微分方程的基本概念,一阶微分方程

例1 验证 y = e x + e – x 是方程 y + 2y + y = 4e x 的解.
解 由 y =e x + e – x 得， y = e x - e - x, y = e x + e - x,
将 y，y 及 y 代入原方程的左边，有 (e x + e - x) + 2(e x - e - x) + e x +e – x =4 e x ,
求出积分得通解G( y) F ( x) C, 其 中G( y)，F ( x)分 别 是 1 ，f ( x)的 原 函 数.
g( y)
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对于积分后是对数的情形，按理都需作类 似于上述的讨论．为了避免不必要的重复，今 后对于积分后是对数的情形都作如下简化处 理．（以引例作示范）
分离变量得 两边积分得
上述讨论中所用的方法，是将常数 C变为待定函数C(x)，再通过确定C(x)而 求得方程解的方法，称为常数变易法.
例5 求方程 xy + y = cosx 满足y( )=1的特解.
解 运用常数变易法求解．
将所给的方程改写成：y 1 y 1 cos x xx
不难求出齐次方程
y 1 y 0的通解为y C .
常微分方程及其应用
微分方程的基本概念 一阶微分方程
一、微分方程的基本概念 二、可分离变量的微分方程
三、一阶线性微分方程
四、小结
一、微分方程的基本概念
引言 新产品推销速度问题（一种新产品问世， 如何采取有效措施，使得产品销量增大，以 获取 更大利润的问题）、生物种群数量变化问题（某生 物种群在其适应的环境下生存，讨论分析该生物种 群的数量变化情况的问题）、传染病传播问题（描 述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律， 预报传染病高潮的到来的问题）等都会用到著名的
x
x
设所给非齐次方程的通解为 y C( x) ,
x
则y
C( x) x
C( x) x2
,
将 y 及 y 代入该方程，得 C( x) 1 cos x, xx
解得C( x) cos x dx sin x C,
因此，原方程的通解为
y 1 sin x C ，C为任 意常数
x
将初始条件y( ) 1代入, 得C ,
e sin x
e cosxdxdx
C
esin x esin x esin xdx C
esin x x C ，C为 任 意 常 数
练习2 求方程 2y - y = ex 的通解.
解 运用通解公式求解．
将所给的方程改写成下列形式：
y 1 y 1 ex , 22
则
P( x) 1 , Q( x) 1 ex ,
马尔萨斯（Malthus）模型( 为，x常0 数):
dx x
(1 )
dt
x (0) x0
(2)
观察模型，易发现（1）式是含有未知函 数导数的方程．
定义 凡含有未知函数导数 (或微分) 的方程， 称为微分方程，未知函数是一元函数的微分方程称 为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称 为偏微分方程.
将初始条件 y(1) = 1/3代入通解，得 C =1/3， 故所求特解为 y = 1/3x3 .
二、可分离变量的微分方程
引例 已知一条曲线在任一点 P(x, y) 处的切
线斜率为 y ，且过点 (1, 2)，求此曲线方程. x
解 设所求曲线的方程为 y = y(x)，根据导数的
几何意义及题设条件， 得
即函数 y = e x +e – x 满足原方程，所以 y =e x + e – x是方程 y + 2y + y = 4e x的解.
例2 验证 y Cx3(C为 任意 常 数) 是方程3y-xy 0 的通解,并求满足初始条件 y(1) = 1/3 的特解.
解 由 y = Cx3 得 y = 3Cx2, 将y及y代入原方程的左边，有 3Cx3 - x3Cx2 = 0， 即函数 y = Cx3 满足原方程. 又因为该函数含有 一个任意常数，所以 y = Cx3 是一阶微分方程 3 y xy 0 的通解.
解 分离变量得 dy kdx,
y( y a)
即 ( 1 1 )dy kadx. ya y
两边积分，得 ln y a kax lnC. y
经整理，得方程的通解为
也可写为
y
a 1 Cekax
,
y
1
a Cekax
.
三、一阶线性微分方程
方程
y P( x) y Q( x)
(1)
称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q (x) 都是x的连
且
P(
x)
1
2 x2
x
,
则
P( x)dx
2 x
1 x2
dx
ln
x2
1 x
,
由通解公式得该方程的通解 1 y Cx2e x ,
将初始条件 y(1) = e 代入通解， 得 C = 1.
故所求特解为
1
y x2e x .
