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圆的周长、面积及应用

【知识方法】

圆是所有几何图形中最完美的，圆中有许多有趣的问题值得思考。 1.基本概念

定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 （2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。 圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心

（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。 （3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

（4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。 注：圆心一般用字母O 表示

直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d 表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r 表示。 2、圆的性质

圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。 在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r 或r=二分之d 。 圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C 表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。 直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。 3、有关公式

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。面积用字母S 表示，S=π2

r 半圆的周长：半圆c =（π+2）r

弧长公式：L=

180r

n π（n 为扇形圆心角的度数） 扇形的周长：C=180

r

n π+2r （n 为扇形圆心角的度数）

【例题】

例1.公园里有一个半圆形花坛（如右图），要在它周围围上一圈篱笆墙，至少需要篱笆多少米？

【分析与解】此题求需要篱笆的长度就是求半圆形的周长， 由半圆弧和直径组成， 3.14×10+10=41.4（米） 答：至少需要篱笆25.7米。 例2.家里来客人了，淘气到超市买了4瓶啤酒，售货员阿姨将4瓶啤酒捆扎在一起（如图所示），捆4圈至少要用绳子多少厘米？（接头处忽略不计）

【分析与解】用绳子捆4圈的长度就是指周长的4倍.

这个图形周长的组成部分可分为两类：线段的长度与弧的长度.不难发现4条弧可以拼成一个整圆，每条线段的长度都等于直径达长度。

这个图形周长等于圆的周长加上

4条直径的长度。

＋

3.14×7＋7×4=49.98（厘米） 49.98×4=199.92（厘米）

答：捆4圈至少要用绳子199.92厘米。

例3.如图所示，小猫和小狗要从A 点到B 点，小猫沿着大圆周走，小狗沿着小圆周走.已知小猫小狗的速度相同，问谁先到达B 点？ 【分析与解】设中圆直径为x,小圆直径为y ， 则大圆的直径为x+y ，

小猫走的是大圆周长的一半，所以所走的路程为：

1C =21π（x+y ）=21πx+2

1

πy

小狗走的是中圆周长的一半与小圆周长的一半的和，路程为

2C =21πx+2

1

πy

因为1C =2C ，而它们的速度又是相同的，所以小猫和小狗同时到达B 点。

例4.话说孙悟空惹恼了师傅唐僧，唐僧念起紧箍咒来，痛的孙悟空抱头叫嚷：“痛死我

也！”假如唐僧念咒语，使孙悟空头上的紧箍咒缩短了1厘米，并且认为紧箍咒呈圆形，那么紧箍咒陷入头皮多少毫米？（π≈3）

【分析与解】孙悟空头上的紧箍咒呈圆形，唐僧念咒语，使孙悟空头上的紧箍咒缩短了1厘米，也就是圆的周长比原来减少1厘米.

设紧箍咒原来的半径为R 厘米，唐僧念紧箍咒后半径变成r 厘米.

2πR －2πr=1，R －r=π

21

≈0.17（厘米）=1.7（毫米）

答：紧箍咒陷入头皮1.7毫米。 例5求下图中阴影部分的周长。 【分析与解】

空白部分的41

圆弧长就是整个大圆周长的

4

1

，则阴影部分的周长就是整个大圆周长 2×3.14×20=125.6（厘米）

答：阴影部分的周长是125.6厘米.

例 6 地球的赤道是一圆周，假设赤道上紧箍着一圈钢缆，现在要把这圈钢缆放松，使

20cm

它处处离地有1米高，这样，钢缆必须再接上一段，这段增加的长度应该是多少米？ 【分析与解】

这个问题无法实际操作，我们可以建立几何模型，

将问题变为：有大小两个同心圆，半径差为1米，

求两个圆周的周长差。（如图所示）

解：设小圆半径为r ，得：2π（r+1）-2πr=2π≈6.28（米） 例7 图中正方形AOCB 的边长为5厘米，EF 是20厘米，求这幅图 一周的长度是多少厘米？（π取3.14）

【分析与解】

这幅图的周长是由一个大圆周长的43和两个相等小圆周长的4

1 所组成的：

先求出大圆周长：3.14×20=62.8（厘米）

则62.8×43

=47.1（厘米）再求小圆周长：2×3.14×5=31.4（厘米）

则31.4×4

1

×2=15.7（厘米）

因此，一周长度为：47.1+15.7=62.8（厘米） 答：这幅图一周的长度是62.8厘米。

例8 一只小狗遇到一只豹子，撒腿就跑，豹子紧紧追赶，眼看就要追上小狗的时候，小狗逃到了一个圆形的池塘旁边，连忙跳进水里，豹子扑了个空，豹子并不甘心，它紧紧地盯着小狗，在池边跟着小狗跑，准备在小狗上岸时抓住它，豹子的奔跑速度是小狗游泳速度的2.5倍，问小狗有没有办法在它游上岸时不被豹子抓住？

【分析与解】很显然，如果小狗沿着池塘，伺机上岸，那么不管它游到哪里，豹子都有机会跟到那里，小狗一上岸就会被豹子抓住，如果小狗跳下水后沿着池塘直径游，等它游到岸边时，豹子也早已经在那等候了，这是因为，虽然小狗游的是直线，但由于半圆

周长只是直径的2

π

倍(约为1.57倍)，而豹子的速度却是小狗游水速度的2.5倍，小狗

还是逃不掉。

小狗要脱离险境就必须利用豹子只能沿着池塘边跑的特点，

拉大自己与豹子的路程的差距，小狗跳下池塘后先游到池塘中心， 看准豹子此时所在位置，然后朝相反方向游，如下图，A 是小狗 下水的位置，B 是豹子位置，C 是小狗将要上岸的位置，这样就在

小狗游OC 的距离（即半径长）时豹子却要跑半个圆周长，这是半

径的π倍（约3.14倍），尽管豹子的速度是小狗游水速度的2.5倍也晚了。

【基本训练】 一、选择

1、关于圆周率π说法正确的是（ ）

A π是直径和圆周长的比

B 圆周长是半径的π倍

C π是一个无限不循环小数

D π=3.14

2、时钟的分针长40厘米，求分针的针尖走一圈的距离，列式为（ ）

A 3.14×40

B 3.14×40×2

C 3.14×40×2

1

r 1 E A O B C F A B

C O