2021惠州一模

2 -1 (
) 惠州市 2021 届高三第一次调研考试
数 学（理科）
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

1．已知 A = {1, 2, 4,8,16}， B = {y | y = log 2 x , x ∈ A }，则 A B = （ ）
A ．{1, 2}
B ．{2, 4,8}
C ．{1, 2, 4}
D ．{1, 2, 4,8}
2. 若复数 z 满足 z (1 - i ) =| 1 - i | +i ，则 z 的实部为（
）
A ．
B ． 2
⎧⎪3x -2
-1
( x < 2)
C.1 D ．
2
3.
函数 f (x ) = ⎨
⎪⎩log 3 (x ，若 f (a ) = 1 ，则 a 的值是（ ）
2 -1) x ≥ 2
A ．2
B ．1
C ．1 或 2
D ．1 或﹣2
π
4. 将函数 y
=
(sin x + cos x ) 图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左平移 2 个单位，
2
所得函数图象的解析式是（
）
A. y = cos x
2
B. y = sin( x +
3π
2 4
C. y = -sin(2x + π
4 D. y = sin(2x +
3π
4
5. 已知圆(x + 2)2
+ ( y - 2)2 = a 截直线 x + y + 2 = 0 所得弦长为 6，则实数 a 的值为（ ）
A ．8
B ．11
C ．14
D ．17 6. 执行如图的程序框图，则输出 S 的值为（
）
A ．2
B ． -3
C ． -
1 D ． 1
2
3
7．设 a > 0 ，b > 0 ，若为（ ）
是 4a
和2b
的等比中项，则 2 + 1 的最小值 a b
A ． 2
B ．8
C ．9
D ．10
2 2 +1
2 2 2
) )
)
8.某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为
（）
A．19 +πcm2B．22+4πcm2C．10 +6 + 4πcm2D．13 +6+ 4πcm2 9.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
广告费用x （万元）1245
销售额y （万元）10 26 35 49
根据上表可得回归方程 y =b ⋅x +a 的b 约等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（）。

A．54 万元B．55 万元C．56 万元D．57 万元
10.已知三棱锥S -ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，AB = 2 ，
SA =SB =SC = 2 ，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（）
A.
3
3 B．1 C．
D．
3 3
2
11.双曲线M : x2 y2
-=1(a > 0, b > 0) 实轴的两个顶点为A, B ，点P 为双曲线M 上除a2 b2
A、B 外的一个动点，若QA ⊥PA且QB ⊥PB ，则动点Q 的运动轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
12.已知f (x) 是定义在R 上的且以2 为周期的偶函数，当0 ≤x ≤1时，f (x) =x2 ．
如果函数g(x) =f (x) - (x +m) 有两个零点，则实数m 的值为（）
A.2k (k ∈Z )
B.2k或2k +1
(k ∈Z)
4
C．0 D．2k或2k -
1
(k ∈Z)
4
2 2
3
x
⎨ ⎩
n 3
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。

第
22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知| a |= 4 ， | b |= 2 ，且 a 与b 夹角为 120°，则(a + 2b ) ⋅ (a + b ) =
.
14.
已知( - a )5
的展开式中含 x 2 的项的系数为 30，则 a =
.
⎧ y ≥ x 15.
设 m > 1，变量 x , y 在约束条件⎪
y ≤ mx ⎪x + y ≤ 1
下，目标函数 z = x + my 的最大值为2 ，
则m =
.
16.
已知数列{a },{b } 满足 a = 1
, a + b = 1,b
= b n
(n ∈ N *
) ，则b =
.