2. 一阶线性非齐次微分方程
当Q (x) ≠0时，与齐次的情形相对照，猜 想方程（1）的解为以下形式
y C( x)e P( x)dx (其中C( x)为待定函数（) 2）
两边求导，得
y
C( x) e P( x)dx
C(
x)
P( x) e P( x)dx
将 y 及 y 代入方程（1），得
C( x) e P( x)dx
C(
x)
P( x) e P( x)dx
P( x)C( x) e P( x)dx Q( x)
2
2
即 y2 1 C( x 1)2 , 所以方程的通解为
y2 C( x 1)2 1 （C为任意常数）
将初始条件 y(0) = -2 代入， 得 C = 3.
因此所求特解为 y2 3( x 1)2 1.
练习1 求方 程 dy ky( y a) 的通 解(其 中k 与
dx a 均 是 正 的 常 数).
即C( x) Q( x) e P( x)dx , 两边积分，得
C( x) Q( x) e P( x)dxdx C , 代入(4-3)，即得
一阶线性非齐次微分方程的通解公式：
y
e
P(
x )dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
C
(C为任意常数)
说明：通解公式的不定积分式表示 被积函数的一个原函数.
故而方程的通解是 y Cx(C为任意常数)
将（2）式代入上式，得 C 2.
所以，所求曲线的方程为 y 2x.
定义 形如dy f ( x)g( y)的方程，称为
dx 可分离变量的微分方程.
分离变量法：
(1) 分离变量
dy f ( x)dx. g( y)
(2) 两边积分
dy g( y)
f
( x)dx.
注意：本书仅讨论常微分方程，并简称微分方程.
如引 例方 程dx x及 ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0；
dt
4 y y sin x 5xy 0;
2y 2y t 2 4 x 2 0
都是微分方程，其中最后一个是偏微分方程．
定义 微分方程中出现的各阶导数的最高阶数称 为微分方程的阶．如果一个函数代入微分方程后，方 程两端恒等，则此函数称为该微分方程的解．如果微 分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数 的个数与微分方程的阶数相同， 那么这样的解称为微 分方程的通解．在通解中若使任意常数取某一定值， 或利用附加条件确定任意常数应取的值，这样所得的 解称为微分方程的特解．确定通解中任意常数的附加 条件称为初始条件．一个微分方程与其初始条件构成 的问题，称为初值问题.
因此所求特解为y 1 sin x .
x
例6 求方程 yesin x esin x y cos x 1 0的通解.
解 运用通解公式求解．将所给方程改写成
y y cos x esin x 则P( x) cos x，Q( x) esin x，
所以方程的通解为
y
e cosx dx
续函数. 当Q (x) ≡ 0时，方程(1)称为一阶线性齐次微
分方程；当Q (x) ≠ 0时， 方程（1）称为一阶线性
非齐次微分方程．
如 方 程y 2 y sin2 x ，y (sin x) y 0
x
x
都是一阶线性微分方程，其中第二个是齐次的．
1. 一阶线性齐次微分方程
当Q (x) ≡0时，方程(1)是可分离变量的． 分离变量，得 dy P( x)dx, y
【课外作业】
同步练习5.2：1（4、6），2（6）
【下次课讨论提纲】
可降阶微分方程
y y
(1)
x
y x1 2
(2)
将（1）改写为 dy 1 dx, yx
两边积分，得 ln | y | ln x C1 ,
化简得 | y | eC1 x , y eC1 x,
令 C2 eC ， 1 则 y C2 x，C2 0 .
此外，易看出y = 0 也是方程的解，所以
y C2 x中的C2可等于0 , 即C2 为任意常数．
两边积分，得 ln y P( x)dx lnC,
即得一阶线性齐次微分方程的通解公式：
y
Ce
P( x)dx
(C为任意常数)
例4 求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 满足初始
条件 y|x=1 = e 的特解. 解 将所给方程化为如下形式：
dy dx
1 2x x2
y
0,
这是一个线性齐次方程，
2
2
代入通解公式，得原方程的通解
y
e
P(
x )dx
Q(
x)e
P
(
x
)dx
dx
C
e
1 dx 2
1 2
e
x
e
1 2
dx
dx
C
x
e2
1 2
e
x
e
x 2
dx
C
xx
x
e 2 (e 2 C ) Ce 2 e x .
四、小结
微分方程的基本概念 （阶、解、通解、特解、初始条件、初值问题） 可分离变量的微分方程 （分离变量法、通解公式、方程形式的转化） 一阶线性微分方程 （齐次与非齐次方程的通解公式、常数变易法）
dy 1 dx, yx
ln y ln x lnC, ln y lnCx,
所以方程的通解为 y Cx, (C 为任意常数).
例3 求方程 (1-y2)dx + (xy-y)dy =0 满足初始条
件 y(0) = - 2 的特解.
y
1
解
分离变量，得
y2
dy 1
dx, x1
两边积分，得 1 ln( y2 1) ln(x 1) 1 lnC.