高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析

高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析
“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，如何解决
这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。

本文结合学生在考试中常见的29
个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考
中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以助你在高考
中乘风破浪，实现自已的理想报负。

【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思
维不全面。

例1、设
a??x|x2?8x?15?0?，b??x|ax?1?0?，b若ab?，谋实数a共同组成的子集的子集存有
多少个？
【易错点分析】此题由条件
ab?b易知b?a，由于空集就是任何非空集合的子集，但在解题中极容易忽略这种
b?b知b特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。

解析：子集a化简得a??3,5?，由a?a故（ⅰ）当b??时，即为方程ax?1?0难解，此
时a=0
符合已知条件（ⅱ）当b??时，即方程ax?1?0的解为3或5，代入得a?11或。

综上
满足条件的a组成的集合为35?11?3?0,,?，故其子集共有2?8个。

?35?【知识点归类点拔】（1）在应用条件a∪b＝ｂ?a∩b＝ａ?ａ集φ的情况优先进行讨论．
（2）在答疑子集问题时，必须特别注意子集的性质“确定性、无序性、互异性”特
别就是互异性对子集元素的管制。

有时须要展开检验解的结果就是满足用户子集中元素的
这个性质，此外，解题过程中要特别注意子集语言（数学语言）和自然语言之间的转变例如：
ｂ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合ａ是空
ax,y?|x2?y2?4?，bx,y?|?x?3y?4?22?r2?，其中r?0,若ab??谋r的值域范围。

将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合a表示以原点为圆心以2的
半径的圆，集合b表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离
或内含时，求半径r的取值范围。

思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。

此外如不等
式的解集等也要注意集合语言的应用。

【练1】已知集合
a??x|x2?4x?0?、b??x|x2?2?a?1?x?a2?1?0?，若b?a，则实数
1或a??1。

a的值域
范围是。

答案：a【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。

基准2、未知
x22y21,求x2?y2的取值范围4【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的
思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、y满足
x22y21这个条件中的两个变量的约束关系而导致定义域范围的不断扩大。

4解析：由于
x22y2y221得(x+2)=1-442
2
≤1，∴-3≤x≤-1从而x+y=-3x-16x-12=
222
+
283因此当x=-1时x+y存有最小值1,当x=-
82822
时，x+y存有最大值33。

故x+y的值域范围就是[1,
22
283]
-1-
【知识点归类点忽】事实上我们可以从解析几何的角度去认知条件?x?2?2y2??1对x、y的管制，似乎方程则表示以（-2，40）为中心的椭圆，则极易言-3≤x≤-1，?2?y?2。

此外本题还可以通过三角换元转变为三角最值解。

【易错点3】推论函数的奇偶性忽略函数
具备奇偶性的必要条件：定义域关于原点等距。

例3、判断函数
f(x)?lg?1?x2?x?2?2的奇偶性。

【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：f为非奇非偶
函数的错误结论。

(?x)?lg?1?x2?x?2?2?f?x?从而得出结论函数f?x?2??1?x?0解析：由函数的解析式言x满足用户?即为函数的定义域为??1,0?x?2??20,1?定义域关于原点等距，在定义域下
f?x??lg?1?x2??x易证
f??xf?x?即为函数为奇函数。

【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。

（2）函数
f?x?具备奇偶性，则f?x??f??x?或f?xf??x?就是对定义域内x的恒
等式。

常常利用这一点求解函数中字母参数的值。

【练3】判断下列函数的奇偶性：
①
f?x??4?x2?x2?4②f?xx?1?1?x1?x③
f?x??1?sinx?cosx1?sinx?cosx
答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数
【易错点4】证明或推论函数的单调性必须从定义启程，特别注意步骤的规范性及践行定义域优先的原则。

