数字信号处理-标准答案-第二章

第二章
2.1 判断下列序列是否是周期序列。

若是，请确定它的最小周期。

（1）x(n)=Acos(6
85ππ+n ) （2）x(n)=)8(
π-n
e j
（3）x(n)=Asin(3
43ππ+n ) 解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。

因此
5
16
2=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=
)5(165
16
取k k =。

（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。

因此
πωπ
162=是无理数，所以不是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π3
43π
π-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。

因此3
8
2=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=
)3(83
8
取k k =
2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。

计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

(a)
1
11
1
(b)
(c)
11
1
11
0 0
-1-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
2
2
2
22
2 3
3
3
3
34
44
…
…
…n
n
n n
n
n
x(n)x(n)
x(n)
h(n)h(n)
h(n)2
1
u(n)
u(n)
u(n)a n ===2
2
解 利用线性卷积公式
y(n)=
∑∞
-∞
=-k k n h k x )()(
按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。

(a) y(0)=x(O)h(0)=1
y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3
y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)
h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)
y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)=
∑∞
-∞
=--k k
n k n u k u a
)()(=
∑∞
-∞
=-k k
n a
=a
a n --+111
u(n)
2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λ
n
u(n)*u(n)
解：(1) y(n)=
∑∞
-∞=-k k n u k u )()(
=
∑∞
=-0
)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0
即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞
-∞=-k k k n u k u )()(λ
=∑∞
=-0
)()(k k
k n u k u λ
=
λ
λ--+111
n ,n ≥0 即
y(n)=λ
λ--+111
n u(n)
2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n
u(n),|a|<1,求系统的输出y(n).
解 ω(n)=x(n)*h 1(n) =
∑∞
-∞
=k k u )([δ(n-k)-δ(n-k-4)]
=u(n)-u(n-4)
y(n)=ω(n)*h 2(n) =
∑∞
-∞=k k
k u a )([u(n-k)-u(n-k-4)]
=∑∞
-=3
n k k
a
,n ≥3
2.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a
n
-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求
系统的单位阶跃响应。

2.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。

证明（1）交换律
X(n) * y(n) = ∑∞
-∞
=-
k
k
n
y
k
x)
(
)
(
令k=n-t,所以t=n-k,又-∞<k<∞,所以-∞<t<∞,因此线性卷积公式变成
` x(n) * y(n) =∑∞
-∞
=
-
-
-
t
t
n
n
y
t
n
x)]
(
[
)
(
=∑∞
-∞
=-
t
t
y
t
n
x)(
)
(=y(n) * x(n)
交换律得证.
(2)结合律
[x(n) * y(n)] * z(n)
=[∑∞
-∞
=-
k
k
n
y
k
x)
(
)
(] * z(n)
=∑∞
-∞
=t [∑∞
-∞
=
-
k
k
t
y
k
x)
(
)
(]z(n-t)
=∑∞
-∞
=
k x(k) ∑∞
-∞
=t
y(t-k)z(n-t)
=∑∞
-∞
=
k x(k) ∑
m
y(m)z(n-k-m)
=∑∞
-∞
=
k
x(k)[y(n-k) * z(n-k)]
=x(n) * [y(n) * z(n)]
结合律得证.
(3)加法分配律
x(n) * [y(n) + z(n)]
= ∑∞
-∞
=
k
x(k)[y(n - k) +z(n - k)]
=∑∞
-∞
=
k x(k)y(n-k)+ ∑∞
-∞
=
k
x(k)z(n - k)
=x(n) * y(n) + x(n) *z(n)
加法分配律得证.
2.7 判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。

并加以证明
(1)y(n)= 2x(n)+3 (2)y(n)= x(n)sin[
32πn+6
π] (3)y(n)=
∑∞-∞
=k k x )( (4)y(n)= ∑=n
n k k x 0
)(
(5)y(n)= x(n)g(n)
解 （1）设y 1(n)=2x 1(n)+3,y 2(n)=2x 2(n)+3,由于 y(n)=2[x 1(n)+x 2(n)]+3 ≠y 1(n)+ y 2(n) =2[x 1(n)+x 2(n)]+6
故系统不是线性系统。

由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而
y(n-k) = T[x(n-k)]
故该系统是非移变系统。

故系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

（3）设 y 1(n)=
∑-∞
=n k k x )(1
，y 2(n)=∑-∞
=n
k k x )(2
，由于
y(n)=T[ax 1(n)+ bx 2(n)]=
∑-∞
=+n
k k k )](bx )(ax [2
1
=a
∑-∞
=n
k k x )(1
+ b ∑-∞
=n
k k x )(2
=ay 1(n)+by 2
(n)
故该系统是线性系统。

因 y(n-k)=
∑--∞
=t n k k x )(= ∑-∞
=-n
m t m x )(
=T[x(n-t)]
所以该系统是非移变系统。

设 x(n)=M<∞ y(n)=
∑-∞
=n
k M =∞，所以该系统是不稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

（4）设 y 1(n)=
∑=n
n k k x 0
1
)( ，y 2(n)=∑=n
n k k x 0
2
)(，由于
y(n)=T[ax 1(n)+ bx 2(n)]=
∑=+n
n k k k 0
2
1
)](bx )(ax [
= a
∑=n
n k k x 0
1
)(+b ∑=n
n k k x 0
2
)(=ay 1(n)+by 2
(n)
故该系统是线性系统。

因 y(n-k)=
∑-=t n n k k x 0
)(= ∑+=-n
t
n m t m x 0)(
≠T[x(n-t)]=
∑=-n
n k t m x 0
)(
所以该系统是移变系统。

