2019年中考数学专题《等腰三角形》复习试卷含答案解析

2019年中考数学总复习等腰三角形专题综合训练题
1．在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°.在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )
A．7条 B．8条C．9条D．10条
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( )
A．80° B．75° C．65° D．45°
3. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( )
A．6 B．3 C．2.5 D．2
5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠B AC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
6. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于____．
7. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是____．
8. 在△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC 中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC 的关于点B的伴侣分割线．
(1)如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°.请在图中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度；
(2)△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x.试探索y与x应满足什么要求时，△ABC存在
关于点B的伴侣分割线．
9. 如图，抛物线y＝ax2＋bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．
解析：第(2)题分别以点C，M，N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．
10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)
11. 在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，求点F 到直线BC的距离．
12. 如图，已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)点M 是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，求出所有符合条件的点M 的坐标．
13. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，CE ⊥BD ，垂足是E ，BA 和CE 的延长线交于点F.
(1) 在图中找出与△ABD 全等的三角形，并证明你的结论； (2) 证明：BD ＝2EC.
参考答案: 1. C
2. D 【解析】∠BCA＝1
2(180°－∠A)＝75°，∠BCD ＝∠BCA－∠DCA＝∠BCA－∠A＝75°－30°＝45°.
3. C
【解析】作PQ⊥MN 于Q ，由PM ＝PN 知PQ 垂直平分MN∴MQ＝1.∠AOB＝60°，OP ＝12，∴OQ ＝1
2OP ＝6，OM
＝OQ －MQ ＝6－1＝5. 4. C
【解析】 如图，以BC 为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE 交AD 于F ，得△ABF 是等腰直角三角形，作
EG⊥CD 于G ，得△EGC 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中剪去△ABF，△BCE ，△ECG 得到四边形EFDG ，此时剩余部分的面积最小，最小值为4×6－12×4×4－12×3×6－1
2
×3×3＝2.5，故选C.
5. C 【解析】∵AB＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴BD ＝AB 2
－AD 2
＝4，∴BC ＝
2BD ＝8，故选C. 6. 20° 【解析】
过点A 作AD∥l 1，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠β.AD∥l 2，从而得到∠DAC＝∠α＝40°.再根据等边△ABC 可得到∠BAC＝60°，∴∠β＝∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝60°－40°＝20°.
7. 12° 【解析】设∠A＝x ，∵AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，∴∠A ＝∠AP 2P 1＝∠AP 13P 14＝x ，∴∠P 2P 1P 3＝∠P 13P 14P 12＝2x ，∴∠P 3P 2P 4＝∠P 12P 13P 11＝3x ，……，∠P 7P 6P 8＝∠P 8P 9P 7＝7x ，∴∠AP 7P 8＝7x ，∠AP 8P 7＝7x.在△AP 7P 8中，∠A ＋∠AP 7P 8＋∠AP 8P 7＝180°，即x ＋7x ＋7x ＝180°，解得x ＝12°.
8. 解：(1)画图正确，角度标注正确，如图① (2)考虑直角顶点，只有点A ，B ，D 三种情况．当点A 为直角顶点时，如图②，此时y ＝90°－x.当点B 为直角顶点时，再分两种情况：若∠DBC＝90°，如图③，此时y ＝90°＋12(90°－x)＝135°－1
2x.若∠ABD＝90°，如图④，此时y ＝90°＋x.当点D 为直角顶点时，
又分两种情况：若△ABD 是等腰三角形，如图⑤，此时y ＝45°＋(90°－x)＝135°－x.若△DBC 是等腰三角形，如图⑥，此时x ＝45°，45°＜y ＜90°
9. 解：(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入抛物线y ＝ax 2
＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ，3＝a ＋b ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－1，
b ＝4，∴抛物线