n n 1 2 n n n +1 1- a 2
2017
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分 12 分）
在∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若3cos(B - C ) -1 = 6 cos B cos C ．
（Ⅰ）求cos A 的值；
（Ⅱ）若 a = 3， ∆ABC 的面积为 2
，求b , c 边长．
x 2
4 月23 日是世界读书日，惠州市某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动。

为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100 名学生对其课外阅读时间进行调查。

下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60 分钟的学生称为“读书迷”，低于60 分钟的学生称为“非读书迷”．（Ⅰ）根据已知条件完成下面2×2 列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？
非读书迷读书迷合计
男15
女45
合计
（Ⅱ）将频率视为概率，现在从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取1 人，共抽取3 次，记被抽取的3 人中“读书迷”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、数学期望E( X ) 和方差D( X ) ．
附：K 2=
n(ad -b c)2
(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)
, n =a +b +c +d
P(K 2 ≥k )
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k
2.706
3.841 5.024 6.635 10.828
如图，在四棱锥 P - ABCD 中，PC ⊥ 底面 ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形，AB ⊥ AD ，
AB / /CD ， AB = 2AD = 2CD = 2 ， E 是 PB 上的点．
（Ⅰ）求证：平面 EAC ⊥平面 PBC ；
（Ⅱ）若 E 是 PB 的中点，且二面角 P - AC - E
的余弦值为
6 ，求直线PA 与平面 EAC
3
所成角的正弦值．
20．（本小题满分 12 分）
已知点 A (-1, 0) ， B (1, 0) ，直线 AM 与直线 BM 相交于点 M ，直线 AM 与直线 BM 的
斜率分别记为 k AM 与k BM ，且 k AM ⋅ k BM （Ⅰ）求点 M 的轨迹C 的方程；
= -2 ．
（Ⅱ）过定点 F (0,1) 作直线 PQ 与曲线C 交于 P , Q 两点， ∆OPQ 的面积是否存在最大
值？若存在，求出∆OPQ 面积的最大值；若不存在，请说明理由．
1
21．（本小题满分12分）
已知函数f (x) = ln x -
a(x -1)
x
(a ∈R)．
（Ⅰ）求函数f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）求证：∀x ∈(1, 2) ，不等式-1
<
1
恒成立．
ln x x -1 2
请考生在第22、23、24 题中任选一题做答。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

22．（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】
如图，AB 是 O 的直径，弦CD 与AB 垂直，并与AB 相交于点E ，点F 为弦CD 上异于点E 的任意一点，连接BF 、AF 并延长交 O 于点M , N ．
（Ⅰ）求证：B, E, F , N 四点共圆；
（Ⅱ）求证：AC 2 +BF ⋅BM =AB2 ．
23．（本小题满分10分）【选修4-4：极坐标和参数方程】
在直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为α且经过点P(-1, 0) ．以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为ρ2 - 6ρcosθ+ 5 = 0 ．
（Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围；
（Ⅱ）设M (x, y) 为曲线C 上任意一点，求x +y 的取值范围．
24．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
设函数f ( x) =| ax -1 | ．
（Ⅰ）若f (x) ≤ 2 的解集为[-6, 2] ，求实数a 的值；
（Ⅱ）当a = 2 时，若存在x ∈R ，使得不等式f (2x +1) -f (x -1) ≤ 7 - 3m 成立，求实数m 的取值范围.
2 2 + i ( 2 + i )(1+ i ) 2 -1 2 +1 -2 + 2 + 2
2
2 3
惠州市 2017 届高三第一次调研考试
数 学（理科）参考答案与评分标准
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
A
A
A
B
A
C
C
D
A
C
D
1.C 【 解析】 由已知可得 B = {log 2 1, log 2 2, log 2 4, log 2 8, log 2 16} = {0,1, 2, 3, 4} ， 所以
A B = {1, 2, 4}，所以选 C.
