB ＝15°，BH ＝
12BC ＝1， 即BD 是∠BAH 的角平分线，
过点D 作DG ⊥AB 于点G ，设DH ＝x ，
则DG ＝DH ＝x ，BD ＝BH ﹣DH ＝1﹣x ，
在△BDG 中，∠BDG ＝30°，则BG ＝
12BD ＝12x - 由勾股定理得：()21x -＝2
12x -⎛⎫ ⎪⎝⎭
+2x ，解得：x ＝33， ∴BD ＝1﹣x ＝423-，
②当点D （D ′）在BC 的延长线上时，
∵∠BAD ′＝15°，
∴∠D ′AH ＝30°+15°＝45°，
则D ′H ＝AH 2213-=
∴BD ′＝D ′H ﹣BH 31；
综上，BD 的长度为423-31．
【点评】
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形性质、三角形全等、等边三角形性质等知识点，综合性强，难度较大．
15．在ABC 中，AB ＝AC ，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度，得到线段AN ，连结NB ．
（感知）如图①，若M 是线段BC 上的任意一点，易证ABN ACM △≌△，可知∠NAB ＝∠MAC ，BN ＝MC ．
（探究）（1）如图②，点E 是AB 延长线上的点，若点M 是∠CBE 内部射线BD 上任意一点，连结MC ，（感知）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说
明理由．
（拓展）（2）如图③，在DEF 中，DE ＝8，∠DEF ＝60°，∠EDF ＝75°，P 是EF 上的任意点，连结DP ，将DP 绕点D 按顺时针方向旋转75°，得到线段DQ ，连结EQ ，则EQ 的最小值为 ．
解析：（1）成立，见解析；（2）4342-
【分析】
（1)根据SAS 证明NAB MAC ∆≅∆即可．
（2)如图3中，在DF 上截取DN DE =，连接PN ，作 NH EF ⊥于H ，作DM EF ⊥于M ．理由全等三角形的性质证明EQ PN =，推出当 PN 的值最小时，QE 的值最小，求出HN 的值即可解决问题．
【详解】 (1)结论仍然成立．
理由：MAN CAB ∠=∠，
NAB BAM BAM MAC ∠+∠=∠+∠∴，
NAB MAC ∠=∠∴，
AB AC =，AN AM =，
()NAB MAC SAS ∴∆≅∆，
BN CM ∴=．
（2)如图3中，在DF 上截取DN DE =，连接PN ，作NH EF ⊥于H ，作DM EF ⊥于M ．
FDE PDQ ∠=∠，
QDE PDN ∴∠=∠，
DQ DP =，DE DN =，
∴()QDE PDN SAS ≅，
EQ PN ∴=，
∴当PN 的值最小时，QE 的值最小，
在Rt DEM △中，
60DEM ∠=︒，8DE =，
sin 60DM DE ∴=︒=，
753045MDF EDF EDM ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
DF ∴=，
8NF DF DN ∴=-=，
在Rt NHF ∆，45F ∠=︒，
NH ∴=
根据垂线段最短可知，当点P 与H 重合时，PN 的值最小，
QE ∴
的最小值为．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题．。