基准4、先行推论函数
f?x??ax?b?a?0,b?0?的单调性并给出证明。

x【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。

特别注意定义
x1?d,x2?df?x1??f?x2??f?x1??f?x2??中的x1,x2的任意性。

以及函数的单调区间必就是函数定义域的子
集，要树立定义域优先的意识。

解析：由于
f??xf?x?即为函数f?x?为奇函数，因此只需推论函数f?x?在?0,上的单调性即可。

设立
，
x1?x2?0axx?bf?x1??f?x2x1?x2?12x1x2由于
x1?x2?0故当
bx1,x2,a时
bb,0,上增函数，同理可证函数在上为减函数。

又由f?x1??f?x2??0，此时函数f?x?在?fxa???a????-2-
bbb于函数为奇函数，故函数在,?a??为增函数。

综上所述：函数f?x?在,?a??和?a,0??为减至函数，在b??b??b?,??0,,0?上分别为增函数，在和??上分别为减至函数.aa??a????【科学知识归类点忽】（1）函数的单调性广为
应用于比较大小、求解不等式、谋参数的范围、最值等问题中，应当引发足够多注重。

（2）单调性的定义等价于如下形式：f?x?在?a,b?上就是增函数?f?x1??f?x2??0，f?x?在?a,b?上就是减函x1?x2数?f?x1??f?x2??0，这说明多寡性的几何意义：减（减至）函
数的图象上任一两点?x1,f?x1??,?x2,f?x2??连x1?x2f?x??ax?b?a?0,b?0?就是一种关键的函数模型，必须引发注重并特别注意应用领域。

但备注x线的斜率都大于（大于）零。

（3）意本题中无法说道?b,?f?x?在a???b??b?,??0,上以增函数，
在a???ab????a,0??上以减至函数,在描述函??数的单调区间时无法在多个单调区间之间嵌入符号“∪”和“或”，【练4】
f?x??ax?1?x（2）设f?x?在?a?0?（1）用单调性的定义判断函数f?x?在?0,上的
单调性。

ax0?x?1的最小值为g?a?，谋y?g?a?的解析式。

12a111
答案：（1）函数在?,为增函数在?0,?为减至函数。

（2）
y?g?aa?a??a??a?0?a?1??【易错点5】在解题中误将必要条件并作充分条件或将既不充份与不能必要条件误为充要条件采用，引致错误结论。

基准5、未知函数
f?x??ax3?3x2?x?1上是减函数，求a的取值范围。

【易错点分析】f?件，例如
x0xa,b是f?x?在?a,b?内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条
f?xx3在r上递增，但f??x3x2?0。

2f??xx?6??3a解析：求函数的导数
（?x11）当
f??x??0时，
f?x?）
当
就是减至函数，则
2f??xx?6??3a?x1??0?a?0xr故
03Champsaur
a??3。

（2
a??3时，
1?8?（3）当a??3时，在r上存在一f?x3x3?3x2?x?1??3?x易知此时函数也在r上是减函数。

39??个区间在其上加
f??x??0，所以当a??3时，函数f?x?不是减函数，综上，所求a的取值范围
是,?3?。

f?x?可微，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为即曾表明：①f?(x)?0与f(x)为减
-3-
【科学知识归类点忽】若函数
函数的关系:
f?(x)?0能够面世f(x)为增函数，但反之不一定。

例如函数f(x)?x3在(??,??)上单调递减，但
f?(x)?0，∴f?(x)?0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

②f?(x)?0时，f?(x)?0与f(x)为增函数的关
系则:若将∴当
因为规定f?(x)?0，即抠去了分界点，此时f(x)为增函数，就一定有f?(x)?0。

f?(x)?0的根作为分界点，
f?(x)?0时，f?(x)?0就是f(x)为增函数的充份必要条件。

③f?(x)?0与f(x)为增函数的关系:f(x)为减
f?(x)?0，但反之不一定，因为f?(x)?0，即为f?(x)?0或f?(x)?0。

当函数在某个区间
函数，一定可以面世内恒存有
f?(x)?0，则f(x)为常数，函数不具有单调性。

∴f?(x)?0是f(x)为增函数的必要不充分条件。

函数的单
调性就是函数一条关键性质，也就是高中阶段研究的重点，我们一定必须把握住不好以上三个关系，用导数推论不好函数的单调性。

因此新教材为化解单调区间的端点问题，都一律用开区间做为单调区间，防止探讨以上问题，也精简了问题。

但在实际应用领域中还可以碰到端点的探讨问题，必须慎重处置。

【练5】函数a、by?x2?bx?c?x??0,就是就是单调函数的充要条件就是（）
0b、b?0c、b?0d、b?0
答案：a
【易错点6】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。