2.【解析】由 z (1- i ) =|1- i | +i = + i ，得
z = = = + i ，
则 z 的实部为
2 -1 ，故选 A ． 2
1- i (1- i )(1+ i ) 2 2
考点：复数的代数运算
3．【解析】若 a < 2 ，则由 f (a ) = 1得， 3a -2 = 1，∴
a = 2 ．此时不成立．若a ≥ 2 ，则由 f (a ) = 1得， log (a 2 -1) = 1 ，∴ a = 2 ，故选 A ． 考点：函数的零点；函数的值．
4．【解析】将函数 y =
(sin x + cos x ) = sin(x + π ) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2
2 4
倍，可得函数 sin(
y =
个单位，所得函数图象的解析式为
sin(
考点：三角函数的图象变换．
5 ．【 解 析 】 圆 (x + 2)2
+ ( y - 2)2
= a ， 圆 心 (-2, 2)
， 半 径
． 故 弦 心 距
d =
= ．再由弦长公式可得a = 2 + 9 = 11 ；故选 B ．
考点：直线与圆的位置关系．
6．【解析】
k = 1, s = -3; k = 2, s = - 1 ; k = 3, s = 1
; k = 4, s = 2, 以 4 作为一个周期，所以 2
3
k = 2016, s = 2 ，故选 A
2 a y = 1 x + π ) 的图象；再向左平移 π 2 4 2
1 x + π ) = cos 1 x ，故选：A ．
2 2 2
a b a b 7．【解析】因为 4a + 2b = 2 ，所以 2a + b = 1 ， 2 + 1
= (2a + b )⎛ 2 +
1 ⎫ = 5 +
2 ⎛ b + a ⎫
≥ 9 a b
当且仅当 b = a 即 a = b = 1
时“=”成立，故选 C
⎪ ⎪
⎝ ⎭ ⎝ ⎭
a b 2
考点：基本不等式；等比数列的性质．
8．【解析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰为 2
的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 高 是 3 ， 其 底 面 积 为 ：
2 ⨯ 1 ⨯ 2 ⨯ 2 = 4 2
， 侧 面 积 为 ： 3⨯ 2 + 3⨯ 2 = 6 + 6
；圆柱的底面半径是 1，高是 3，其底面积为： 2 ⨯ 1 ⨯1⨯π= π， 2
侧面积为： 3⨯π= 3π；
∴组合体的表面积是 π+6 +4+6+3π=4π+10+6 故选 C ．
9．【解析】 x =
1+ 2 + 4 + 5
= 3, y = 10 + 26 + 35 + 49
= 30 ，中心点为(3, 30) ，
4 4
代入回归方程得30 = 27 + a ∴a = 3∴ y = 9x + 3∴ x = 6 时 y = 57 考点：回归方程
10 ．【 解析】 因为三棱锥 S - ABC SA = SB = SC = 2 ，
的底面是 以 AB 为斜边的 等腰直角三角形 ，
∴ S 在面 ABC 内的射影为 AB 中点 H ，∴ SH ⊥ 平面 ABC ，∴ SH 上任意一点到 A , B ,C 的
距离相等．
SH =
，CH = 1，在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO ，则O 为 S - ABC 的外接球球
心．
SC = 2 ，∴ SM = 1，∠OSM
= 30︒ ，∴ SO =
2 3 , OH =
3 ，即为O 到平面 ABC 的距
3
3
离，故选 A ．
考点：球内接多面体；点到面的距离的计算．
x 2
11.【解析】设 P (m , n ), Q (x , y ), 双曲线M :a 2
y 2 - = 1 ,实轴的两个顶点
b 2
A (-a , 0),
B (a , 0)
QA = (-x - a , - y ), PA = (-m - a , -n ) ∵ QA ⊥ PA ， ∴ (- x - a )(-m - a ) + ny = 0
， 可得
m + a = -
ny ,
x + a
2 2 2 2 3
2
- = ) ( )
同理根据 QB ⊥PB ，可得 m - a = -
ny
两式相乘可得 m 2 - 2 = n 2 y 2
P (m , n )
x - a a
x 2 - a 2
m 2
n 2
∵点
为双曲线 M 上除 A 、B 外的一个动点，∴ - = 1，
a 2
b 2
整理得n 2
= b 2 a
2 (m 2 - a 2
)
x 2 b 2 y 2
a 2 a
2 1 故选：C ． 12. 【解析】设-1 ≤ x ≤ 0 ，则 0 ≤ - x ≤ 1 ， f (-x ) = (-x )2
= x 2 = f (x )，
综上， f (x ) = x 2 ， x ∈[-1,1] ， f (x ) = ( x - 2k )2
， x ∈[2k -1, 2k + 1] ，
由于直线 y = x + a 的斜率为 1，在 y 轴上的截距等于 a ，在一个周期[-1,1] 上， a = 0 时 满足条件，a = - 1
时，在此周期上直线和曲线相切，并和曲线在下一个区间上图象有一个交点，
4
也满足条件．由于 f (x ) 的周期为 2，故在定义域内，满足条件的 a 应是
∈Z ．故选 D ．
2k + 0或2k - 1
，k 4
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分
2017
13. 12
14. -6
15.1 + 16.