设x(n)=M,则lim n →∞
y(n)= lim n →∞
(n-n 0)M=∞,所以该系统不是稳定系统。

显而易见，若n ≥n 0。

则该系统是因果系统；若n<n 0。

则该因果系统是非因果系统。

(5)设y 1(n)=x 1(n)g(n),y 2(n)=x 2(n)g(n),由于
y(n)=T[ax 1(n)+bx 2(n)]=(ax 1(n)+bx 2(n))g(n) =ax 1(n)g(n)+b 2(n)=ay 1(n)+by 2(n)
故系统是线性系统。

因y(n-k)=x(n-k),而
T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)≠y(n-k) 所以系统是移变系统。

设|x(n)|≤M<∞,则有
|y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)| 所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于本来的输入，故该系统是因果系统。

2.8 讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性 （1）h(n)=2n
u(-n) (4) h(n)=(12
)n
u(n) (2) h(n)=-a n u(-n-1) (5) h(n)=
1
n
u(n) (3) h(n)=δ(n+n 0), n 0≥0 (6) h(n)= 2n
R n u(n)
解 （1）因为在n<0时，h(n)= 2n
≠0,故该系统不是因果系统。

因为S=
n ∞
=-∞
∑
|h(n)|=
n ∞
=∑
|2n
|=1<∞，故该系统是稳定系统。

(2) 因为在n<O 时，h(n) ≠0，故该系统不是因果系统。

因为S=
n ∞
=-∞
∑|h(n)|=
1
n -=-∞
∑| a n
|=
n ∞
=∞
∑
a
n
-，故该系统只有在|a|>1时才是稳定系统。

(3) 因为在n<O 时，h(n) ≠0，故该系统不是因果系统。

因为S=
n ∞
=-∞∑|h(n)|=
n ∞
=-∞
∑
|δ(n+n 0)|=1<∞，故该系统是稳定系统。

(4) 因为在n<O 时，h(n)=0，故该系统是因果系统 。

因为S=
n ∞=-∞
∑
|h(n)|=
n ∞=∑
|(
12
)n
|<∞，故该系统是稳定系统。

(5) 因为在n<O 时，h(n)=
1
n
u(n)=0，故该系统是因果系统 。

因为S=
n ∞
=-∞
∑
|h(n)|=
n ∞
=-∞
∑
|1n u(n)|= 0
n ∞
=∑1n =∞，故该系统不是稳定系统。

(6) 因为在n<O 时，h(n)=0，故该系统是因果系统 。

因为S=n ∞
=-∞
∑
|h(n)|=
1
N n -=∑
|2n |=2N
-1<∞，故该系统是稳定系统。

2.9 已知y(n)-2cos βy(n-1)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=1,求证y(n)=sin()
sin n ββ
证明 题给齐次差分方程的特征方程为
α2-2cos β·α+1=0
由特征方程求得特征根
α1=cos β+jsin β=e j β,α2=cos β-jsin β= e j β-
齐次差分方程的通解为
y(n)=c 1α
1
n
+c 2
α
2
n
=c 1e
j n
β+c 2e
j n
β-
代入初始条件得 y(0)=c 1+c 2=0
y(1)= c 1e
j n
β+c 2e
j n
β-=1
由上两式得到
c 1=
1j n j n
e e ββ--=12sin β，c 2=- c 1=-1
2sin β
将c 1和c 2代入通解公式，最后得到
y(n) =c 1e
j n
β+c 2e
j n
β-=
12sin β( e j n β+ e j n
β-)=sin()sin n ββ
2.10 已知y(n)+2αy(n-1)+β(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n) 解 首先由初始条件求出方程中得系数a 和b 由
(2)2(1)(0)660
(3)2(2)(1)361230y ay by a y ay by a b ++=+=⎧⎨
++=++=⎩
可求出 a=-1,b=-8
于是原方程为
y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0 由特征方程α2
－2α－8＝0求得特征根
α1＝4 ，α2＝-2
齐次差分方程得通解为
y(n)=c 1α
1
n
+c 2
α
2
n
= c 14n +c 2(-2n
)
代入初始条件得
y(n)= c 1α1+c 2
α2= 4α1+2α2=3
由上二式得到
c 1＝
12，c 2＝－12
将c 1和c 2代入通解公式，最后得到
y(n)=c 1α
1
n
+c 2
α
2
n
＝
12
[4n -(-2) n
]
2.11 用特征根法和递推法求解下列差分方程： y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0,且y(0)=1,y(1)=1
解 由特征方程α
2
－α－1＝0求得特征根
α1
＝
12
+，α2
＝12通解为y(n)=c 1α1
n
+c 2
α
2
n
＝c 1
）n
＋c 2
n
代入初始条件得
12121
11(
(122
c c c c +=⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 求出
c 1
，c 2
最后得到通解
y(n)= c 1
(
)n + c 2
)n
)1n +
1
n +]
2.12 一系统的框图如图P2.12所示，试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃响应
解 由图可知
ß
y(n)=x(n)+ βy(n-1)
为求单位取样响应，令x(n)=δ(n),于是有
h(n)= δ(n)+ βh(n-1)
由此得到
h(n)=
()1n D
δβ-=βn
u(n)
阶跃响应为
y(n)=h(n)*u(n)=
n
k =∑
βk y(k)u(n-k)
=111n ββ
+--u(n)
2.13 设序列x(n)的傅立叶变换为X(e
jw
),求下列各序列的傅立叶变换
解 （1）F[ax 1(n)+bx 2(n)]=aX 1(e jw
)+bX 2(e
jw
)
(2)F[x(n-k)]=e jwk
-X(e
jw
) (3)F[e
0jw n
x(n)]=X[e
0()
j w w -]
(4)F[x(-n)]=X(e
jw
-) (5)F[x *
(n)]=X *
(e
jw
-) (6)F[x *
(-n)]= X *
(e jw
)
(7)
(8)jIm[x(n)]=12
[X(e jw )-X *(e jw -)] (9)
12π
X(e j θ)*X(e jw
) (10)j ()jw dx e dw
2.14 设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述
y(n)-12y(n-1)=x(n)+ 1
2
x(n-1) (1) 求该系统的单位取样响应h(n) (2) 用（1）得到的结果求输入为x(n)＝e jwn
时系统的响应
(3) 求系统的频率响应 (4) 求系统对输入x(n)=cos(2πn+4
π
)的响应
解 （1）令X （n ）=δ(n),得到
h(n)-h(n-1)/2=δ(n)+ δ(n-1)/2
由于是因果的线性非移变系统，故由上式得出 h(n)=h(n-1)/2+δ(n)+ δ(n-1)/2 ,n ≥0 递推计算出
h(-1)=0
h(0)=h(-1)/2+δ(0)=1 h(1)=h(0)/2+1/2=1
h(2)=h(1)/2=1/2 h(3)=21h(2)=(2
1)2 h(4)= 21h(2)=(2
1)3 ．
．
．
h(n)=δ(n)+ (2
1)n-1u(n-1) 或 h(n)= (2
1)n [u(n)-u(n-1)]
也可将差分方程用单位延迟算子表示成
(1-D)h(n)=(1+D)δ(n)
由此得到
h(n)=[(1+2
1D)/(1-2
1D)]δ(n) =[1+D+2
1D 2+ (2
1)2 D 3+…+(2
1)k-1 D 3+…] δ(n) =δ(n)+ δ(n-1)+ 2
1δ(n-2)+2
1δ(n-3)+... +(2
1)k-1δ(n-1)+… =δ(n)+ (2
1)n u(n-1)
2）将jwn e n X =)(代入)(*)()(n h n x n y =得到
[
]
()
jw
jw
jwn
jw
n jw jwn
n
n jwn
jwn e e e e e e D D D D e D D n D D
e n y ------+=-+
=⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∙∙∙∙+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=-+
=
-+
=2
1121121121212112
11211)(2
11211*)(11
322δ
（3）由（2）得出
()
jw jw
jw e e e H ---+=
2
11211
（4）由（3）可知
12
112112121
2=-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--w
j w j w
j e e e H ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21arctan 2211arctan 211arctan arg 222π
πj j w j e e e H 故：()()()[]
⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡++=21arctan 242cos arg 42cos ππππn e H n e H n y jw jw
2.15 某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述
y(n)-ay(n-1)=x(n)-bx(n-1)
试确定能使系统成为全通系统的b 值（b ≠a ），所谓全通系统是指其频率响应的模为与频率ω无关的常数的系统。