表达式为：y ＝－x 2
＋4x (2)点C 的坐标为(3，3)，点B 的坐标为(1，3)，以点C ，M ，N 为顶点的三角形
为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M 为直角顶点且M 在x 轴上方时，如图2，CM ＝MN ，∠CMN
＝90°，则△CBM≌△MHN，∴BC ＝MH ＝2，BM ＝HN ＝3－2＝1，∴M(1，2)，N(2，0)，由勾股定理得MC ＝22＋1
2
＝5，∴S △CMN ＝12×5×5＝5
2
；
②以点M 为直角顶点且M 在x 轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt △NEM 和Rt △MDC ，得Rt △NEM ≌Rt △MDC ，∴MD ＝ME ＝2，EM ＝CD ＝5，由勾股定理得CM ＝22
＋52
＝29，∴S △
CMN
＝12×29×29＝29
2
；③以点N 为直角顶点且N 在y 轴左侧时，如图4，CN ＝MN ，∠MNC ＝90°，作辅助线，同理得CN ＝32＋52
＝34，∴S △CMN ＝12×34×34＝17；④以点N 为直角顶点且N 在y 轴右侧时，
作辅助线，如图5，同理得CN ＝32＋12
＝10，∴S △CMN ＝12×10×10＝5；⑤以C 为直角顶点时，不能
构成满足条件的等腰直角三角形．综上所述，△CMN 的面积为52或29
2
或17或5
10. 解：满足条件的所有等腰三角形如下图所示：
解析：利用等腰三角形的性质，分别以长度为3的边为等腰三角形的底边和腰长进行分类．
11. 解：①如图a ，延长AC ，作FD⊥BC 于点D ，FE ⊥AC 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝DF
＝FE ＝EC.∵在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ＝1，AB ＝AF ，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝12＋12
＝2，∴AF ＝ 2.在
Rt △AEF 中，(1＋EC)2＋EF 2＝AF 2，即 (1＋DF)2＋DF 2＝(2)2
，解得DF ＝
3－1
2
；
②如图b ，延长BC ，作FD⊥BC 于点D ，延长CA ，作FE⊥CA 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝
DF ＝FE ＝EC.在Rt △AEF 中，(EC －1)2＋EF 2＝AF 2，即(FD －1)2＋FD 2＝(2)2
，解得FD ＝
3＋1
2
.综上可知，点F 到BC 的距离为
3＋12或3－1
2
12. 解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，解得
⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，
故抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3 (2)如图，抛物线的对称轴为x ＝－
b 2a
＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)，C(0，－3)，则MA 2＝m 2＋4，MC 2
＝(3＋m)2
＋1＝m 2
＋6m ＋10，AC 2
＝10.①若MA ＝MC ，则MA 2
＝MC 2
，得m 2
＋4＝m 2
＋6m ＋10，解得m ＝－1；②若MA ＝AC ，则MA 2
＝AC 2
，得m 2
＋4＝10，得m ＝±6；③若MC ＝AC ，则MC 2
＝AC 2
，得m 2
＋6m ＋10＝10，得m 1＝0，m 2＝－6，当m ＝－6时，M ，A ，C 三点共线，不构成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M 点的坐标为 (1，6)(1，－6)(1，－1)(1，0)
13. 解：(1)△ABD≌△ACF，证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠FAC ＝∠BAC＝90°，∵BD ⊥CE ，∠BAC ＝90°，∠ADB ＝∠EDC，∴∠ABD ＝∠ACF，∴△ABD ≌△ACF(ASA)
(2)∵△ABD≌△ACF，∴BD ＝CF ，∵BD ⊥CE ，∴∠BEF ＝∠BEC，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠FBE ＝∠CBE，∵BE ＝BE ，∴△FBE ≌△CBE(ASA)，∴CF ＝2CE ，∴BD ＝2CE
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称，∠CAF=10°，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（ ）
A.30°
B.35°
C.40°
D.45°
2．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元．如果每次提价的百分率都是x ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A.100（1﹣x ）＝121 B.100（1+x ）＝121 C.100（1﹣x ）2＝121
D.100（1+x ）2＝121
3．若关于x 的不等式组()32
23212x x x m x --⎧<⎪
⎨⎪+≥-⎩
有且仅有三个整数解，且关于x 的分式方程
2333
m x x
x x x -+=--+的解为整数，则符合条件的整数m 的个数是( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A
． B
． C ． D ．
5．为迎接体育中考,九年级(9)班八名同学课间练习垫排球,记录成绩(个数)如下：40,38,42,35,45,40,42,42,则这组数据的众数与中位数分别是( ) A ．40,41
B ．42,41
C ．41,42
D ．42,40
6．若函数y ＝2x+k 的图象与y 轴的正半轴相交，则函数k
y x
=的图象所在的象限是（ ） A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第二、四象限
D.第一、三象限
7．已知，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，延长AC 到F ，使得CF ＝AC ，连接EF ．若EF ＝4，则AB 的长为（）
A.8
B.
