郑州市2019年高中毕业年级第三次质量预测理科数学试题扫描版含答案

故 f (x) 在 (0,1) 单调递减, f (x) 在 (1, ) 单调递增. f (x)min f (1) a e 0.
故当 a e 时, f (x) 没有零点. ………………8 分
当 a e 时,令
ex
ax
0 ,得 ex x
a ,(x)

ex x
P( x1,
y1)
, Q( x2 ,
y2) 两点,

联立方程组

y

3 3
(
x

1)
,得
x2

14x

1

0
.
y2 4x
所以 x1 x2 14 , x1 x2 1 ,………………….8 分
参考答案 第 3 页 共 6 页
假设存在点 M (t,0) 使, PMO QMO 则 kPM kQM 0 . 所以
BN m

2

2
| BN | | m | 5 2 2 1 5 2( 1)2 7
4 8 …..11 分
2 4 70
5 7 35
8
直线 BN 与平面 PCF 所成角的正弦值的最大值为 4 70 ……….12 分 35
5
5
5
19．解：（1）由题知 t 3, y 4.7, ti yi 85.2, (ti t )2 10, ( yi y )2 22.78 ………2
5 由于顾客每中一次可获得 100 元现金奖励,因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均 值为1.2 100 120 ……………11 分 由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值 120 小于直接返现的 150 元,所以专营店老板希望 顾客参加抽奖……………12 分
20．解:（1）抛物线 C 的焦点为 F( p ,0) ,……………1 分
参考答案 第 5 页 共 6 页
(a 1)x 2a 1, x 2, （2） f (x) | x 1| a | x 2 | (a 1)x 2a 1, 2 x 1,
(1 a)x 2a 1, x 1, 当 (a 1) 0 ,即 a 1时, f (x) 无最小值； 当 (a 1) 0 ,即 a 1时, f (x) 有最小值 1 ； 当 (a 1) 0 且 (a 1) 0 ,即 1 a 1时, f (x)min f (1) a, 当 (a 1) 0 且 (a 1) 0 ,即 a 1时, f (x)min f (2) 1, 综上：当 a 1时, f (x) 无最小值； 当 a 1时, f (x) 有最小值 1 ； 当 1 a 1时, f (x)min f (1) a, 当 a 1时, f (x)min f (2) 1. ………………10 分
（2）①顾客选择参加两次抽奖,设他获得 100 元现金奖励为事件
A
.
P(
A)

C
1 2

2 5

3 5

12 25
……………6
分
参考答案
第2页共6页
②设 X 表示顾客在三次抽奖中中奖的次数,由于顾客每次抽奖的结果相互独立,则 X ~ B(3, 2) ………………8 分
5 所以 E( X ) np 3 2 1.2 ……………10 分
过 O 作 OM∥BC 交 CF 于 M ,分别以 OB,OM ,OP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,如
图所示. P(0,0, 3 ) 2
C( 1 , 2,0) 2
F( 1 ,1,0) 2
PC

(1
, 2,
3
)
,
PF

(
1
,1,

3 ) …….8 分
, ( x)

( x 1)ex x2
,
(x) 在 (0,1) 单调递减,(x) 在 (1, ) 单调递增. (x)min (1) e ,………………10 分
参考答案 第 4 页 共 6 页
(x) 在 (0, ) 有两个零点 x1, x2 , 0 x1 1 x2 ， f (x) 在 (0, x1) 单调递减,在 (x1,1) 单调递增,在 (1, x2) 单调递减,在 (x2, ) 单调递增， f (1) a e 0 ,又 x 0时，f (x) , x +时f (x) ,
3 ( x1 t)( x2 t)
3 ( x1 t)( x2 t)
3 [(x1 1)(x2 t ) (x2 1)(x1 t ) ]
3
(x1 t )(x2 t )
即
t 1 故存在点 M (1,0) 符合条件………………10 分
当直线 l : y 3 (x 1) 时, 3
A 2

AB sin ADB
,2 分
在
ACD
中,由正弦定理得：
CD sin A

AC sin ADC
4
分
2
因为 sin ADB sin ADC , AC 3, AB 2 3, 故 BD AB 2 6 分 DC AC
（2）在 ABD 中,
由余弦定理得 BD2 AB2 AD2 2AB ADcos A 16 8 3 cos A 8 分
i 1
i 1
i 1
分
则r
n
ti yi nt y
i 1

n
n
(ti t)2 ( yi y)2
i 1
i 1
14.7 227.8

2
14.7 56.95

14.7 15.095

0.97

0.75
…3
分
故 y 与 t 的线性相关程度很高,可用线性线性回归模型拟合………4 分
由（1）知 EF 平面PBE , EF 平面BCFE ,
所以平面 PBE 平面BCFE
因为 PB BE PE ,所以 PO BE , 又因为 PO 平面PBE ,平面 PBE 平面BCFE BE 所以 PO 平面BCFE . ……….6 分
参考答案 第 1 页 共 6 页
18.解:（1） E, F 分别为 AB, AC 边的中点,所以 EF∥BC ………….1 分
因为 ABC 90 ,所以 EF BE, EF PE ……….3 分 又因为 BE PE E 所以 EF 平面PBE ．…………4 分
（2）取 BE 的中点 O ,连接 PO ,
二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题卡上．
13． 2 ． 14． 25 .
15.
2
(1, ee
)
．16．1