解：令
x(n)= (n),则
h(n)=ah(n-1)=(n)-b8(n-1) 或
h(n)=ah(n-1)+
(n)- (n-1),n ≥0
由于是线性的非移变系统，故对上式递推计算得出： h(-1)=0 h(0)=1
h(1)=ah(0)-b (0)=a-b
h(2)=ah(1)=-ab
h(3)=ah(2)=
- b
h(n)=ah(n-1)=
-b,n ≥0
h(n)=
u(n)-bu(n-1)
或系统的频率特性为
H(
)=
=
=
= 振幅的特性平方
=
=
=
=
若选取a ＝*1b 或b ＝*1a ，则有|H(e jw )|2=|b|2
,即幅度响应等于与频率响应无关的常数，故该
系统为全通系统。

2.16 (1)一个线性非移变系统的单位冲激响应为h(n)=a n
u(n),其中a 为实数，且0<a<1。

设输入为x(n)=
β n u(n), β为实数，且0<β<1.试利用线性卷积计算系统的输出y(n),并将结果写成下列形式
y(n)=(k 1a n
+k 2β
n
)u(n)
(2)分别计算x(n)、h(n)和（1）中求得的y(n)的傅立叶变换X(e
jw
)、H(e
jw
)、Y(e
jw
)，并证明
Y(e
jw
)=H(e
jw
)X(e
jw
)
解 (1)y(n)=
∑∞
-∞=-k k n x k h )()(
=∑∞
-∞
=--k k
k n u k u a )()(1
β
=∑∞
-∞
=--k k
a )(11
ββ=1
1111]
)(1[-+----αβαββn =-1111+---n ααββ+1
1
11----βαβ
β，n ≥0 y(n)=( n αβα-1-n ββ
β
-1)u(n)
(2)X(iw
e )=ωγβi n e -∞
=∑0
=-ω
βj e --11
H(e
ω
j )=ωγαi n e -∞
=∑0=
ω
αj e --11
Y(e
ω
j )=∑∞
=---
-0
)(
n j n n e ωββ
αβαβ
αα
=
βα-1(ωααj e --1-n
j e
ββαβω
--) 由于
βα-1(ωααj e --1-ω
ββj e --1) =
)
1)(1(1ωωβαj j e e ----=X(e ωj )H(e ω
j )
故得出 Y(e jw )=H(e jw )X(e jw )
2.17 令x(n)和X(e
jw
)分别表示一个序号及其傅立叶变换，证明：
*
*1
()()()()2n
jw jw n
n x n x n X e X e dx π+∞
-=-∞
=∑⎰
此式是帕塞瓦尔（Parseval ）定理的一种形式。

证明：证法一
⎰⎰∑⎰∑⎰∑∑∑⎰⎰⎰∑∑⎰∑
∑⎰∑
∑∑-
-
∞
-∞
=--∞
-∞=-
-∞
-∞=∞
-∞
=∞
-∞
=-----
-
-∞
-∞
=∞
-∞
=-
∞
-∞
=∞
-∞
=--∞
-∞
=-∞
=-∞
=-=
=
===⎪
⎩
⎪⎨⎧≠=--==--=-=
=
=
==π
π
π
π
π
π
π
π
πππ
π
π
π
π
π
π
π
π
ππππ
ππππ
ππ
dw
e X e X dw
e
n x e
X dw e e X n x dw e e X n x n x n x n x n x dw e X e X m n m n e e m n dw m n ejw dw
e n x m x dw
e n x e
m x dw
e X e X e n x e
N x e X e
n x e X jw jw n jwn
jw
jwn jw n jwn jw n n n jw
jw m n jw m n jw m n jw n m m n jw jwn
jw jw n jwn
n jwn
jw
n jwn
jwn )(*)(21)()
(*21
])(*21
[
)(]
)(21
[
)()
(*)()
(*)()(*)(21,....0,....
2)(21)
(*)
(])(*][)([
21
)(*)(21)(**))(*(
)(*)()()
()
()(证法二：
其中
2.18 当需要对带限模拟信号滤波时，经常采用数字滤波器，如图P2.18所示，图中T 表示取样周期，假设T 很小，足以防止混叠失真，把从x α(t)到y α(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。

