2019A新高中数学必修第一册：2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

(1) a3e, b6e;
(2) a8e, b-14e;
(3) a 解: (1)
b
322(e3,e)b213ae;;
(4)
a
-
3 4
e,
b - 32e.
(2)
由e
1 8
a得
b
-14(18
a)
-
7 4
a;
(3)由e
-
3 2
a得
b
13 (-
3 2
a)
-
1 2
a;
(4)
由e
-
4 3
a得
b
-
2 3
A B
-BC 2AB 3BC
D
2AB 2BC
2(AB BC )
2AC,
AC 与 CE 共线.
例6. 如图, 已知任意两个非零向量a、b, 试作 OA
ab, OB a2b, OC a3b. 你能判断 A、B、C 三
点之间的位置关系吗? 为什么?
解: 由向量加法的三角形 C
a
b
法则作图:
由图发现 A、B、C 共线. b
b.
a、
b为邻边的平行四边形
对角线.
已知: a b
验证(1)
a
b
1 2
(a
b)
(1)
1 2
(ab)
12 (a- b)
a
1 2
(a-
b)
习题2.2 A 组
5. 作图验证:
(1)
1 2
(a
b)
1 2
((2) 解:
12a(a b,b)a--12b(是a -以b)
b.
a、
b为邻边的平行四边形
(2)
13 (a
2b)
14 (3a -
2b)
-
1 2
(a
-
b);
(3) (x-y)a-(x-y)a.
解:
(1)
原式
13a5a--2b1;0b
8b-12a
(2) (3)
原原式式1(7132xaa-32y32b)ba;43(ax--12 by)-b12-a(x12-by)a
(
x
-
y)b
2(x - y)b.
本章内容
2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.2 平面向量的线性运算 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.4 平面向量的数量积 2.5 平面向量应用举例
第二章 小结
2.2.1 向量加法运算及其几何意义 2.2.2 向量减法运算及其几何意义 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
吗?
解: 在□ABCD中,
D
b
M
C
MA -AM
-
1 2
-
1 2
AC (a
b).
MB
1 2
DB
1212((Aa-Bb-)A. D)
A
a
B
MC
1 2
AC
1 2
(a
b).
MB
1 2
BD
1 2 1 2
(AD- AB)
(b -
a).
练习: (课本90页)
3. 把下列各小题中的向量 b 表示为实数与向量 a 的积:
EC
b-
1 4
a)
3 4
AC
3 4
1 8
b-
1 8
a.
b.
B
1 4
AB
1 8
b-
1 8
a
1 8
b
1 8
a.
M
C
B组
3.
如图,
AM
1 3
AB,
AN
1 3
AC.
C
求证:
MN
1 3
BC.
N
证明:
AM
1 3
AB,
AM
B
AN
1 3
AC,
MN AN - AM
1 3
AC
-
1 3
AB
1 3
(
AC
-
AB
O(aB-2Ob)A-
(a
OC b) b,
a
3b
B b
AC
O(aC-3bO)A-
(a
b)
OB 2b,
a
2b
A
即 AC 2AB,
OA
a
b
b
若两向量 共线, 且 有一个公 共点, 则 两向量上 的点在一
得 AC、AB共线, 且共点A,
∴ A、B、C三点共线.
a
O
条直线上.
练习: (课本第90页) 第 4、5 题.
(3) (2a3b-c)-(3a-2bc).
解: (1) 原式 -12a;
(2)
原式
3a
3b -
2a
2b -
a
5b;
(3)
原式-2aa53bb-- 2cc-. 3a
2b -
c
例7. 如图, □ABCD的两条对角线相交于点M, 且
AB a, ADb, 你能用a、b表示 MA、MB、MC 和 MD
解: (1)原式 (2)原式
(3)原式 (4)原式
(163123x0aa5aa-a-----y12b)281bab20;bb52(a6x1-c8-0bacy-4;)ab1232--ba(4xb3-ay4)c12ab;(
x
-
y)b
2(x - y)b.
10. 已知ae12e2, b3e1-2e2, 求ab, a-b与3a-2b.
(1) OM 12(OA OB);
(2)
ON
1 2
(OA
-
OB);
(3) OG 3OA 2OB.
(1)
(3)
A
G
M
3OA
O
B
A
(2)
2OB
O
B
OA-OBOA BO.
NA
O
B
习题2.2 A 组
5. 作图验证:
(1)
1 2
(a
b)
1 2
(a
-
b)
a;
(2) 解:
12a(a b,b)a--12b(是a -以b)
(-
4 3
a)
8 9
a.
问题1. 已知非零向量 AB -3CD, 直线 AB 是否
平行 CD, 向量 AB 与 CD 是否共线? 如果 | AB| 1,
那么 |CD| 等于多少?
A
B
A
C
D
B AB -3CD
直线 AB 与 CD 可能平行, 可能重合.
向量 AB 与CD 一定共线.
| AB| 1时,
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1. 实数乘一个向量所得的结果是一个什么量? 它的几何意义是什么?
2. 怎样用向量的数乘判定两个向量是否共线? 3. 向量的数乘有些什么运算定律?
操作题1. 已知向量 a, 试画出3个 a 向量的和, -2
个 a 向量的和, 以及 1 个 a 向量.
a
a
2
a
a
1 2
a
a
a
a
3a.
- a - a (-a)(-a) -2a.
BC
-
2 7
AB.
