高等数学作业下-2 (答案)
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第八章 习题答案
8．1 多元函数基本概念
1．解：=),(y x f )225(9
12
2y x xy --。
2．解：).sin sin())(,(),sin sin(sin )],([x x x x f x g y x y x y x g f =⋅=
3．解：（1）0。（2）a
e 。（3）1。（4）0。（利用有界量乘以无穷小量仍为无穷小量。） （5）y x y
x y x y x y x 1
102222+≤++≤++≤
，且.0)11(lim =+∞
→∞→y x y x 从而.0lim 22=++∞
→∞→y x y x y x （6）22
)21()(
022x x y x xy ≤+≤ ，且0)2
1(lim 2=+∞→x x ，所以原式0=。 4．解：不存在。因沿不同路径趋近时极限值不同。 5．解：⑴),(y x f 的定义域为0≠+y x 。
)(a 当0≠+y x ，1≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数，故连续。 )(b 当100=+y x 时，=-++-+=→+→+211
)11ln(11lim
),(lim y x y x y x f y x y x =+→20)1ln(1
lim t t
t
),(200y x f =，即),(y x f 在 100=+y x 时也连续。故),(y x f 的间断线为0=+y x 。
⑵)(a 当02
2
≠+y x 时),(y x f 的表达式为初等函数，故连续。
)(b 当02
2
=+y x 时，2222001)1(lim ),(lim k
k
x k kx y x f x kx
y x +=+=→=→，显然k 取不同值时得不同极限，即),(lim 00y x f y x →→不存在，故),(y x f 在)0,0(点不连续。
⑶)(a 当02
2
≠+y x 时),(y x f 连续。)(b 当02
2
=+y x 时，因y x y x f +≤),(，故
0),(lim 0
=→→y x f y x ，从而)0,0(0),(lim 0
f y x f y x ==→→，即),(y x f 处处连续。
8．2 偏导数与全微分
1.解：（1）
)2cos(4),2cos()2sin(2222222y x ye y
z
y x e y x xe x z x x x +=∂∂+++=∂∂。
（2）]2)ln([],2cos )ln([ln 222
2sin 2222sin y
x y y y x y y z y x x x y x y y x z x x +++==∂∂+++⋅=∂∂。 （3）
4
24222,y x y y
z
y x x y x z -=∂∂--=∂∂。 （4）
y
x
e
y z x y e x z xy xy --=∂∂=∂∂21,21. (5))(a 当02
2
≠+y x 时，,1
cos 21sin
2'2
22222y
x y x x y x x z x ++-+= 2
222221
cos 21sin
2'y x y x y y x y z y ++-+=。
)(b 022=+y x 时，0)0,0(')0,0('==y x f f 。
2．证：
,ln ,ln 11x y x x xy y
z y y x y yx x z x y y x x y x y +=∂∂+=∂∂--代入即得。 3.证：,0)
0,0()0,(lim
)0,0('0
=-=→x
f x f f x x 同理0)0,0('=y f ，而由前次习题4（2）知
),(y x f 在)0,0(不连续。
4.证：+∆+-∆+∆+=-∆+∆+=∆),(),(),(),(00000000y y x f y y x x f y x f y y x x f f y y y x f x y y x x f y x f y y x f y x ∆∆++∆∆+∆+=-∆+),('),(')),(),((2000100000θθ，其中0＜1θ＜1，0＜2θ＜1，由题设当2
2
)
()(y x ∆+∆足够小时，
M y y x x f x ≤∆+∆+),('010θ，M y y x f y ≤∆+),('200θ， ,0)(lim 0
=∆+∆→∆→∆
y x M y x 故,0),(),(lim 00000
=-∆+∆+→∆→∆y x f y y x x f y x 即),(y x f 在点)(0,0y x 连续。
5．解：（1）dy y
x y dx y x x dz 4
33
43243+++=； （2）)1()(1122
dy y
x
dx y y
x
dz --=； （3）xdy yx dx x y dz y y
ln 222
1
2+=-； （4）)32(223323
2dz z xy dy xyz dx z y e du z xy ++=。
6．解：（1）取,01.0,01.0),1,1(),(),ln(),(0043-=∆=∆=+=y x y x y x y x f 则+3
01.1ln(
005.02ln )01.0(2
4
01.0232ln )99.04-=-+⋅+
≈。