（1）如果数字滤波器h （n ）的截止频率ω等于8πrad ，1
T
＝10kHz ，求整个系统的截止频率ac f ，并求出理想低通滤波器的截止频率c f （2）对
1
T
＝20kHz ，重复（1）的计算
解 理想低通滤波器的截止频率T
π
（弧度/秒）折合成数字域频率为π（弧度），它比数字滤波器h （n ）的截止频率8π（弧度）要大，故整个系统的截止频率由数字滤波器h(n)的截止频率8
π
（弧度）来决定。

将
其换算成实际频率，即将s f ＝
1T ＝10000Hz 带入28
ac s f f ππ
=，便得到 ac f ＝625 Hz
理想低通滤波器的截止频率
T π（弧度/秒）换算成实际频率使得到c f ，即由T
π
＝2πc f ，得到 ac f ＝12T =100002
=500 Hz
2.19 求下列序列的Z 变换和收敛域 （1）δ（n －m ） （2）1()()2
n
u n （3）a n
u(-n-1)
（4）1()[()(10)]2
n
u n u n -- （5）cos(0n ω)u(n)
解：（1）X(z)＝∑∞
z m n )(-δn =z -nm
当m>0时，x(n)是因果序列，收敛域为0<｜z ｜≤∞，无零点，极点为0(m 阶); 当m<0时，x(n)是逆因果序列，收敛域为0≤｜z ｜≤∞，零点为0(m 阶)，无极点; 当m=0, X(z)＝1，收敛域为0≤｜z ｜≤∞，既无零点，也无极点 （2）X(z)＝∑
∞
∞
=-n n
⎪⎭⎫ ⎝⎛21u(n)z -n
=∑∞
=0
n n
z ⎪⎭⎫
⎝⎛-121=1
2
111--z X(n)是右边序列，它的Z 变换的收敛域是半径为R -x 的圆的外部区域，这里 R -x ＝lim
∞
→n )
()
1(n x n x +＝21 τ（n ）还是因果序列，可以有｜z ｜＝∞，故收敛域为
2
1
<｜z ｜≤∞。

零点为0，极点
为
2
1。

X(n)还是因果序列，可以有｜z ｜＝∞，故收敛域为21<｜z ｜≤∞。

零点为0，极点为2
1。

（3）x(z)=
n
n n
z
u u a
-∞
∞
=--∑)1(=
n
n az
)(1
1∑-∞
-=-
=n
n z a )(11
∑
-∞
-=-=n
n az )(1
1∑
∞
=-=z a z a 1
11---=111---az X(n)是左边序列，它的Z 变换的收敛域是半径围x R +的圆的内部区域，这里
x R +=
|))
1(()
(|lim
+--∞
→n x n x n =||
)
1(l i m
+--∞
→n n n a
a =||a
)(n x 还是逆因果序列，可以有0||=z ，故收敛域为||||0a z ≤≤零点为0，极点为a 。

(4)X(z)＝
∑
∞
∞=-n n
⎪⎭
⎫ ⎝⎛21[]10)-u(n -u(n)z -n =∑
=9
n n
⎪⎭
⎫ ⎝⎛21 z -n =1
10
)2(1)
2(1----z z X(n)是有限长序列，且它的Z 变换只有负幂项，故收敛域为0<｜z ｜≤∞.零点为0和2
1
（10
阶），极点为2
1。

（5）z z e e z n u n w z X n n
jw n jw n
n ∑∑∞
∞
=--∞
-∞
=+==
00)()cos()(0
＝n jw n z e )(21100-∞
=∑＋)(2
11
00--∞=∑z e
jw n
＝
)1111(211100----+-z
e z e jw jw ＝2
010
1cos 21cos 1---+--z w z w z
)(n x 是右边序列，它的Z 变换的收敛域是半径为-x R 的圆的外部区域，这里
-x R ＝
|)()
1(|lim
n x n x n +→∞
＝|)cos()]1(cos[|
00lim n w n w n +→∞
＝1 )(n x 还是因果序列，可以有∞=||z ，故收敛域为∞≤≤||1z ，零点为0和0cos w ，
极点为0
jw e
和
jw e
-。

2.20求下列序列的Z 变换和收敛域和零极点分布图 (1) x(n)=a ||
n ,0<a<1 (2) x(n)=e
0()a jw n +u(n)
(3) x(n)=Ar n
cos(0ωϕ+)u(n),0<r<1 (4) x(n)=
1
!
n u(n) (5) x(n)=sin(0ωϕ+)u(n)
（1）X(z)=
n
n n a z ∞
-=-∞
∑
=
1
n n
n n
n n a
z
a z
-∞
---=-∞
=+∑∑
=
11
111n n
n n
n n ax a z a z
ax ax ∞
∞--=-=+=+
--∑∑
=
2(1)
(1)()z a az z a ---
X(n)是双边序列，可看成是由一个因果序列（收敛域a z <≤∞）和一个因果序列（收敛域1
0z a
≤<
）相加组成，故X(z)的收敛域是这两个收敛域的重叠部分，即圆环区域1
a z a
<<。