C.4
D.
8．岳池医药招商保持良好态势，先后签约成都百裕制药、济南爱思、重庆泰濠、四川源洪福科技、四川恒康科技、成都天瑞炳德、南充金方堂、药融园8个亿元以上医药项目和科伦药业、人福药业CS0两个医贸项目，协议投资额约51.5亿元。

将51.5亿元用科学计数法表示为（ ）元 A ．95.1510⨯
B ．851.510⨯
C ．105.1510⨯
D ．751510⨯
9．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形共有（ ）个“O”
A.28
B.30
C.31
D.34
10．某班学生到距学校12km 的烈士陵园扫墓，一部分同学骑自行车先出发，经过
1
2
h 后，其余同学乘汽车出发，由于____________，设自行车的速度为/xkm h ，则可得方程为12121
32
x x -=，根据此情境和所列方程，上题中______________中的内容应该是（ ） A ．汽车速度是自行车速度的3倍，结果同时到达
B ．汽车速度是自行车速度的3倍，后部分同学比前部分同学迟到12
h C ．汽车速度是自行车速度的3倍，前部分同学比后部分同学迟到1h
A
D ．汽车每小时比自行车多行驶3km ，结果同时到达.
11．抛掷一枚质地均匀的硬币，若抛掷99次都是正面朝上，则抛掷第100次正面朝上的概率是（ ） A ．小于
12
B ．等于
12
C ．大于
12
D ．无法确定
12．已知直线y=x+1与反比例函数k
y x
=
的图象的一个交点为P(a,2),则ak 的值为（ ） A ．2 B ．
12 C ．-2
D ．-
12
二、填空题
13．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别是线段AB 、AD 上的动点（不与端点重合），且AE ＝DF ，BF 与DE 相交于点G ．给出如下几个结论：①△AED ≌△DFB ；②∠BGE 大小会发生变化；③CG 平分∠BGD ；
④若AF ＝2DF ，则BG ＝6GF ；2
BCDG S =四边形⑤．其中正确的结论有_____（填序号）．
14．口袋内装有除颜色外完全相同的红球、白球和黑球共10个，从中摸出一球，摸出红球的概率是0.2，摸出白球的概率是0.5，那么黑球的个数是_____个．
15．如图，线段BD 、CE 相交于点A ，DE ∥BC ．如果AB ＝4，AD ＝2，DE ＝1.5，那么BC 的长为_____．
16．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．
A ．如图，半圆O 的直径AE=4，点
B ，
C ，
D 均在半圆上，若AB=BC ，CD=D
E ，连接OB ，OD ，则图中阴影部分的面积为_____．
B sin69°≈_____（精确到0.01）． 17．如果反比例函数k
y x
=（k 是常数，k≠0）的图象经过点（-1，2），那么这个反比例函数的图象在第______象限．
18．在实数范围内因式分解：34a a -=__________． 三、解答题
19．已知：如图，抛物线y=ax 2
+bx+c 与坐标轴分别交于点A （0，6），B （6，0），C （-2，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式；
（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积有最大值？
（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连结DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点为：A （1，1），B （4，4），C （5，1）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1；
（2）在x轴上存在一点P，满足点P到点B1与点C1距离之和最小，请直接写出PB1+PC1的最小值为．
21．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=0.4m，EF=0.2m，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高。

22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0），与y轴交于点C（0，﹣x2），且x1
＜0＜x2，
1
3
OA
OC
=，△ABC的面积为
6.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在一点M，使四边形ABMC的面积最大？若存在，请求出点M的坐标和四边形ABMC的面积最大值；若不存在，请说明理由；
（3）E为抛物线的对称轴上一点，抛物线上是否存在一点D，使以B、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
23．解不等式组：
()
234
2
3
x x
x
x
⎧-≤-
⎪
⎨-
<
⎪⎩
，并求非负整数解．
（1）﹣30﹣（
12）﹣2﹣（14）2010×（﹣4）2011 （2）（﹣3a ）3﹣（﹣a ）•（﹣3a ）2．
