最新高考数学二轮复习第一部分专题攻略 专题一高考小题知识板块 第1讲 集合、常用逻辑用语、不等式

4．[2021·山东德州一模]已知a，b∈R，则a＜b是a2(ea－eb)＜0的
()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由a＜b，当a＝0时，不能够推出a2(ea－eb)＜0， 故a＜b是a2(ea－eb)＜0的不充分条件， 由a2(ea－eb)＜0⇒ea－eb＜0⇒ea＜eb⇒a＜b， 故a＜b是a2(ea－eb)＜0的必要条件， 综上所述：a＜b是a2(ea－eb)＜0的必要不充分条件． 故选B.
等价法 将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题
2.全称(存在)量词命题及其否定 (1) 全 称 量 词 命 题 p ： ∀x ∈ M ， p(x) ． 它 的 否 定 为 ¬p ： ∃x ∈ M ， ¬p(x)． (2) 存 在 量 词 命 题 p ： ∃x ∈ M ， p(x) ． 它 的 否 定 为 ¬p ： ∀x ∈ M ， ¬p(x)．
2．[2021·山东师大附中模拟]已知命题p：“∃x∈R，ex－x－1≤0”， 则命题¬p：( )
A．∀x∈R，ex－x－1>0 B．∀x∉R，ex－x－1>0 C．∀x∈R，ex－x－1≥0 D．∃x∈R，ex－x－1>0
答案：A
解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，因此命题p：“∃x∈R，ex－ x－1≤0”的否定为：∀x∈R，ex－x－1>0.
−2，
6 5
.
故选B.
3．[2021·河北唐山二模]不等式
1 2
x≤
x的解集是(
)
A．
0， 1
2
B.
1，+∞
2
C.
0，
2 2
D.
2 2
，
+
∞
答案：B
解析：在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：
当
1 2
x＝
x时，解得x＝12，
由图象知： 1 x≤ x的解集是 1 ， + ∞
2
2
故选B.
4．(多选题)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是( ) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若ab>0，bc－ad>0，则ac − db>0 C．若a>b，c>d，则a－d>b－c D．若a>b，c>d>0，则da>bc
() A．a＋b≥ 2 C．log2a＋log2b≤－1
B．
1+1
ab
a5 + b5 ≥1
D．ab＋1>a＋b
答案：BCD
3．[2021·山东青岛一模](多选题)若实数a＜b，则下列不等关系正确
的是( )
A．
2 5
b
＜
2 5
a
＜
3 5
a
B. 若a＞1，则logaab＞2 C. 若a＞0，则1b+2a>1a+2b D. 若m＞53，a，b∈(1，3)，则13(a3－b3)－m(a2－b2)＋a－b＞0
()
A．A∪(CUB) C．A∩(C UB)
B．B∪(CUБайду номын сангаас) D．B∩(CUA)
答案：B
解析：∵集合A，B，U满足：A B U，
如图， ∴U＝B∪ (∁ UA)． 故选B.
5．[2021·河北衡水五校联考]已知集合A＝{x|y＝ln (x－1)}，集合B
＝{y|y＝(12)x，x>－2}，则A∩ B＝(
答案：BCD
技法领悟 1．使用不等式的性质时要特别注意性质成立的条件，如不等式两 端同时乘以一个数时要看该数取值情况． 2．解一元二次不等式时首先把二次项系数化为正值，再根据该不 等式对应的一元二次方程的实根的情况和二次函数图象确定其解集， 如含有字母参数需要分类讨论． 3．基本不等式的主要用途是求多元函数的最值，在使用基本不等 式时注意以下两点：一是注意不等式的使用条件，特别是其中等号能 否成立；二是合理变换求解目标，如常数代换法、换元法等，创造使 用基本不等式的条件．
第1讲 集合、常用逻辑用语、不等式
微专题 1 集合 微专题 3 不等式
微专题 2 常用逻辑用语
微专题 1 集合
『常考常用结论』
1．A∩ B＝A⇔A⊆B； 2．A∪ B＝A⇔B⊆A； 3．子集、真子集个数计算公式 对含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空 真子集的个数依次为2n，2n－1，2n－1，2n－2.
微专题 2 常用逻辑用语
『常考常用结论』 1．充分条件与必要条件的三种判定方法
正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要
定义法 条件)；若p⇒q，且q p，则p是q的充分不必要条件(或q是p
的必要不充分条件)
集合法
利用集合间的包含关系，例如p：A，q：B，若A⊆B，则p是q 的充分条件(q是p的必要条件)；若A＝B，则p是q的充要条件
『保分题组训练』
1．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集为
−1，−1
2
3
，则不等式x2－
bx－a<0的解集是( )
A．(2，3)
B．(－∞，2)∪ 3， + ∞
C．
1，1
32
D．
−∞， 1
3
∪
1，+∞
2
答案：A
解析：∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是
−1，
2
−
1 3
，
∴易
知a<0
b=
且൞a −
1
解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，
解 集 为 空 集 ． 当 a2 － 4≠0 时 ， 要 使 不 等 式 的 解 集 为 空 集 ， 则 有
ቊΔ =
a2 − 4 < 0， a + 2 2 + 4 a2 − 4
<
0，解得－2<a<65.综上，实数a的取值范围为
2．[2021·湖南六校联考]已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2－
3x＞0}，则A∩(CRB)中的元素个数为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
答案：B
解析：因为B＝{x|x2－3x＞0}＝{x|x＜0或x＞3}， 所以∁RB＝{x|0≤x≤3}， 又集合A＝{1，2，3，4，5}， 所以A∩(∁RB)＝{1，2，3}， 故A∩(∁ RB)中的元素个数为3. 故选B.
