隐函数的极值求法

第30卷
第3期高师理科学刊Vol.30No.32010年5月Journal of Science of Teachers ′College and University May 2010
文章编号：1007-9831（2010）03-0017-03
隐函数的极值求法
冯秀红
（南京信息工程大学数理学院，江苏南京210044）
摘要：高等数学教材中讨论了一元显函数的极值问题，给出了判断函数极值的2个充分条件．基
于这2个充分条件研究了隐函数的极值．由于隐函数很多都不是单值函数，所以它的导数不存在
的点也可能是导数等于零的点，因此把隐函数的特殊点分为3类，然后分别判断它们是否为极值
点，这样丰富了函数的极值理论．
关键词：极值；隐函数；导数
中图分类号：O172.1文献标识码：A doi ：10.3969/j.issn.1007-9831.2010.03.006
在高等数学一元函数极值理论中，讨论的都是一元显函数的极值问题，对于隐函数的极值也有研究，文献[1]利用隐函数的对称性及第一、第二充分条件来判断隐函数的极值，文献[2]只简单地给出了一元隐函数与多元隐函数的极值判断方法，不够系统.由于很多隐函数不是单值函数，所以很多书中都不涉及此内容，有的教科书会有1~2个隐函数的例子却只讨论其部分点[3]，很多学生迷惑不解，本文主要讨论一元隐函数的极值问题．
首先给出关于极值理论的2个定理.
．定理1（极值第一充分条件）
[4]设函数)(x f 在0x 处连续，在0x 的某邻域),(0δx U o 内可导．（1）若当),(00x x U x δ∈时，0)(>′x f ，而当),(00δ+∈x x U x 时，0)(<′x f ，则)(x f 在0x 取极大
值；
（2）若当),(00x x U x δ∈时，0)(<′x f ，而当),(00δ+∈x x U x 时，0)(>′x f ，则)(x f 在0x 取极小值；
（3）若当),(0δx U x o ∈时，)(x f ′的符号不变，则)(x f 在0x 处没有极值．
定理2（极值第二充分条件）[5]设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数，且.
0)(,0)(00≠′′=′x f x f （1）若0)(0>′′x f ，则)(x f 在0x 取极小值；
（2）若0)(0<′′x f ，则)(x f 在0x 取极大值．
对于显函数)(x f y =的极值求解步骤如下：
（1）对函数求导：)(x f y ′=′；
（2）求出函数的定义域内2类特殊的点：导数等于零的点（驻点）以及导数不存在的点；
（3）对于（2）中求出的点用极值第一或第二充分条件判断是否为函数的极值点，进而求出极值．对于隐函数的极值求解，首先考察3个例子．
例1
设函数)(x f y =是由方程122=+y x 确定，试求出)(x f 的极值．解方程两边对x 求导得0=′+y y x ，化简得.y x y =′令0=′y ，得0=x ，代入原方程122=+y x ，得11=y ，12=y ．0=y 是y ′不存在的点，代入方程收稿日期：基金项目：江苏省高校自然科学基金（K D ）；南京信息工程大学科研基金资助项目（5）
作者简介：冯秀红（），女，山西运城人，讲师，博士，从事微分几何研究．：f x 6@632009-12-20
07J 11012720070121978-E-mail eng
18高师理科学刊第30卷122=+y x ，得,11=x 12=x ．
对于0=x ，利用极值的第二充分条件0,1|0,1<=′′）（y 01|10,
>=′′）（y ，所以)(x f y =在0=x 取得极小
值,1)0(=f 也取得极大值1)0(=f ．
对于0=y ，当11=x 时，对于11=x 的很小的邻域内的x ，由方程对应有0>y 和0<y 的点，所以11=x 不是函数的极值点．同样对于0=y ，当12=x 时，存在12=x 的很小的邻域内都可以取到0>y 和0<y 的值，所以12=x 也不是函数的极值点．本结论从圆的图形上也很容易看出．
例2
设函数)(x f y =是由方程3223323=+y xy x 确定，试求出)(x f 的极值．解
方程3223323=+y x y x 两边对x 求导得06633222=′+′y y y xy y x ，化简得=′+)2)((y y y x y x 0．
若0=y x ，代入方程3223323=+y xy x ，得320=，矛盾，因此0≠y x ，所以y y x y 2+=′．令0=′y ，即0=+y x ，代入方程3223323
=+y xy x ，解得2,2==y x ．y ′不存在的点，即,
0=y 代入方程3223323=+y xy x ，解得342=x ．对于2,2==y x ，利用极值的第二充分条件04
1|22->=′′），（y ，所以)(x f 在2=x 取得极小值.2)2(=f 对于0,423==y x ，若0=y 是函数的极小（或极大）值，则存在δ，当),42(3δo U x ∈时，0>y （或
0<y ），由y
y x y 2+=′，在此邻域内当0>y 时函数单调递增（当0<y 时函数单调递减），显然与函数的连续性矛盾，则在此邻域内函数一定可以取到0>y 和0<y 的值，所以342=x 不是原来函数的极值点．例3设函数)(x f y =是由方程)0(0333>=+a axy y x 确定，试求出)(x f 的极值．