2018
13 ．【 解 析 】 a = 4, b = 2
a ⋅
b = a ⋅ b ⋅ cos120︒
2 ， 且 a 与 b 夹 角 为 120︒ ， ∴ a
2
= 16, b = 4 ，
= 4 ⨯ 2 ⨯⎛ - 1 ⎫
= -4 ， (
- ⋅ + = a 2
- ⋅ - 2 = 12 ，故答案为12 ． 2 ⎪ a 2b a b a b 2b
⎝ ⎭
考点：1、平面向量模与夹角；2、平面向量的数量积．
14. 【解析】T = C r
( x )5-r
(-
)r
， 5 - r = 3 ,∴ r = 1 ， C 1 (-a ) = 30, a = -6 r +1 5 2 2 5
15. 【解析】作出可行域如图所示，当直线 z = x + my 经过点 B 时， z 有最大值，此时点 B 的
a x
2 2 2 n 坐标为
(
1 , m +1 m m +1 ) ， z = 1 m +1
+ m ⋅ m m +1 = 2 ，解之得 m = 1+ 或 m = 1- （舍去）， 所以 m = 1+ .
考点：线性规划.
16. ．【解析】∵ a + b
= 1 ， a = 1
， ∴ b = 1
， ∵ b
= b n
， ∴ b = 1
， ∴ n n 1 2 1
2 n +1 1- a 2 n +1 2 - b n
1 - 1
= -1 ，又∵ b = 1 ，∴ 1
= -2 ．∴数列⎧ 1 ⎫是以﹣2 为首项，﹣1 为 b -1 b -1 1
2
b -1 ⎨b -1⎬ n +1 n 1 ⎩ n ⎭
公差的等差数列，
∴
1
= -n -1，∴ b =
n
．则b
=
2017
．故答案为：
2017
．
b n -1
n
n +1 2017
2018 2018
考点：数列递推式．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分 12 分）
【解析】（Ⅰ）由3cos(B - C ) -1 = 6cos B cos C ，
得3(cos B cos C -sin B sin C ) = -1， .............. 2 分 即cos(B + C ) = - 1
， ............................................ 3 分
3
在∆ABC 内, cos A = - cos(B + C ) = 1
． .................................... 5 分
3
（Ⅱ）∵ 0 < A < π， cos A = 1 ，∴ sin A =
2 2
，
由 S ∆ABC = 2 3 ，得 1
bc sin A = 2 2
3
，即bc = 6 ． ........................ 6 分
2 2
C ( ) C ( )( ) C ( ) C ( ) 由余弦定理，得 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ， .............................7 分
∴ 9 = (b + c )2 - 2bc (1+ cos A ) = (b + c )2 -16 ，
∴ b + c = 5 ． ................................................................ 9 分
⎧b + c = 5 ⎧b = 2 ⎧b = 3 由⎨
bc = 6 ，得⎨c = 3 或⎨c = 2 ． ........................................... 12 分 ⎩
⎩ ⎩
考点：1、三角恒等变换；2 余弦定理、；3、正弦定理的应用．
18．（本小题满分 12 分）
【解析】（Ⅰ）2×2 列联表如下：
100 ⨯(40 ⨯ 25 -15 ⨯ 20) 2
易知 K 2
的观测值
k = ≈ 8.249 ................. 4 分 60 ⨯ 40 ⨯ 55⨯ 45
因为 8.249>6.635，所以有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关． .............. 5 分
（ Ⅱ） 由频率分布直方图可知从该校学生中任意抽取 1 名学生恰为“ 读书迷” 的概率为
2 , ............. 6 分
5
由题意可知
X B (3, 2
) , X 的所有可能取值为 0,1,2,3, ..................... 7 分 5
P ( X = 0) = 0
3 3
= 27 ,
P ( X = 1) = 1 2 3 2 = 54
,
3
5 125 3
5 5 125 P ( X = 2) = 2 2 2 3 = 36
,
P ( X = 3) = 3 2
3 = 8 ...........9 分
3
X 的分布列为
5 5 125
3
5 125
..................................................................10 分
E ( X ) = 3⨯ 2 = 6 ..........................................
11 分
5 5 D ( X ) = 3⨯ 2 ⨯ (1- 2 ) = 18 ..................................