基准6、未知：a>0,b>0,a+b=1,谋(a+
1a)+(b+
2
1b)的最小值。

2
错解:(a+
1a)+(b+
2
1b)=a+b+
222
11+a2b2+4≥2ab+
2ab+4≥4
ab?11+4=8∴(a+
aab)+(b+
2
1b)的最小值是8
2
【易错点分析】上面的解答中，两次用到了基本不等式a+b≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=
条件ab=
22
12,第二次等号设立的
1ab2
，似乎，这两个条件就是无法同时设立的。

因此，8不是最小值。

2
2
2
2
2
解析：原式=a+b+
2
11111121++4=(a+b)+(+)+4=[(a+b)-2ab]+[(+)-]+4=(1-2ab)(1+)+4由
222222abababababa?b111111251ab≤()=得：1-2ab≥1-=,且22≥16，1+22≥17∴原式
≥317+4=(当且仅当a=b=
2422222abab1125时，等号成立)∴(a+)+(b+)的最小值是。

ab22
2
【科学知识归类点忽】在应用领域关键不等式解最值时，必须特别注意它的三个前提条件缺一不可即为“一正、二定、三成正比”，在解题中
容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。

【易错点7】牵涉指有型函数的单调性有关问题时，没根据性质展开分类探讨的意识和易忽略对数函数的真数的管制条件。

基准7、与否存有实数a并使函数
f?x??logaax2?x在
2,4上就是增函数？若存有算出a的值，若不存有，表明理由。

【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。

解析：函数
f?x?就是由??x??ax2?x和y?loga??x?无机而变成的，根据无机函数的单调性的推论方法（1）当a>1时，
-4-
若并使
2ax?x在?2,4?上是增函数，则??x??ax?x在?2,4?上是增函数且大于零。

故有
f?x??loga2?1??2ax解得a>1。

（2）当a<1时若使f?x??loga?2a2??4a?2?0?2?x在
2则??x??ax?x在?2,4??2,4?上就是增函数，
14ax上是减函数且大于零。

?2a不等式组无解。

综上所述存在实数a>1使得函数f?x??loga4??16a?4?0?上是增函数
2?x在
2,4【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）。

【练7】（1）设a?0，且a?1试求函数y?loga4?3x?x2的的单调区间。

答案：当03?333?
a1，a?1函数在??1,上单调递减在上单调递增当函数在上单调递增在,4?1,,4?
上2?2???2???2?
单调递增。

（2）若函数
11则a的取值范围是（）a、[,1)b、f?x??loga?x3?ax??a?0,a?1?在区间(?,0)内单调递增，
24399[,1)c、(,??)d、(1,)444答案：b.（记g2?x??x3?ax，则g'?x??3x2?a当a?1时，必须使f?x?就是增函数，则需要有g'?x??0恒设立，所
23?1?1?3?以a?3.矛盾.排除c、d当0?a?1时，要使f?x?是函数，则需有
g'?x??0恒成立，所以a?3.
44?2??2?确定a）
【易错点8】用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．
12谋siny?cosx的最大值31【易错点分析】此题学生都能够通过条件sinx?siny?将问题转变为关于sinx的函数，进而利用换元的思想而令
3t?sinx将问题变为关于t的二次函数最值求解。

但极易忽略换元前后变量的等价性而造成错解，
112解析：由未知条件存有siny??sinx且siny??sinx1,1?（融合sinx1,1）得??sinx?1，?333基准8、未知sinx?siny?而
siny?cos2x=
1?sinx?cos2x3=
sin2xsinx23令
2tsinxt1349。

则原式
=t2222?2??tt?1?根据二次函数配方得：当t??即sinx??333?3?时，原式获得最大值
【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而
-5-。