25．如图1是某品牌订书机，其截面示意图如图2所示．订书钉放置在轨槽CD 内的MD 处，由连接弹簧的推动器MN 推紧，连杆EP 一端固定在压柄CF 上的点E 处，另一端P 在DM 上移动．当点P 与点M 重合后，拉动压柄CF 会带动推动器MN 向点C 移动．使用时，压柄CF 的端点F 与出钉口D 重合，纸张放置在底座AB 的合适位置下压完成装订（即点D 与点H 重合）．已知CA ⊥AB ，CA ＝2cm ，AH ＝12cm ，CE ＝5cm ，EP ＝6cm ，MN ＝2cm ．
（1）求轨槽CD 的长（结果精确到0.1）；
（2）装入订书钉需打开压柄FC ，拉动推动器MN 向点C 移动，当∠FCD ＝53°时，能否在ND 处装入一段
长为2.5cm ≈6.08，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．①③④．
14．3
15．3
16．π 2.47
17．二、四
18．()()22a a a +-
三、解答题
19．（1）y = -12
x 2+ 2x + 6；（2）P(3, 152 )；（3）P （4，6）或P （，-5）．
【分析】
（1）待定系数法求解可得；
（2）作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM ，先求出直线AB 解析式为y=-x+6，设P （t ，-12
t 2+2t+6），则N （t ，-t+6），由S △PAB =S △PAN +S △PBN =
12PN•AG+12PN•BM=12
PN•OB 列出关于t 的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得； （3）若△PDE 为等腰直角三角形，则PD=PE ，设点P 的横坐标为a ，表示出PD 、PE 的长，列出关于a 的方程，解之可得答案．
【详解】
（1）∵抛物线过点B （6，0）、C （-2，0），
∴设抛物线解析式为y=a （x-6）（x+2），
将点A （0，6）代入，得：-12a=6，
解得：a=-12
， 所以抛物线解析式为y=-
12（x-6）（x+2）=-12x 2+2x+6； （2）如图1，过点P 作PM ⊥OB 与点M ，交AB 于点N ，作AG ⊥PM 于点G ，
设直线AB 解析式为y=kx+b ，
将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：
660
b k b ⎧⎨+⎩＝＝， 解得：16k b -⎧⎨⎩
＝＝， 则直线AB 解析式为y=-x+6，
设P （t ，-12
t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，-t+6），
∴PN=PM-MN=-12t 2+2t+6-（-t+6）=-12t 2+2t+6+t-6=-12
t 2+3t ，
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=1
2
PN•AG+
1
2
PN•BM
=1
2
PN•（AG+BM）
=1
2 PN•OB
=1
2
×（-
1
2
t2+3t）×6
=-3
2
t2+9t
=-3
2
（t-3）2+
27
2
，
∴当t=3时，P位于（3，15
2
）时，△PAB的面积有最大值；
（3）如图2，
若△PDE为等腰直角三角形，
则PD=PE，
设点P的横坐标为a，点E的横坐标为b，
∴PD=-1
2
a2+2a+6-（-a+6）=-
1
2
a2+3a，
2
1
22()
2
a b
+
=-
⨯-
，
则b=4-a，
∴PE=|a-（4-a）|=|2a-4|=2|2-a|，
∴-1
2
a2+3a=2|2-a|，
解得：a=4或
所以P（4，6）或P（
，
）．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质等知识点．
20．（1）见解析；（2
【解析】
【分析】
（1）分别作出三角形ABC三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；
（2）作点C1关于x轴的对称点C′，连接B1C′与x轴的交点即为所求点P，继而利用勾股定理求解可得．【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，点P即为所求，PB
1
+PC1
．
【点睛】
本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
21．树高为 5.5 米
【解析】
【分析】
根据两角相等的两个三角形相似，可得△DEF∽△DCB ，利用相似三角形的对边成比例，可得DE EF DC CB
=，
代入数据计算即得BC的长，由 AB＝AC+BC ，即可求出树高. 【详解】
∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB
∴DE EF DC CB
=，
∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，
∴0.40.2
8CB
=，
∴CB＝4（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）
答：树高为 5.5 米.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
22．（1）y=x 2-2x-3（2）
758
（3）D 1 （4，5），D 2 （-2，5），D 3 （2，-3） 【解析】