12 分
5 5 25
⎩
19．（本小题满分 12 分）
【解析】（Ⅰ）证明： PC ⊥平面 ABCD ， AC ⊂ 平面 ABCD ，∴ AC ⊥ PC ， ....................... 1 分
AB = 2 ， AD = CD = 1，∴ AC = BC = ∴ AC 2 + BC 2 = AB 2 ，∴ AC ⊥ BC ...................................... 2 分 又 BC PC = C ， PC ⊂ 面 PBC ， BC ⊂ 面 PBC .................. 3 分 ∴ AC ⊥ 平面 PBC ， ................................................................ 4 分
∵ AC ⊂ 平面 EAC ，∴平面 EAC ⊥ 平面 PBC ............................. 5 分 （Ⅱ）以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则 C （0，0，0）， A （1，1，0）， B （1，－1，0）
设 P （0，0， a ）（ a > 0 ），则 E （ 1 ，
- 1 ， a
）， 2 2 2
CE = 1 1 a
CA = (1,1,0) ， CP = (0,0, a ) ，
取=（1，－1，0）
( ,- , 2 2 ) ， ...... 6 分 2
则m ⋅ CP = m ⋅ CA = 0 ，∴ m 为面 PAC 的法向量
设n = (x , y , z ) 为面 EAC 的法向量，则 n ⋅ CA = n ⋅ CE = 0 ，
⎧x + y = 0,
即⎨x - y + az = 0
，取 x = a ， y = -a ， z = -2 ，则 = (a ,-a ,-2) ， .............. 8 分
a
依题意， cos < m , >
= =
a 2 + 2 ，则
a = 2 3 ...............9 分
于是 n = (2,-2,-2) .................................... 10 分
2
m ⋅ n
m n
6
PA ⋅ n
PA n
2 2 k 2 +1
y
设直线 PA 与平面
EAC 所成角为θ，则sin θ= cos < PA , n > = = ，
3
即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 3
............................12 分
20．（本小题满分 12 分）
【解析】（Ⅰ）设 M ( x , y ) ，则 k MA =
y x +1
, k MB =
y
x -1
( x ≠ ±1) ，
所以
⨯ x +1 y x -1 = -2 所以 x 2 + y 2 = 1( x ≠ ±1) 2
（未写出范围扣一分） ........... 4 分
（Ⅱ）由已知当直线 PQ 的斜率存在，设直线 PQ 的方程是 y = kx +1， ...... 5 分
⎧ ⎪ 联立⎨ 2 + y 2
2 = 1 ，消去 y 得(k 2 + 2) x 2 + 2kx -1 = 0 ， ................... 6 分 ⎪
⎩ y = kx +1
因为∆ = (4k 2
) + 4 (
k 2
+ 2) = 8(
k 2
+1)
> 0 ，所以 k ∈ R ， ............. 7 分
设 P ( x , y ),Q ( x , y ) ， x + x = -
2k , x x = - 1
......................8 分
1
1
2
2
1
2
S
= 1
⨯ OF ⨯ x - x = ∆OPQ 2 1 2
1
≤
k 2 + 2 1 2
2
k 2 + 2
=
⨯
k 2
+ 1 k 2 + 2
........10 分 +
1 2 当且仅当 k = 0 时取等号，
∆OPQ 面积的最大值为 2 ． ...................................................... 12 分
2
考点：1、求曲线的方程；2、椭圆的方程；3、利用基本不等式求最值．
21．（本小题满分 12 分）
【解析】（Ⅰ） f (x ) 的定义域为(0, +∞)， f /
(x ) =
x - a x
2
....................3 分
①若 a ≤ 0, f / (x ) > 0 ， f (x ) 在(0, +∞) 上单调递增 ....................... 4 分
②若 a > 0 ，当 x ∈(0, a ) 时， f / (x ) < 0 ， f (x ) 在(0, a ) 单调递减．
当
x ∈(a , +∞) 时， f / (x ) > 0 ， f (x ) 在(a , +∞) 单调递增． ................. 6 分 2 1
2
( x 1 2 + x - 4 x ⋅ x ) 2
1 2 = 2 ⨯
k 2 +1 x
（Ⅱ） 1 <x < 2 ∴1
-
1
<
1
等价于(x +1) ln x - 2(x -1) > 0 ............... 7分
ln x x -1 2
令F (x) = (x +1) ln x - 2(x -1) ，则F / (x) = ln x +(x +1)
- 2 = ln x +
1
-1............. 9 分x x
由（Ⅰ）知，当a = 1 时f 分min
(x) =f (1) = 0 ，∴f (x) >f (1) ，即ln x +
1
-1 ≥ 0 (10)
x
所以F / (x) ≥ 0 ，则 F (x) 在(1, 2) 上单调递增，所以 F (x) >F (1) = 0 即
有1 <x < 2 时1
-
1
<
1 ..........................................................