例(补充). 已知向量 a, b, 作向量:
(1) 5a;
(2) 3a+2a;
(3)
1 2
(a
b);
(4)
12 a
1 2
b;
比较(1)与(2), (3)与(4)的关系.
解: (1) a (2)
a A
3aa a
a
a 2a
B
AB 5a 3a 2a. 即 (3 2)a 3a 2a.
(1)与(2)相等.
b
C
∵EF//BC, ∴F 是 AC
且EF 的中点.
1 2
BC,
AF
1 2
(a
b)
1 2
a
12 b.
(3)与(4)相等.
向量的数乘运算定律:
(1) l(a) (l)a
(2) (l )a la a
(3)
l(a
b)
la
lb
例5. 计算:
(1) (-3)4a;
(2) 3(ab)-2(a-b)-a;
对角线.
已知: a b
验证(2)
a
1 2
(a-
b)
1 2
(a
b)
b
b
(2)
12 (a
b )-
1 2
(a-b)
b
9. 化简:
(1) 5(3a-2b)4(2b-3a);
(2) 6(a-3bc)-4(-ab-c);
(3)
1 2
[(3a-2b)5a
-
1 3
(6a-9b)];
(4) (x-y)(ab)-(x-y)(a-b).
例(补充). 已知向量 a, b, 作向量:
(1) 5a;
(2) 3a+2a;
(3)
1 2
(a
b);
(4)
12 a
1 2
b;
比较(1)与(2), (3)与(4)的关系.
解: (4)
(3)
a
1 2
a
AE
AF
1 2
a,
1 2
a
EF
12 b.
b
1 2
b,
12 b
A12 (a12aEb12)baaF
b B
AB)
1 3
BC,
则等式得证.
4. 根据下列各小题中的条件, 分别判断四边形
ABCD的形状, 并给出证明:
(1) AD BC;
(2)
AD
1 3
BC;
(3) AB DC, 且| AB| | AD|.
解:(1) 由AD BC知线段AD// BC, 且AD BC,
∴ABCD是平行四边形.
(2)
【课时小结】
1. 向量的数乘 向量的数乘是一个向量.
l a 表示有l个a向量. 当l>0 时, l a与 a方向相同. 当l<0 时, l a与 a方向相反. 当l0 时, l a表示零向量. |la| |l ||a|.
【课时小结】
2. 向量的数乘运算定律
(1) l(a) (l)a
(2) (l )a la a
向l: 量实的数数, 乘a:: 非零向量, l a: 向量的数乘.
向当当当l a量lll><表的000示时时 时数有,,,乘llll是个aaa一a表与与个向示aa向量零方方量, 向向向, 量相相.同反,,
练习: (课本90页) 第 1、2 题.
练习: (课本第90页)
1. 任画一向量 e, 求作向量 a4e, b-4e.
(3)
l(a
b)
la
lb
3. 共线向量的判定
当且仅当存在一个唯一实数 l, 使得
b
la(a
0) 时,
向量 a与 b共线.
练习: (课本第90页) 第 6 题. 习题 2.2 A组
第 5、9、10、12 题. B组
第 3、4 题.
6. 已知向量 OA、OB (O、A、B 三点不共线), 求
作下列向量:
AC b, 用a、b分别表示向量 AE、 BC、DE、 DB、 EC、
DN、 AN.
A
解:
AE BC
∵DE∥BC, AD
1 4
AC
AC -
1 4
b.
AB
b-
a.
1 4
AB,
DE
a
N
b
DE DB
DN AN
1 4
BC
1 4
b-
3 4
AB
1 4
a.
1 2
DE
1 2
(14
AD DN
1 4
a.
由AD
1 3
BC知线段AD
//
BC,
|
AD|
1 3
|
BC
|,
∴ABCD是梯形.
(3) 由AB DC知ABCD是平行四边形,
又由| AB| | AD|得此四边形的邻边相等,
∴ABCD是菱形.
|CD|
1 3
,
即| AB| 3|CD|.
共线向量:
如果存在实数 l, 使得非零向量 bla, 则向量
a 与 b 共线.
非零向量a与 b共线
bla
例(补充). 如图, 已知 AD 3AB, DE 3BC. 试判
断AC与CE 是否共线.
E
解: AC AB BC,
C
CE CB BD DE
e
Ae
e
e
e
B
AB a 4e.
D -e -e -e -e
CD
b
-4e.
C
2. 点C 在线段AB上,
BC
-
2 7
AB .
且
AC CB
5 2
,
则 AC
5 7
AB ,
解: (如图)
A
由
AC CB
5 2
得
CB
AC AB
5 7
,
BC AB
2 7
,
∵ AC 与AB同方向,
AC
5 7
AB;
BC 与AB反方向,
4. 判断下列各小题中的向量 a 与 b 是否共线:
(1) a -2e, b2e;
解: ((12))a aa、e1--be22共e,b线-,-b2且,e1方2向e2;相反.
(2) b -2(e1 - e2)
a、
-2a,
b 共线,
方向相反.
5. 化简:
(1) 5(3a-2b)4(2b-3a);
解:
3aaa--bb2be4-(1ee2113;e2(1ee212e42)e23-2ee;(123)-e-122-e(223ee21)-
2e2)
3e1 6e2 -6e1 4e2
-3e1 10e2.
于点1E2,.△△AABBCC的中中, A线DAM14 与ABD, ED相E交//B于C,点且N与. 设边AABC相a交,