【分析】 （1）根据题意求出A ，B ，C 点的坐标，并将其代入y=ax 2+bx+c 即可求出解析式；
（2）当点M 在x 轴下方的抛物线上时，连接OM ，CM ，BM ，设点M （a ，a 2-2a-3），则S 四边形ABMC =S △AOC +S △OCM +S △OBM ，用含a 的代数式表示出S 的值，利用函数的思想即可求出其最大值，进一步写出点M 的坐标；
（3）分类讨论存在平行四边形的情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质及平移规律即可求出点D 坐标．
【详解】
（1）由题意得，21x =-3 x
∵S △ABC ＝6， ∴()()1111x 3x 3x 62
--= ∴x 12=1
∵x 1＜0＜x 2，
∴x 1＝﹣1，x 2＝3，
∴A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3），
抛物线为y ＝ax 2+bx+c 的图像经过A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）
∴09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩
解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
∴抛物线的解析式为：2
23y x x =--
（2）如图1，当点M 在x 轴下方的抛物线上时，连接OM ，CM ，BM ，
设点M （a ，a 2-2a-3），
则S 四边形ABMC =S △AOC +S △OCM +S △OBM
=1
2
×1×3+
1
2
×3a+
1
2
×3（-a2+2a+3）
=-3
2
（a-
3
2
）2+
75
8
，
由二次函数的性质可知，当a=3
2
时，S有最大值，S最大=
75
8
，
∴M（3
2
，-
15
4
），四边形ABMC的面积最大值为
75
8
；
（3）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴对称轴为直线x=1，
如图2-1，当四边形ECBD为平行四边形时，DE∥BC，DE=BC，
∴x D-x E=x B-x C=3，
∵x E=1，
∴x D=4，
∴D（4，5）；
如图2-2，当四边形DCBE为平行四边形时，DE∥BC，DE=BC，
∴x E-x D=x B-x C=3，
∵x E=1，
∴x D=-2，
∴D（-2，5）；
如图2-3，当四边形ECDB 为平行四边形时，BE ∥DC ，BE=DC ，
∴x E +x D =x B +x C =3，
∵x E =1，
∴x D =2，
∴D （2，-3）；
综上所述点D 坐标为 （4，5），（-2，5）或 （2，-3）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，用函数的思想求极值，平行四边形的性质等，解题的关键是能够根据题意画出平行四边形，分类讨求出论存在的点的坐标．
23．不等式组的解集为﹣1＜x≤2，非负整数解是0，1，2．
【解析】
【分析】
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】
()23423x x x x ①②⎧-≤-⎪⎨-<⎪⎩
， 解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x ＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
∴不等式组的非负整数解是0，1，2．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
24．（1）-1；（2）﹣18a 3
【解析】
【分析】
（1）直接利用负指数幂的性质以及积的乘方运算法则化简得出答案；
（2）直接利用积的乘方运算法则以及结合单项式乘以单项式运算法则计算得出答案．【详解】
（1）原式＝﹣1﹣4+（1
4
×4）2010×4
＝﹣5+4
＝﹣1；
（2）原式＝﹣27a3+a•9a2
＝﹣27a3+9a3
＝﹣18a3．
【点睛】
此题主要考查了负指数幂的性质以及积的乘方运算、积的乘方运算法则以及单项式乘以单项式运算，正确掌握运算法则是解题关键．
25．（1）12.6（cm）．（2）能在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉．
【解析】
【分析】
（1）由题意CD＝CH，利用勾股定理求出CH即可．
（2）如图2中，作EK⊥PC于K．解直角三角形求出CK，PK，DN即可判断．
【详解】
解：（1）由题意CD＝CH，
在Rt△ACH中，CH≈12.2（cm）．
∴CD＝CH＝12.6（cm）．
（2）如图2中，作EK⊥PC于K．
在Rt△ECK中，EK＝EC•sin53°≈4（cm），CK＝EC•cos53°≈3（cm），
在Rt△EPK中，PK cm），
∴DP＝CD﹣CK﹣PK﹣MN＝12.6﹣3﹣4.48﹣2＝3.12＞2.5，
∴能在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，直线y x m =-+与()40y nx n n =+≠的交点的横坐标为2-，则关于x 的不等式40x m nx n -+>+>的整数解为（ ）.