12 分
ln x x -1 2
考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、最值及分类讨论、转化与化归的数学思想
22.（本小题满分10 分）
【解析】证明（Ⅰ）连接BN ，则AN ⊥BN ， ............. 2分
又CD ⊥AB, 则∠BEF =∠BNF = 90 ， ...... 4 分
即∠BEF +∠BNF =180 ，则B, E, F, N 四点共圆．.............. 5分
（Ⅱ）由直角三角形的射影定理可知AC 2 =AE ⋅AB, .................6 分
相似可知：BF
=
BE
，BF BM =BA BE =BA (BA -EA), BA BM
BF ⋅BM =AB 2 -AB ⋅AE ............................................ 8 分
∴BF ⋅B M =AB2-AC 2,即AC 2+BF ⋅BM =AB2....................... 10 分23.（本小题满分10 分）
⎩
⎩ 【解析】（Ⅰ）将 C 的极坐标方程ρ2 - 6ρcos θ+ 5 = 0 化为直角坐标为
x 2 + y 2 - 6x + 5 = 0 , ........ 1 分
⎧x = -1+ t cos α
直线l 的参数方程为⎨
y = t sin α (t 为参数）............................................................................2 分
将直线的参数方程代入曲线 C 的方程整理得t 2 - 8t cos α+12 = 0 ............... 3 分
直线与曲线有公共点，∴∆ = 64 cos 2α- 48 ≥ 0
得cos α≥
3 或cos α≤ - 3
2 2
π
⎡5π ⎫
α∈[0,π),∴α的取值范围为[0, 6 ] ⎢⎣ 6 ,π⎪ ...................................... 5 分
⎭
（Ⅱ）曲线 C 的方程 x 2 + y 2 - 6x + 5 = 0化为(x - 3)2 + y 2 = 4 ，
⎧x = 3 + 2 cos θ
其参数方程为⎨
y = 2 sin θ (θ为参数） ................................... 7 分
M (x , y ) 为曲线 C 上任意一点，
∴ x + y = 3 + 2 cos θ+ 2 sin θ= 3 + 2 2 sin ⎛θ+ π⎫
..........9 分
4 ⎪ ⎝ ⎭
x + y 的取值范围是[3 - 2 2, 3 + 2 2] ....................................... 10 分
24.（本小题满分 10 分）
【解析】（Ⅰ）显然 a ≠ 0 ， ........................................................... 1 分
当 a > 0 时，解集为
1 3
, ]， a a
3 1 - 1 = -6, 3 a a 1 3 = 2 ，无解； .......... 3 分 1
当 a < 0 时，解集为[ , - a a ]，令- = 2, a a = -6 ，
a = - ， 2 综上所述， a = - 1 .................................................. 5 分
2
（Ⅱ）当 a = 2 时，
[-
, ) ⎪ ⎝
⎧
-2x - 4, x ≤ - 1
4 ⎪ 1 3
令 h ( x ) = f (2x + 1) - f ( x -1) = 4x + 1 - 2x - 3
= ⎪6x - 2, - < x <
…………7 分
⎨
4 2 ⎪2x + 4, x ≥ 3
由此可知， h (x ) 在(-∞, - 1 ) 单调减，在(- 1 3
⎪⎩ 3 和( , 2
+∞) 单调增，
4 4 2
2
则当
x = - 1 时， h (x ) 取到最小值- 7 ， ................................ 8 分 4 2
由题意知， - 7 ≤ 7 - 3m ，则实数 m 的取值范围是⎛
-∞, 7 ⎤ ............ 10 分
2
2 ⎦⎥。