零点为0和∞，极点为a 和
1a。

(2) 0()
()()()j j n n
n n X z e
u n z e z ϕθωϕωϕ
∞
∞
++=-∞
==
=∑∑
=
11
1j e
z ϕ
θω+--
X(n)是右边序列，它的Z 变换的收敛域是半径为x R -的圆的外部区域，这里
(1)
lim ()
x x x n R e x n θ-→∞+==
X(n)还是右边序列，可以有
z =∞，故收敛域为e z θ<≤∞。

零点为0,极点为0
j e
θω+。

（3）
()()
11001
1()()11()cos()()()()2
2112121()21(o o o o o o o o o o n n
o n j n j n n n
n j j j j n
n
n n j j j j j j j j j j X z Ar n u n z e e Ar z n Ae Ae re z re z Ae Ae re z re z e re re z e A rz e e ωϕωϕϕ
ϕωωϕϕωωωϕωϕϕϕ
ωωωϕ∞
-=-∞
+-+∞
-=-∞
∞
---==-----------=++=
=
+=+---++=-+∑
∑
∑∑221122
)cos cos()12cos o o r z rz A rz r z ϕωϕω----⎡⎤
⎢⎥+⎦
⎣⎡--⎤
=⎢⎥-+⎦
⎣
X(n)是右边序列，它的Z 变换的收敛域是半径为3R －的圆的
外部区域，这里
100cos[(1)](1)
lim lim
()cos()
n n r X n n r A n x n R z x n A ωϕωϕ+→∞→∞+++-===+
()x n 还是因果序列，可以有 z =∞ ，故收敛域为 r z <≤∞ 。

零点为0和 0cos()cos r ωϕϕ
- ，极点为 0j re ω 和
j re ω-
（4）
1()()!!
0n Z n X z u n Z n n n n -∞∞-∑==∑
=-∞=
1
23111
1......
2!3!!n Z
Z Z Z n ----=++++++
1x
e
=
X(n)是右边序列，它的Z 变换的收敛域是半径为
R
x
-
的圆的外部区域，这里
(1)1
lim lim 0()
1X n n x n R x n n →∞→∞+-===+
X(n)还是因果序列，可以有 Z =∞
，故收敛域为
0Z <≤∞
，无零点，极点为0。

(5)
X(z)= 0
sin()()n
n w n u n z
ϕ∞
-=-∞
+∑
1
00
sin()n w n z
ϕ∞
-==+∑
00()
()
2j w n j w n n
n e
e z
j
ϕϕ+-+∞
-=-=∑
110()()22j j j n j n n e e
e z e z j j
ϕϕ
ϕϕ∞---==-∑
0000()()1
12
()()121()j w j w j j jw jw e e e e z j e e z z ϕϕϕϕ---------+-=-++
()1
010sin sin 12cos i
w z w z z φφ---+-=
-+ ()x n 是右边序列,它的Z 变换收敛域是半径为0R 的圆的外部象区域,这里
()()()()
000sin 11lim lim
1sin x x n w n x n R x n w φφ→∞→∞+++⎡⎤+⎣⎦===
()x n 还是因果序列,大故收敛域为1z <<∞.零点为0和
()
0sin sin w φφ
-.极点为 00cos jsin w w +和00cos jsin w w -.
2.21 用三种方法求下列Z 变化的逆变换
（1）X(Z)=
1
1
112z -+,|Z|<12 （2）X(Z)=1
12
11231148
z z z ----++, |Z|>12
（3）X(Z)=111az z a
----,|Z|>|a 1
-|
解（1）采用幂级数法。

由收敛域课确定x 1（n ）是左边序列。

又因为1lim ()x X z →∞
＝1为有限值，所以x 1（n ）
是逆因果序列。

用长除法将X 1（z ）展开成正幂级数，即
11
234511
11
1()12
2481621...(1)2 (1)
2(2)n n n n n
n
n n
n n X z z z z z z z z z z --∞
∞
--===+=-+-+++-+=-=--∑∑ 最后得到
x 1（n ）＝-2（-2）
n
-，n ＝-1，-2，-3……
或 x 1（n ）＝1()(1)2
n
u n ----
（2）采用部分分式展开法。

将X 2(z)展开陈部分分式
112121112
11
111122()31111(1)(1)
4824
111124
z z X Z z z z z A A z z ---------
-==+++++=+
++ 其中
1
112
1
214
11241
11
411231
11
2Z Z Z A Z Z A Z -=-
-=-
-
==+--
==-+- 由收敛域可确定X 2(n)式右边序列。

又因2lim ()x X z →∞
＝1，所以X 2(n)还是因果序列。

用长除法分别将
1143
111124
z z ---+
++展开成负幂级数，即 1
4
112
z -+＝4[12311111...()...2482n n z z z z -----+-+++] =
1()2n n n a z ∞
-=-∑ 1
3
114
z --+=-3[12311111...()...48164n n z z z z -----+-
+++] =0
1
3()4n
n n z ∞
-=--∑
由上两式得到
211
()[4()3()]()24
n n x n u n =---
（3）采用留数定理法。

围线积分的被积函数为
11111
311
(1)(1)()n n n az z a z z x n z
z a z a
---------==-- 当n>0时，由给定的收敛域可知，被积函数在围线之内仅有一个极点1
z a
=
，因此
1111
33211
()Re [(),](1)(1),0
n n z a n x n s x z z a z z a a a n ---=--==-=-> 当n=0时，被积函数在围线之内有两个极点1
z a =
和z ＝0，因此 1133311
1
11
211
Re [(),]Re [(),0]
1(1)(1),0
n n z a
z x s X z z s X z z a
a z a z z
z a a a a a n ------==--=+-=-+
-=--=-=
当n<0时，因为13()n x z z -在围线之外无极点，且13()n x z z -在z ＝∞处有1－n ≥2阶极点，所以有3()x n ＝0，n<0 最后解得
211
3
21
13(1),0n ,00,0
n (1)u(1)()n n a a n x a n n x a a
n a n δ------⎧->⎪=-=⎨⎪<⎩
---（）故（）＝
2.22 求下列Z 变换的逆变换 (1)X （z ）=
111
(1)(12)
z z ----，1<|z|<2
(2)X(z)=
1
5
(10.5)(10.5)
z z z ----,0.5<|z|<2 (3)X(z)=112
(1)
T T e z e z -----,|z|>T
e - (4)X(z)=
(2)
()()
z z a b z a z b ----,|a|<|z|<|b|
解 （4）
采用部分分式法
12
411()112A A X z z z --=
+--
121112
11
1,2121||t t A A z z
--====-==--
根据收敛域1||2,
z <<111z --和1
2
12z ---分别对应一个因果序列和逆因果序列。

