《误差理论与测量平差基础教学课件》第五讲06

f L1 , L2 Ln 1
2 n 2
1 1 exp V T LV 2 L
1 V T L V 最小
f L1 , L2 Ln 最大
2 T 1 0 V L V 最小
V T PV 最小
2 1 P 0 L
f f f z z E ( z ) x 1 x 2 x n 1 0 2 0 n 0
x1 x X 2 xn
x1 x 2 x n
Z E ( Z TZ ) X T E X Y
XY E ( X T Y)

T Y


称为 X 与 Y 的协方差矩阵
E ( X TX ) E ( X T Y) T T E (Y X ) E (Y Y ) X XY Y YX
4、Relation of Covariance Matrix Between Vectors
No.5 Propagation of Variance-C识
1协方差（covariance）
xy E{( x E( x)( y E( y)}
xy E (xy)
第四讲 参数估计与最小二乘原理（复习）
4、协方差阵与权阵之间的关系。
2 1 P 0 L
权矩阵是与协方差矩阵的逆矩阵成比例的矩阵。
第四讲 参数估计与最小二乘原理（复习）
[] [vv] 5. 比较m 与m 的有什么异同点？ n n 1
（1）形式上的不同……。 （2）都是均方差的估计值。 （3）真误差难得，残差易得，第二个公式应用面更广。 （4）后一式称Bessel公式
x1 x x X 1 2 x1 xn
xx x
2
1 2

x x
2 n
x1 xn x2 xn xn
X 称为向量X的方差 协方差矩阵，简称协方 差阵。
2x1 x1 x2 T E ( X X ) E x1 xn
x1 x2 2x2 x2 xn
x1 xn x2 xn X 2 xn
补充知识
3.向量间的协方差矩阵（covariance matrix）
设：
X Z ( n m )1 Y
X 和Y 分别为n 1 和 m 1随机向量
f ) x ( xn xn0 ) (二阶以上项 n 0 f f E ( z ) f ( x10 , x20 ,, xn0 ) x ( E ( x1 ) x10 ) x ( E ( x2 ) x20 ) 1 0 2 0 f x ( E ( xn ) xn0 ) n 0
第五讲 方差及协方差矩阵的传播
Propagation of Variance-Covariance Matrix
1、Raise A Question
2、Variance and Standard Error of Functions of Random variable 3、Propagation of The vector’s Variance-Covariance Matrix
已知函数关系式 以及观测值的方差协方差
2 x 1 x1 xn2 X x1 xn
z f x1 , x 2 ,, x n
x x 2 x
2 1 2

x x
1 n
x1 xn x2 xn 2 xn
第四讲 参数估计与最小二乘原理（复习） 思考题
1 2.子样方差s [vv ]是否为母体方差的无偏估计值？ n
2
v i x Li [ L] x n
n 1 2 E (s ) n
2
第四讲 参数估计与最小二乘原理（复习）
3、什么情况下最小二乘估计与最大或然估计是一致的。 当观测值服从正态分布时。 似然函数：
问题 1：平面三角形，闭合差 W 是真误差，可以用中误差公式计算
[ww] mw n
我们关心的是观测值的精度，m L ?
No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
1、 Raise A Question
1) The question is how to estimate the errors in Z as functions of random variable
令：
y1 y1 x x 2 1 y y2 dY 2 x x 2 dX 1 y ym m x1 x 2
y1 x n y2 x n
ym x n
dY
dY dX dX
dY — 雅克比矩阵， m n 阶 dX
在视距测量中测得标尺读书差d0565m中误差m02mm当视距常数为100时求这两点间距离s及其中误差mstandarderrorrandomvariable企业文化就是传统氛围构成的公司文化它意味着公司的价值观诸如进取守势或是灵活这些价值观构成公司员工活力意见和行为的规范
第二章 误差理论与最小二乘原理
y1 y1 y1 y1 y1 dx dx dx 1 2 n x x x x 2 x n 2 1 1 y2 dx y2 dx y2 dx y2 y2 n x1 1 x 2 2 x1 x 2 x n y y ym y y m dx1 m dx2 m dxn m x 2 x n x1 x1 x 2
补充知识
5.观测值真误差与其函数真误差的关系
设：
z k1 x1 k2 x2 kn xn k0
其中： k1 , k2 ,, kn , k0 是常数，x1 , x2 ,, xn 是观测值（随机变量），
E ( z) k1 E ( x1 ) k2 E ( x2 ) kn E ( xn ) k0 z E ( z) k1 ( x1 E ( x1 )) k2 ( x2 E ( x2 )) kn ( xn E ( xn ))
dx1 dx dX 2 dxn
y1 x n y2 x n dx 1 dx2 ym dxn x n
dy1 dy dY 2 dyn
问题 2：一个量
L ，已知 n 次等精度观测值的中数 x
n
mL ，
mx ?
No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
1、 Raise A Question
1) The question is how to estimate the errors in Z as functions of random variable
z
x1
x2
xn
z k1x1 k2x2 kn xn
补充知识
5.观测值真误差与其函数真误差的关系
设： 泰勒级数展开：
z f ( x1, x2 ,, xn )
f f z f ( x10 , x20 ,, xn0 ) ( x x ) x 1 10 x ( x2 x20 ) 1 0 2 0
xy yx
估值：
m xy
[ x y ] n
乘协 积方 的差 理是 论两 平种 均真 值误 差 所 以 可 能 取 值
协 方 差 本 身 可 以 小 于 零
(协方差的估值，仍然叫协方差)
补充知识
2.向量的协方差矩阵（covariance matrix）
x1 x X 2 xn
df z dX 0
No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
1、 Raise A Question
1) The question is how to estimate the errors in Z as functions of random variable
f f f z z E ( z ) x 1 x 2 x n 1 0 2 0 n 0
补充知识
5.观测值真误差与其函数真误差的关系
设：
z f ( x1, x2 ,, xn )
补充知识
4.向量的微分
y1 y1 x x 2 1 y y2 dY 2 x1 x 2 dX y ym m x1 x 2 y1 x n y2 x n ym x n
dY — 雅克比矩阵， m n 阶 dX
Jacobian Matrix：is also sometimes called Coefficient Matrix(since,in the case of a linear mathematical model,the partial derivatives are just the coefficient of the Obs.)
补充知识
4.向量的微分
设：
x1 x X 2 xn
y1 ( x1 , x 2 , , x n ) y ( x , x ,, x ) n Y 2 1 2 y ( x , x , , x ) m 1 2 n
Error Theory and The Least Squares Principle
第四讲 参数估计与最小二乘原理（复习） 思考题
1、衡量估计量性质的标准有哪些，它们分别有什 么含义？
无偏性：估值的数学期望等于真值。
有效性：方差最小的无偏估值。 一致性：随着观测值个数的增大估值以概
率收敛于真值。
求函数的方差 观测值的方差与观测值函数的方差之间的关系式，称为误差传播律。
No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
1、 Raise A Question
2) Errors Propagation: is the process of evaluating the errors in estimated quantities (Z) as functions of the error in the measurements (L)
A 问题 3：在三角形 ABC 中，已测得两个角 B 、
及一
a sin B a b 条边 ，依 b 求得 sin A
m A , m B , m a ，m b ?
边的边长，假如已知
No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
Reduce to the follow question