A ．1-
B ．5-
C ．4-
D ．3-
2．在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作EF 垂直于BD 交AB ，CD 分别于点F ，E ，连接DF ，BE ．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：
小青：OE=OF ；小何：四边形DFBE 是正方形；
小夏：S 四边形AFED =S 四边形FBCE ；小雨：∠ACE=∠CAF ．
这四位同学写出的结论中不正确的是（ ）
A.小青
B.小何
C.小夏
D.小雨
3．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝30°，AB ＝4，D ，F 分别是AC ，BC 的中点，等腰直角三角形DEH 的边DE 经过点F ，EH 交BC 于点G ，且DF ＝2EF ，则CG 的长为（ ）
A ．
B ． 1
C ．52
D 4．如图，在菱形ABCD 中，∠BAC=60°，AC 与BC 交于点O ，
E 为CD 延长线上的一点，且CD=DE ，连接BE 分别交AC 、AD 于点
F 、
G ，连接OG ，则下列结论中一定成立的是（ ）．
①OG=AB ；
②与△EGD 全等的三角形共有5个；
③S 四边形ODGF ＞S △ABF ；
④由点A 、B 、D 、E 构成的四边形是菱形．
A.①③④
B.①④
C.①②③
D.②③④
5．2018年10月24日港珠澳大桥正式通车.港珠澳大桥是在“一国两制”框架下，粤港澳三地首次合作共建的超大型基础设施项目，总投资约480亿元，大桥全长55000米，主体工程集合了桥、岛、隧三部分.隧道两端的东西两个海中人工岛，犹如“伶仃双贝”熠熠生辉，寓意三地同心的青州航道桥，形似中华白海豚的江海直达航道桥，以及扬帆起航的九洲航道桥，也是伶仃洋上别致的风景.将数据480亿用科学记数法表示为（ ）
A ．848010⨯
B ．94810⨯
C ．104.810⨯
D ．110.4810⨯
6．如图，圆上有两点A ，B ，连结AB ，分别以A ，B 为圆心，AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C D CD ，，交于AB 点E ，交AB 于点F ，若16EF AB ==，，则该圆的半径长是( )
A.10
B.6
C.5
D.4 7．有两个一元二次方程M ：ax 2+bx+c ＝0，N ：cx 2+bx+a ＝0，其中a+c ＝0，下列四个结论中，错误的是（ ）
A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根
B ．b ＝0时，方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x ＝1
C ．如果5是方程M 的一个根，那么
15是方程N 的一个根 D ．ac≠0
8．如图，直线,a b 都与直线m 垂直，垂足分别为M N 、，1MN =.等腰直角ABC △的斜边AB 在直线m 上，2AB =，且点B 位于点M 处.将等腰直角ABC △沿直线m 向右平移，直到点A 与点N 重合为止.记点B 平移的距离为x ，等腰直角ABC △的边位于直线,a b 之间部分的长度和为y ，则y 关于x 的函
数图像大致为（）
A. B. C. D.
9．如图，是某个几何体从不同方向看到的形状图(视图)，这个几何体的表面能展开成下面的哪个平面图形？
( )
A
．B ．
C
．D ．
10．阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关
系：x1+x2＝﹣b
a
，x1•x2＝
c
a
．根据该材料填空：已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则21
12
x x
x x
的
值为（）
A．4 B．6 C．8 D．10
11．一幅美丽的图案是由四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为（）
A．正三角形B．正四边形
C．正五边形D．正六边形
12．若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）
A．k＞1
4
且k≠0B．k＜
1
4
且k≠0C．k≤
1
4
且k≠0D．k＜
1
4
二、填空题
13．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P＝40°，则∠ACB＝_____°．
14．在平面直角坐标系中，若点(m,2)与(3,n)关于原点对称,则m+n的值是___.
15．△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝90°，AC＝BC＝2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为S1（如图1）；在余下的Rt△ADE和Rt△BDF中，分别剪取一个尽可能大的正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2（如图2）；继续操作下去…；第2019次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是_____．
16．用一组a，b的值说明命题“若a2＞b2，则a＞b”是错误的，这组值可以是a=____，b=____．
17．某校有560名学生，为了解这些学生每天做作业所用的时间，调查人员在这所学校的全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把结果制成如图的统计图，根据这个统计图可以估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为_____名．
18．已知函数，自变量x的取值范围是________．
三、解答题
19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F．
求证：OE＝OF．
20．尺规作图：确定图中弧CD所在圆的圆心，已知：弧CD．求作：弧CD所在圆的圆心O．
21．如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝m
x
的图象在第一象
限的交点为C，CD⊥x轴于D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当x＞0时，比较kx+b与m
x
的大小．
22．某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为A）、音禾类（记为B）、球类（记为C）、其他类（记为D）．根据调査结果发现该班每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动．班主任根据调査情况把学生进行了归类，并制作了如下两幅统计图．请你结合图中所给信息解答下列同题：
（1）七年级（1）班学生总人数为______人，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为______度，请补全条形统计图；
（2）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名学生擅长绘画．班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率．
（3）如果全市有5万名初中生，那么全市初中生中，喜欢球类的学生有多少人？
23．已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAG＝∠DAF．
求证：BC＝DE．
24．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆；两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计，EF长度远大于车辆宽度），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4是否合理？请通过计算说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，
cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
25．如图，在“飞镖形”ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点．
（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；
（2）“飞镖形”ABCD 满足条件 时，四边形EFGH 是菱形．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．70
14．-5.