将它们分别展开成z 的负
幂级数和正幂级数，即
1
6
11n
n z z ∞
--=-=--∑ (1)11
11
22212n n
n n n n z z z ∞-∞
--+--==--==-∑∑ 最后得到
14(4)()2(1)n X u n u n +=----
用留数定理法,被积函数
()()()()()()()
11
51550.510.510.510.5n n z z z z z X z
z z z -----==
----
根据收敛域0.52z <<可知,对应的是一个双边序列.其中
0.5z <对应于一个因果序列 , 即n<0时,()0;0x n n =≥时,被积函数有1个极点0.5在围线内,
故得
()()1
5Res X z n x n z
-⎡⎤= , 0.5⎣⎦
0.5(5)16(),0(10.5)2
n n z z z n z =-==-≥-
|z|<2对应于一个逆因果序列，即n ≥0时，x(n)=0;n<0时，被积函数在围线外有1个极点2，且
分母多项式的阶比分子多项式的阶高2－（n ＋1）＝1-n ≥2，故得
()()1
55Res X ,2n x n z z -⎡⎤=-⎣⎦
()12
52,00.5
n n n z z n z +--==- <-
最后得到
()5116,0
22,0n
n n x n n =+⎧⎛⎫- ≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭
⎪- <⎩
或 ()()()116212n
n n x n u n u n -⎛⎫
=---- ⎪⎝⎭
采用留数定理法，被积函数
()()()
z
T n
l z
l T
z
n T n c z z c z
c
z c z
z X -------=
-=
11
根据收敛域T c z ->||可以知道，对应的序列是一个因果序列。

即n<0时， 在()0=n x 时，在0≥n 时，被积函数在积分围线内有1个2阶极点T
c
z -= ，因此
()()[
]
,,1
1≥====-=--=-----n nc nz c z c dz
d c z z X Rcs n x Tn
e l n T e z n
T T n l l T
T
最后得到
⎩⎨
⎧<≥=-0
,00
,n n nc x Tn l 或()()n u nc x Tn n l -=
（7）
由收敛域可知，对应的是一个双边序列。

将()X n 进行部分分式分解，即
1
111(2)2()()()()(1)(1)
z z a b a b z X z z a z b az bz ------+==
---- =
12
11
11A A az bz
--+-- 其中 1
1
1712()(1)()11||t a t a a b z A az X z bz
---==-+=-==- 1
1
271
2()(1)()11||t b t b a b z A bz X z az ---==-+=-==- 对于
111az --，收敛条件|Z| a >表明它对应于一个右边序列；又因1
01
1lim t az
-→-=1有限值，
所以
111az --应于一个逆因果序列1()x n 。

用长除法将1
11az
--展开成z 的正幂级数，即 11
1
1
111n n n az az az a z az
∞
-----==++++
=--∑
由此得到
1()()n
x n a u n = 对于11
1bz --，收敛条件|Z|<b 表明它对应于一个左边序列又因1
011lim t bz
-→-=0为有限值,所
以111bz --对应于一个逆因果序列2
()x n 。

用长除法将111bz --展开成z 的正幂级数，即 1221
1
1
11n n
n n n n n n b z b z b z b z b z bz
∞∞
------===-----
=-=--∑∑
由此得到
2()x n =(1)n
b u u ---
最后得到
7
()()(1)n
n
x n a u n b u u =---
2.23 求X （Z ）＝1z
z
e e +，0<|z|<∞,的逆变换 解 将1z
z
e e 和展开成幂级数
200
01
21
001
1......2!!!111()!||!1
1......2!!!
111!||!
,n z
n
n n n
n n n n
z n n n n
n n z z e z z n n z z n n z z e z z n n z z z
n n n δ∞
=--=-∞=-∞--∞
--=∞∞
---∞==-∞=+++++===+-=+++++=+=+-∞<<∞
∑∑∑∑∑∑∑-1
n=-由以上两式得出
1X(z)=1+n!最后得
1
x(n)=(n)+|n|!
2.24 试确定X(z)=z *
是否代表某个序列得Z 变换，请说明理由
解 不能，因为，如果X （z ）能代表某个序列得Z 变换，则X （z ）必须在收敛域内试解析函数。

但是，现在x （z ）＝u （x ，y ）＋jv （x ，y ）＝z *
＝x －jy ，显然有
11u v x y
∂∂=≠=-∂∂，即X （z ）不满足柯西－黎曼！方程，因此X （z ）不是解析函数，故X （z ）不能代表某个序列得Z 变换。