对于B，x＞10时，x＞5，所以必要性成立； 对于C，若a⊥n，则a∥α或a⊂α，所以必要性不成立； 对于D，f(x)在x＝x0处取得极值时，f′(x0)＝0，必要性成立． 故选BD.
技法领悟
1．对含有全称(存在)量词的命题进行否定需要两步操作： 第一步，将全称(存在)量词改写成存在(全称)量词； 第二步，将结论加以否定．注意命题中可能省略了全称或存在意义 的量词，要注意判断．
答案：BC
解析：若a>0>b，0>c>d，则ac<bd，故A错；若ab>0，bc－ad>0，则bca−bad>0，
化简得c
a
−
db>0，故B对；若c>d，则－d>－c，又a>b，则a－d>b－c，故C对；若a
＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则da＝－1，bc＝－1，da＝bc＝－1，故D错．
故选BC.
B．12或－1 D．12或－1或0
答案：D
解析：A＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}
因为A∩ B＝B，所以B⊆A 当a＝0时，B＝∅，此时B⊆A； 当a≠0时，x＝1a，所以1a＝－1或2，解得a＝－1或12. 故a＝0或－1或12. 故选D.
技法领悟 1．解答集合问题的策略 先正确理解各个集合的含义，弄清集合元素的属性；再依据元素的 不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的策略为： (1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解． (2)若给定的集合是点集，用图象法求解． (3)若给定的集合是抽象集合，常用Venn图求解． 2．[警示]忽略空集的讨论，若遇到A⊆B，A∩ B＝A时，要考虑A为 空集的可能性．
− =
5
6 1
， ，
解得
ቊab==−56，，∴不
等式
x2
－bx
－a<0
可化为
x2
－5x
＋
a6
6<0，解得2<x<3.故选A.
2．若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取
值范围为( )
A．
−2， 6
5
C．
−2，
6 5
B．
−2， 6
5
D．
−2， 6
5
∪
2
答案：B
解析：当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，
)
A．∅
B．[1，4)
C．(1，4) D．(4，＋∞)
答案：C
解析：∵A＝{x|x＞1}，B＝{y|0＜y＜4}， ∴A∩ B＝(1，4)． 故选C.
6．[2021·济南一模]已知集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，
若A∩ B＝B，则a＝( )
A．－12或1 C．－12或1或0
转化 ¬p是¬q的充要条件⇔p是q的充要条件．
微专题 3 不等式
『常考常用结论』
1．掌握两类不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a
与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，
则其解集在两根之间．
故选A.
3．[2021·石家庄一模]a＞2是a＋2a＞3的( )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：由a＋2a＞3，解得0＜a＜1或a＞2， 故由a＞2可推出a＋2a＞3， 由a＋2a＞3不能推出a＞2， 故a＞2是a＋2a＞3的充分不必要条件， 故选C.
斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，
则该图形可以完成的无字证明为( )
A.a+2b ≥ ab(a＞0，b＞0) B．a2+abb ≤ ab(a＞0，b＞0)
答案：C
C．a+2b≤ a2+2b2(a＞0，b＞0)
D．a2＋b2≥2 ab(a＞0，b＞0)
2．[2021·河北沧州二模](多选题)已知a>0，b>0，且a2＋b2＝1，则
『保分题组训练』
1．[2021·山东菏泽一模]命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为( ) A．∀x∉R，x2≥0 B．∀x∈R，x2＜0 C．∃x∈R，x2≥0 D．∃x∈R，x2＜0
答案：D
解析：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以：命题“∀∈R，x2≥0” 的否定是∃x∈R，x2＜0.
故选D.
2．判断充分、必要条件时的3个关注点
要弄清 先后顺序
“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不 能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能 推出B，且B不能推出A.
要善于 当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进
举出反例 行时，可以通过举出恰当的反例来说明．
要注意 ¬p是¬q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件；
3．[2021·广东大联考]已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x2－3x＜0}，则 A∪ B＝( )
A．(0，＋∞) B．(2，3) C．(0，3) D．(2，＋∞)
答案：A
解析：∵A＝{x|x＞2}，B＝{x|0＜x＜3}， ∴A∪ B＝(0，＋∞)． 故选A.
4．[2021·河北石家庄一模]若集合A，B，U满足：A B U，则U＝
『保分题组训练』
1．[2021·广东江门一模]设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，
2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩ B)＝( ) A．{1，4，5} B．{2，3}
C．{5}
D．{1}
答案：A
解析：集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4} 所以A∩ B＝{1，2，3}∩ 2，3，4 ＝{2，3}； ∁U(A∩ B)＝{1，4，5}， 故选A.
A．若两直线的斜率相等，则两直线平行 B．若x＞5，则x＞10 C．已知a是直线a的方向向量，n是平面α的法向量，若a⊥α，则a⊥n D．已知可导函数f(x)，若f′(x0)＝0，则f(x)在x＝x0处取得极值
答案：BD
解析：对于A，两直线平行时，两直线的斜率相等或斜率都不存在，所以必要 性不成立；
5．[2021·山东青岛一模]若α，β表示两个不同的平面，m为平面α内 一条直线，则( )
A．“m∥β”是“α∥β”的充分不必要条件 B. “m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件 C. “m⊥β”是“α⊥β”的必要不充分条件 D. “m⊥β”是“α⊥β”的充要条件
答案：B
6．[2021·湖南六校联考](多选题)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q 的必要条件的是( )
『提分题组训练』
1．[2021·湖南六校联考]数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，
也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明
的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学
证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为
(2)简单分式不等式的解法
①f
g
x x
>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)．
②f
g
x x
≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)设a>0，b>0，则a+2b ≥ ab.
(3)
a2+b2 ≥ a+b ≥
2
2
ab ≥ a2+abb(a>0，b>0)．