电工学 第3章 电路的暂态分析

换路定理
换路定理
利用换路定则，得到t=0+时的等效电路，即可计 算电路中其它电量的初始值。
t=0+ 时刻，电容C等效为电压源，其电压等于 uC (0+)；
uC(0+)=uC(0-)；——为换路前电容上的电压
电感L等效为电流源，其电流为iL(0+)。 iL(0+)=iL(0-)——为换路前电感中的电流
i u
L
di e L dt
di uL dt
2.当线圈中通过恒定电流时，其上电压u为零， 故电感元件可视为短路。 3.电感元件不消耗能量，是储能元件。
三、电容电路 1.电流、电压的关系 u
i
C
du iC dt
3.电容元件不消耗能量，是储能元件
3.2储能元件和换路定则
换路：引起电路工作状态变化的各种因素。 如：电路接通、断开或结构和参数发生变化等。 暂态：动态元件L的磁场能量WL=1/2LI2和C的 电场能量WC=1/2CUC2，在电路发生换路时 必定产生变化，由于这种变化持续的时间 非常短暂，通常称为“暂态”。 电路的暂态过程是由于储能元件的能量不能跃变 而产生的。
du c RC uc 0 dt
uc ' ' Ae
pt
RCp 1 0
1 1 p RC
计算线性电路暂态过程的步骤：



按换路后的电路列出微分方程式。 求微分方程式的特解，即稳态分量。 求微分方程式的补函数，即暂态分量。 按照换路定则确定暂态过程的初始值， 从而定出积分常数。 P87 例3.3.1
i 第三章 电路的暂态分析
3.1 电阻元件、电感元件与电容元件 3.2 储能元件和换路定则 3.3 RC电路的响应 3.4 一阶电路的三要素
t
作业：
3.1 电阻元件、电感元件与电容元件
一. 电阻电路 1.电流、电压的关系
u iR
u
i
R
2.电阻元件是耗能元件
二.电感电路 1.电流、电压、电动势的关系
二、零输入响应


定义：没有外界激励，仅仅只有电储能元件的储 能产生的响应。 如图：一阶RC电路，t〈0时，开关在位置1，电 路已处于稳态，电容电压Uc（0-）=Uo；当 t=0时，开关由位置1投向位置2，根据换路定 律，电容电压不能跃变，Uc（0-）=Uc（0+）=Uo 于是，电容电压由初始值开始，通过R放电，随 着时间的增长，电容电压和放电电流减小最后趋 向于零.
全响应＝零输入响应＋零状态响应
P91 例3.3.4
t
t
3.4一阶电路的三要素法
一阶电路的概念:
根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若微分方 程是一阶的，则该电路为一阶电路（一阶电路中一般仅含一 个储能元件。）如：
du C E Ri uC RC uC dt
三要素
1、f(∞）——它是指响应的稳态值，利用 电阻分析的方法求出的； 2、f（0+）——它是指响应的初始值，利 用换路定律和初始值等效电路求得； 3、——称为时间常数，对于一阶RC电路 而言，[ ]=[RC]，对于一阶RL电路而言， [ ]=[L/R]，单位秒
3.源自文库RC电路的响应
一、RC电路的零状态响应 概念：RC电路的零状态是指换路前电 容元件无储有能量， Uc（0-）＝0。 在此条件下，由电源激励所产生的电 路的响应称为零状态响应。
如图：一阶RC电路，t〈0时，开关在位置2，电 路已处于稳态，电容电压Uc（0-）=0，当t=0时， 开关由位置2投向位置1，根据换路定律， Uc（0-）=Uc（0+），电路的初始贮能为零，电 路中的响应由外加激励引起，电压源Us通过电 阻R对电容充电，电路中有充电电流i（t），电 容电压逐渐增高。则充电电流逐渐减小。最后 趋向于零。
t≥0时电路的微分方程为
du c RC uc 0 dt
uc U 0e
P90 例3.3.3

t

U 0e
t RC
三、RC电路的全响应

定义：指电源激励和电容元件的初始状态均 不为零时电路的响应，也就是零输入响应与 零状态响应两者的叠加。
uc U 0e U (1 e )
换路定理
求初始值的一般步骤
1. 由换路前电路（稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)； 2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)；
3. 由t=0+的等效电路图进而求出其它响应的0+值。
4.例题 P84例3.2.1


例：如图a所示：在开关闭合前，电路已处于稳 态。 当t=0时，开关闭合。 求初始值i1（0+），i2（0+）和ic（0+）。
解（1）首先求出开关闭合前的电容电压 Uc（0-）。由于开关闭合前电路已处于稳态， Uc（t）不在变化dUc/dt=0，故ic=0，电容可看 作开路。作出t=0-时的等效电路，如图b所示： 由图可得 Uc（0-）=12V
（2）作出t=0+时的等效电路，通常称为初始值
等效电路，根据换路定律，有Uc（0+）=Uc（0-） =12V，根据替代原理，在t=0+这一瞬间，电容 元件可用电压等于Uc（0+）的电压源代替。画 出t=0+时的初始值等效电路如图c所示：
（3）利用初始值等效电路，运用电阻电路的分析 方法求出各电流的初始值。
i1（0+）=（Us- Uc（0+））÷R1=（12-12）÷4=0
i2（0+）=Uc（0+）÷R2=12÷8=1.5A ic（0+）=i1（0+）-i2（0+）=0-1.5=-1.5A
由图ａ可知，换路前i1（0-）=i2（0-）=ic（0-）

分析RC电路的零状态响应，实际上是分析它的充电过程 根据基尔霍夫电压定律，列出t≥0时电路的微分方程
du c U Ri uc RC uc dt
该式的通解有两个部分：一个是特 解uc’，一个是补函数uc’’。
t 0
特解取电路的稳态值，或称稳 态分量。
uc’＝uc(∞)=U
补函数是齐次微分方程的通解，为暂态分量。