解方程0333=+axy y x 两边对求导得022=′′+y ax ay y y x ，化简得a x y x ay
y =′22．
令0=′y ，即2x ay =，代入方程033
3=+a x y y x 解得a y a x 31314,2==；0,022==y x ．y ′不存在的点，即2y ax =，代入方程033
3=+axy y x 解得a y a x 33332,4==；0,044==y x ．对于a y a x 3
1314,2==，利用极值的第二充分条件：02|1
1,<=′′a y y x ）（，所以)(x f 在a x 312=取得极大值a a f 334)2(=．对于0,022==y x ，不能用第一、第二充分条件来判断，由于原来函数是连续的，且可以取到0>y 和0<y 的值，所以0=x 不是原来函数的极值点．
对于a y a x 33332,4==，若a y 332=是函数的极小（或大）值，则存在δ，当),4(3δa U x o ∈时，a y 32>（或a y 32<），由ax y x ay
y =′22，在此邻域内当a y 32>时函数是单调的（当a y 32<时函数也单调），显
然与函数的连续性矛盾，所以此邻域内可以得到a y 32>和a y 32<的函数的单调性，总之a x 334=不是函数的极值点．
通过例1~3，对于隐函数0),(=y x F 确定的函数的极值求解步骤归纳如下：
（1）利用隐函数求导方法求出)
,(),(y x g y x f y =′．（2）求出函数的定义域内特殊的点：导数等于零的点（驻点），即0),(,0),(≠=y x g y x f 的点；导数不存在的点0),(,0),(=≠y x g y x f 的点；有的隐函数还存在同时既是导数等于零的点又是导数不存在的点（如例3中的)0,0(点），即0),(,0),(==y x g y x f 的点．
（3）对于0),(,0),(≠=y x g y x f 的点一般用第二充分条件判断；对于0),(,0),(=≠y x g y x f 的点可用反证法说明或从函数方程来考虑，对于),(,),(==y x y x f 的点只能从函数本身来考虑．
00g
第3期冯秀红：隐函数的极值求法19参考文献：
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Method on extremum of implicit function
FENG Xiu-ho ng
（School of Mathematics and Science，Nanjing University of Information S cience and Technology，Nanjing210044，China）
Abstract：In higher mathematics boo k，it g ive tw o suff icient co ndition to judg e extreme o f explicit function.Gave the method about extremum o f implicit functio n based o n abov e two theorem，most o f implicit functio n is not mo nodro me function，so the po int hav e no deriv ativ e maybe also satisfy derivative equal to zero，then special point of implicit function be divided into three classes，w e think about them respectiv ely.Thus enrich the ex tremum theory.
Key w ords：extremum；implicit function；differential coefficient
（上接第16页）
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A new Fail-stop blind signature scheme
HE Jin-ni，XIN Xiao-lo ng
（Department of Mathematic，Northwest University，Xi’an710127，China）
Abstract：By using of the GDH group’s f eatures which DDHP can solv ed in poly no mial time，and w itho ut any possible algo rithm to solv e CDHP，combined with blind signatures and Fail-stop signature scheme，put f orw ard a new Fail-sto p blind sig nature scheme，and analysed the proposed scheme’s safety and efficiency simply.
Key w ords：Fail-stop；blind signature；GDH g ro up。