15．2018
1
2
16．3a =-， 1b =-
17．160
18．x≥-3
三、解答题
19．见解析.
【解析】
【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得OA ＝OC ，AB ∥CD ，又由∠AOE ＝∠COF ，易证得△OAE ≌△OCF ，则可得OE ＝OF ．
【详解】
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA ＝OC ，AB ∥CD ，
∴∠OAE ＝∠OCF ，
∵在△OAE 和△OCF 中，
AOE COF OA OC
OAE OCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OAE ≌△OCF （ASA ），
∴OE ＝OF ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
20．答案见解析.
【解析】
【分析】
在弧上取一点，绘制BC 和BD 的垂直平分线，交点即为圆心O 。

【详解】 解：如图在上取一点B ，连接BC ，BD ，作线段BC 的垂直平分线MN ，作线段BD 的垂直平分线EF ，直线MN 交直线EF 于点O ，点O 即为所求．
【点睛】
考查垂直平分线的绘制，考查圆心的找法，难度中等。

21．(1) 223y x =
-,12y x =;(2) 当0＜x ＜6时，kx+b ＜m x ,当x ＞6时，kx+b ＞m x 【解析】
【分析】
（1）根据点A 和点B 的坐标求出一次函数的解析式，再求出C 的坐标6，2）
，利用待定系数法求解即可求出解析式
（2）由C （6，2）分析图形可知，当0＜x ＜6时，kx+b ＜
m x ,当x ＞6时，kx+b ＞m x 【详解】
（1）S △AOB ＝
12
OA•OB＝3， ∴OA ＝2，
∴点A 的坐标是（0，﹣2），
∵B （3，0）
∴230b k b =-⎧⎨+=⎩
∴
2
3
2 k
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-⎩
∴y＝2
3
x﹣2．
当x＝6时，y＝2
3
×6﹣2＝2，∴C（6，2）
∴m＝2×6＝12．
∴y＝12
x
．
（2）由C（6，2），观察图象可知：
当0＜x＜6时，kx+b＜m
x
,当x＞6时，kx+b＞
m
x
．
【点睛】
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于求出C的坐标
22．（1）48人，105°，见解析；（2）2
3
；（3）18750.
【解析】
【分析】
（1）由条形统计图与扇形统计图可得七年级（1）班学生总人数为：12÷25%=48（人），继而可得扇形统
计图中D类所对应扇形的圆心角为为：360°×14
48
=105°；然后求得C类的人数，则可补全统计图；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案．
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【详解】
解：（1）七年级（1）班学生总人数为：12÷25%=48（人），扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为
360°×14
48
=105°，；
C类人数：48-4-12-14=18（人），如图：
故答案为：48，105；
（2）分别用A，B表示两名擅长书法的学生，用C，D表示两名擅长绘画的学生，画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的有8种情况，
∴抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率为：2
3
.
（3）全市初中生中，喜欢球类的学生有50000
18
48
=18750（人）．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．详见解析
【解析】
【分析】
根据等式的性质得出∠DAE＝∠BAC，利用SAS证明△DAE与△BAC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】
证明：∵∠BAG＝∠DAF，
∴∠BAG+∠CAE＝∠DAF+∠CAE，
即∠CAB＝∠EAD，
∵AB＝AD，AC＝AE，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴BC＝DE．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：AAS、SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
24．该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4合理．
【解析】
【分析】
过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG＝90°，∠EHA＝90°．先求出∠AEH＝53°，则∠EAH＝37°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH＝AE•sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．
【详解】
解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，。