2.25 如果X （z ）是x(n)得Z 变换，证明： （1）z
m
-X(z)是x(n-m)的Z 变换
（2）X(a 1
-z)是a n
x(n)的Z 变换
（3）()
dX x z
dz
-是nx(n)的Z 变换
()
11
()()()()
(2)()()()()(3)()()()
n
n m m
n
m n n n n
n x n m z
x n z
z
x n z
z X z a x n z x n a z X a z d d
nx n z
z x n z z X z dz dz
∞
∞
--+∞
∞
∞
---∞∞
∞
----∞∞
∞
∞--∞
∞-=
===
==-=-∑∑∑∑∑∑∑n=-n=-n=-n=-n=-n=-n=-解 (1)
2.26证明
(1)
*
****()[()()]()n
n n n x n z
x n z X z ∞
∞
--=-∞=-∞==∑∑
(2)11()()()
()n
n
n n x n z
x n z
X z ∞
∞
----=-∞
=-∞
-=
=∑∑
(3)
****111Re[()][()()][()()][()()]222n
n n
n n n n n x n z
x n x n z x n z x n z X z X z ∞
∞
∞∞
----=-∞
=-∞=-∞=-∞
=+=+=+∑∑∑∑(4
)
****111Im[()][()()][()()][()()]
222n
n n
n n n n n x n z
x n x n z x n z x n z X z X z j j j ∞
∞
∞∞
----=-∞
=-∞=-∞=-∞
=-=-=-∑∑∑∑
2.27解1
1
(),||11X z z z -=
>-
1
1
(),||1Y z z a az -=>-
12121111
1
()()()()()(1)(1)11A A W z X z Y z W z W z z az z az
----==
=+=+---- 其中11
111|11z A az a =-=
=-- 211
11|111z a a
A z a a
=---===--- 由于x(n)和y(n)都是因果序列，故w(n)亦是因果序列，因果序列，因而W(z)的收敛域为|z|>1。

这样，1()W z 的收敛域应为|z|>1，而2()W z 的收敛域为|z|>a 。

这意味着1()W z 和2()W z 都对应于因果序列，因此可用长除法分别将1()W z 和2()W z 展开成z 的负幂级数，即
12
111()(1)11n n W z z z z a a ∞---=-∞
=++++=--∑……
12220
()(1)11n n
n n n a a W z az a z a z a z a a ∞----=--=+++++=--∑…… 由上二式得到
11()()1n u n a ω=
-，2()()1n
a n a u n a
ω-=- 最后得到
1
121()()()()1n a n n n u n a
ωωω+-=+=-
2.29(1)因为系统是因果的，所以收敛域为||||a z <≤∞；为使系统稳定，必须要求收敛域包含单位圆，即要
求||1a <。

极点为z a =，零点为1
z a -=，收敛域||||a z <≤∞。

极－零点图和收敛域示于图1.7。

(2)11()1j j j a e H e ae ω
ω
ω
----=-
1111212
*22122
2
2211111()
|()|()()()()11111()
12cos (12cos )1cos 1cos j j j j j j j j j j j j j a e a e a e a e a a e e H e ae ae ae ae a a e e a a a a a a
a a a a ωωωωωωω
ωωωω
ωωωωωω
---------
-------------+-+===----+-++-+-=
==+-+-因此
得到1
|()|j H e a ω
-=，即系统的幅度特性为一常数，所以该系统是一个全通系统。

2.30(1)根据极－零点图得到x(n)的Z 变换
1
()1
()(2)(3)
3
z X z z z z +=
---
因傅里叶变换收敛，所以单位圆在收敛域内，因而收敛域为
1
||23
z <<。

故x(n)是双边序列。

(2)因为x(n)是双边序列，所以它的Z 变换的收敛域是一个圆环。

根据极点分布情况，收敛域有两种可
能：
1
||23
z <<或2||3z <<。

采用留数定理法求对应的序列。

被积函数为 111
()1
()(2)(3)
3n n z X z z z z z z --+=
---
对于收敛域1||23z <<，被积函数有1个极点1
3z =在积分围线内，故得
1
1
13
1(1)1()R e [(),]|0.9(),0
3(2)(3)3
n n
z z z x n s X z z n z z --=+===≥-- 被积函数有2个极点12z =和23z =在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高
32n ->(因n<0)，故
11
1
1
1223
(1)(1)()Re [(),]Re [(),]||11()(3)()(2)33
0.920.53,0
n n n n z z n n z z z z x n s X z z
z s X z z
z z z z z n ----==-++=--=-----=⨯-⨯<最后得到
10.9(),0()3
0.920.53,0n n n n x n n ⎧
≥⎪
=⎨⎪⨯-⨯<⎩
或1()0.9()()(0.920.53)(1)3
n n n
x n u n u n =+⨯-⨯-- 对于收敛域2||3z <<，被积函数有2个极点11
3
z =
和22z =在积分围线内，故
11
1
1
1212
3(1)(1)()Re [(),]Re [(),]||1(2)(3)()(3)
3
1
0.9()0.92,0
3
n n n n z z n n z z z z x n s X z z
z s X z z
z z z z z n ----==++=+=+----=⨯-⨯≥被积函数有1个极点3z =在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高32n ->(因n<0)，故
1
1
3(1)()R e [(),3]|0.53,
1()(2)
3
n n z z z x n s
X z z n z z --=-+=-==-⨯<-- 最后得10.9()0.92,0
()3
0.53,0n n
n n x n n ⎧-⨯≥⎪=⎨⎪-⨯<⎩
1()0.9[()
2]()0.53(
1)
3
n n
n
x n u n u n =--⨯-- 2.31因系统稳定，所以单位圆必须在收敛域内。