t

5
．
4
三、解答题：本大题共 6 小题,共 70 分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
17.解：（1）在
ABD
中,由正弦定理得：
BD
sin
解析：（1）当 a 1 时, f (x) | x 1| | x 2 | 1, 2 x 1, 2x 3, x 1,
f (x) 3, 当 x 2 时 f ( x) 2 x 3 3 解得 3 x 2, 当 2 x 1 时 f ( x) 1 3 恒成立， 当 x 1时 f ( x) 2 x 3 3 解得 1 x 0, 综上可得解集 [3, 0] ………………5 分
BA BP cos sin 1
2
sin

4

1
0,
2 1 ………………5 分
（2）曲线 C2 的直角坐标方程为： x 22 y 22 8 ，
直线
l
的标准参数方程为
x

y

2 1
2m
2 m为参数
（2）
f
( x )

(x
1)(ex x2

ax)
当 a e 时, f (x) 在 (0,1) 单调递减, f (x) 在 (1, ) 单调递增. f (x)min f (1) a e 0 , f (x) 只
有一个零点………………6 分
当 a e 时, ax ex ,故 ex ax ex ex 0 在 (0, ) 恒成立,
2m 2
,代入
C2
得：
m2

2m 7 0 ，
设 M , N 两点对应的参数分别为 m1 , m2 ,
m1 m2 2 , m1m2 7 0 故 m1 , m2 异号，
QM QN m1 m2 m1 m2 2 ………………10 分
23．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 2x 3, x 2,
kPM
kQM

y1 x1 t
y2 x2 t

3 3
(
x1

1)

x1 t
3 3
( x2

1)

x2 t
3 [2x1x2 (t 1)( x1 x2) 2t ]
3
( x1 t)( x2 t)
3 [2 (t 1) 14 2t ] 3 (12 12t) 0
此时 f (x) 有两个零点，
综上 f (x) 有两个零点,则 a e ………………12 分
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分 10 分)
解:（1）由题意可知：直线 l 的普通方程为 x y 1 0 , A1,0 , B0,1，
C1 的方程可化为 x2 y2 1y 0 ,设点 P 的坐标为 cos ,sin , 0 ,

(x
1)(e x x2
ax)
………………1
分
当a

e
时,
f
( x )

(x
1)(e x x2

ex)
,由于 ex

ex 在 (0, )
恒成立,……………4
分
故 f (x) 在 (0,1) 单调递减, f (x) 在 (1, ) 单调递增.
故 f (x)min f (1) a e 0. ………………5 分
则
PCm

0
即

1 2
x

2
y

3 2
z

0
取
m

(1,1,
3) ……..10 分
PF m 0

1 2
x

y

3z0 2
设直线 BN 与平面 PCF 所成角 ,
sin | cos BN m |
2
由
AF

(0,
2)
知
A(
p 2
,
2)
,……………2
分
代入抛物线方程得 p 2 ,故抛物线 C 的方程为： y2 4x …………4 分
（2）当直线的斜率不存在时,过点 F(1,0) 的直线不可能与圆 E 相切； 所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在, 设直线斜率为 k ,则所求的直线方程为 y k(x 1) ,
所以圆心到直线 l 的距离为 d
| 2k | , 1 k2
当直线与圆相切时,有 d 1
| 2k | 1 k2
,k
3 3
所以所求的切线方程为 y 3 (x 1) 或 y 3 (x 1) …………6 分
3
3
不妨设直线 l : y
3 3
(x
1)
,交抛物线于
第 1 页 共 10 页
第 2 页 共 10 页
第 3 页 共 10 页
第 4 页 共 10 页
2019 年高中毕业年级第三次质量预测理科数学 参考答案
一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分） 1．D 2．D 3.C 4.C 5.D 6.C 7.A 8.C 9.B 10.A 11.B 12.B
2
2
在 ACD 中,
由余弦定理得 CD2 AC2 AD2 2AC ADcos A 7 4 3 cos A 10 分
2
2
又 BD2 CD2
16 8 4
74
3 cos A 2
3 cos A
,解得
cos
A 2

3 11分 2
2
又 A (0, ) ,故 A , A 12 分 2 2 26 3
由对称性易知点 M (1,0) 也符合条件………………11 分
综上存在点 M (1,0) 使 PMO QMO ………………12 分
21.解析 ：（1） f (x) ex a(x ln x) ,定义域 (0, ) x
f
( x )

ex (x 1) x2
a
(x
1) x
22
22
N 为线段 PF 上一动点设 N (x, y, z) ,由 PN PF(0 1) ,
得 N ( ,, 3 (1 )) ,
BN (

Байду номын сангаас
1
,
,
3 (1 )) ………..9 分
22
2
2
设平面 PCF 的法向量为 m (x, y, z) ,