由于系统的极点为12z =
，所以收敛域为1
||2
z =。

因
lim ()z H z →∞
=∞，故该系统不是因果系统。

2.32(1)()(1)()n n x n ωβω=-+，()()(1)y n n n ωω=+-
11
()
()()(),()1X z W z z W z X z W z z ββ--=+=
-
1
1
1
1()()()()1z Y z W z z W z X z z β---+=+=-
所以系统函数为
1
1
()1()()1Y z z H z X z z
β--+==- 频率响应为
2222222cos
1()2()cot 122sin ()
2
j j j
j j j j j e e e e H z j e e e e ω
ω
ω
ωωω
ωωβ------++====--- (2)由1
1
1()()1z Y z X z z
β--+=-可写出系统的差分方程 ()(1)()(1)y n y n x n x n β--=+-
(3)当x(n)为单位阶跃序列时，将11()1X z z -=-代入1
1
1()()1z Y z X z z
β--+=-，得到 111
11
()11z Y z z z β---+=
-- 采用部分分式法：
1
12121111
1()()()(1)(1)11A A z Y z Y z Y z z z z z ββ-----+==+=+---- 其中 11111|11z z A z β
ββ-=-++==--- 121
112
|11z z A z ββ
-=-+==-- 由11
11
()11Y z z βββ---=
--，||z β>得到 11()()1n
y n u n βββ
--=
-
由21
21
()11Y z z β-=
--，||1z >得到 22
()()1n y n u n ββ
=
- 因此系统的单位阶跃响应为
1
12121211()()()()()()()()()
111111n n n n y n y n y n u n u n u n u n u n u n βββββββββββ
+-----=+=+=+=+------2.33(1)求差分方程两边的z 变换
121()()()()Y z z Y z z Y z z X z ---=++ 由上式得到系统函数
1
12
()1z H z z z ---=--
求系统函数的零点和极点
112212()11()()
z z z
H z z z z z z z ββ---===
------
其中，零点为0；极点为11(12β=
和21
(12
β=。

由此可画出极－零点图，如图1.9所示。

已知系统为因果系统，因此收敛域为1||||z β<≤∞。

(2)采用留数定理法。

由12()()()
z
H z z z ββ=
--(收敛域为1||||z β<≤∞)计算单位取样响应
121
1
12122112
()Re [(),]Re [(),]||()n n n n
n n z z z z h n s H z z
s H z z u n z z ββββββββββ--==-=+=+=---
(3)要使系统稳定，单位圆必须在收敛域内，即收敛域应为21||z ββ<≤，这是一个双边序列。

采用部分分式法将系统函数分解为 12121212
()()()()()A A z
H z H z H z z z z z ββββ=
=+=+----
其中 111212
|z z
A z βββββ==
=-- 222121
|z z
A z βββββ==
=--
由1
1121
1
()H z z ββββ=
--计算单位取样响应1()h n 。

因收敛域为1||z β<，故1()h n 为左边序列，又
因10
lim ()0z H z →=为有限值，故2()h n 还是逆因果序列。

采用留数定理法，被积函数
1
1
1
1121
()n n z H z z
z ββββ--=
--，当n<0
时，极点11(12β=+在积分围线外，且被积函数的分母与分子多项式阶数之差为112n -+≥(因n<0)，因此有 11
1111111221
1
()Re [(),]|,0n n n z h n s H z z
z n ββββββββ--=-=-=
=<--
由2
2212
1
()H z z ββββ=
--计算单位取样响应2()h n 。

因此收敛域为2||z β<，故2()h n 为右边序列，
又因220
21
lim ()z H z βββ→=
-为有限值，故2()h n 还是因果序列。

采用留数定理法，被积函数
1
1
2
2212
()n n z H z z
z ββββ--=
--，当0n ≥
时积分围线内有唯一的极点，21(12β=-，因此有 21
12222221
21
1
()Re [(),]|,0n n n z h n s H z z
z n ββββββββ--===
=
≥--
最后得到满足题给差分方程的一个稳定但非因果的系统，它的单位取样响应为 121221
1
()()()((1)())n n h n h n h n u n u n ββββ=+=
--+-
2.34(1)求差分方程两边的Z 变换
15
()()()()2
z Y z Y z zY z X z --+=
由上式得到系统函数
1()1()51()(2)()22
Y z z
H z X z z z z z -=
==
-+-- 系统函数的零点：0z =；极点：12β=，21
2
β=。

系统单位取样响应的3种可能选择方案如下(参考图1.10所示的极－零点图)。

（1） 收敛域取为2||z <≤∞，系统是因果的，但不是稳定的。

得到系统的单位取样响应为
1212112()()[2()]()(22)()12322
n n n n n n h n u n u n u n ββββ--==-=---
（2） 收敛域为
1
||22
z <<，系统是稳定的，但不是因果的。

得到系统的单位取样响应为
1212121
()[(1)()][2(1)()()]32
n n n n h n u n u n u n u n ββββ=
--+=---+-
（3） 收敛域取为1
||2
z <
，系统既不是稳定的，又不是因果的。

因收敛域为1||z β<，故()h n 为左边序列，又因lim ()0z H z →∞
=为有限值，故2()h n 还是逆因果序列。

采用留数定理法，被积
函数1
12()()()
n
n z H z z
z z ββ-=
--，当n<0时极点112β=和22β=都在积分围线外，且被积函数的分母与分子多项式阶数之差为2-n>2(因n<0)，因此有
121212
()()(1)(22)(1)3
n n n n h n u n u n ββββ=
-+--=--+---
(4)验证每一种方案都满足差分方程：前面已经由差分方程求得系统函数11
()52
H z z z
-=
-+，故只要验证每一种方案的系统函数即可。

（1）
111111
11
122211()(22)()[(2)(2)]()3331212211
()531222
n n n
n n n n H z u n z z z z z z z z z z
∞
∞--------=-∞=-∞
---=-=-=---=-=
---+∑∑（2） 11110
111111
1122()[(2(1)2())][(2)(2)]
33212211
[(2)]()5312312122
n n n n
n n n n n n H z u n u n z z z z z z z z z z
∞
-∞
-----=-∞=-∞=-∞------==----=--=-+=-+=
----+∑∑∑∑
（3）
11
111111111
22()(22)(1)[(2)(2)]
3322221[(2)(2)]()53312122
n n n n
n n n n n n
n n H z u n z z z z z z z z z z z
∞
-------=-∞=-∞=-∞
-∞∞
---===----=-=-=-=
---+∑∑∑∑∑
2.351
10
()()()()3z Y z Y z zY z X z --
+= 1()1()101()(3)()33
Y z z
H z X z z z z z -===
-+-- 极点为3，13。

系统稳定，单位圆在收敛域内，即1
||33
z <<，对应于双边序列。