福建省永春县第一中学2018届高三上学期期初考试数学(理)试题含答案

永春一中2018届高三（上）期初考试数学（理）科试卷
考试时间:120分钟 试卷满分:150分 命题教师：李金进
第I 卷
一、选择题：本题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合(){}lg 10M x x =-<，集合{}11N x x =-≤≤，则M N ⋂=
A 。

()0,1
B 。

(]0,1 C. []1,1- D 。

[)1,1- 2. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z =
A ．32i +
B ．32i -
C ． 23i
+ D ．23i -
3. 已知等比数列｛a n ｝的73
=S
,若123
4,2,a a a 成等差数列，则=1a
A 。

1
B 。

2 C. 3 D. 4 4.
实数设14
79a -
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，15
97b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
2
7
log 9c =，的大小
关
系正确的是
A ．a ＜c ＜b
B ．a ＜b ＜c
C ．c ＜b ＜a
D ．b ＜c ＜a 框
5。

给出计算 的值的一个程序图如图，
其中判断框内应 填入的条件是
A ．i ＜10？
B ． i ＞10？
C ．i ＜20?
D ．i ＞20？
6.将函数
sin()cos()
22y x x ϕϕ=++的图象沿x 轴向右平移8π
个单位后， 得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是
A ．
54
π-
B ．4π
C ．
4
π
-
D ．34π
7.设函数()(21)x
f x e x ax a =--+，其中1a <,若存在唯一的整数0
x ,使得0
()0f x <，则a 的取值范围为 A ．
3[,1)2e -
B ．
33[,)24e -
C ．
33[
,)24e
D ．
3[
,1)2e
8。

甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场,共赛三场.每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为3
2，甲胜丙的概
率为4
1,乙胜丙的概率为5
1.则甲获第一名且丙获第二名的概率.
A 。

1211
B 。

6
1 C.
301
D.
152
9。

若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为
A.
380 B. 80
C 。

3
40 D.40
10。

公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius ）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数λ()1≠λ的动点轨迹为圆．后来人们
称该圆为阿波罗尼斯圆．若点B A ,为双曲线2
2
:1
3y C x -=的左、右焦点，
点N M ,为其左、右顶点。

直线l 为双曲线的其中一条渐近线,动点P 满足PB PA 2=
,记点P 的轨迹为C '，则
A ．点C M '∈
B ．点
C N '∈ C ．l 与C '相切
D ． l 与C '相交 11。

在棱长为3
的正方体
1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BD 上,且11
2
BP PD =
，M 为线段1
1
B C 上的动点,则三棱锥M PBC -的体积为 A ．1
B ．3
2
C ．92
D ．与M 点的位置有关
12。

如图，直角三角形纸片ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，D 为斜边
BC 中点,第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交
与点P 1；设P 1D 的中点为D 1，第2次将纸片折叠，使点A 与点
D 1重合，折痕与AD 交于点P 2；设P 2D 1的中点为D 2，第3次将
纸片折叠,使点A 与点D 2重合，折痕与AD 交于点P 3;…；设P n －
1
D n －2的中点为D n －1，第n 次将纸片折叠,使点A 与点D n －1重合，
折痕与AD 交于点P n (n ＞2），则AP 6的长为
A.
535
212
B.
36529
C.
536
214
D.
375211
第II 卷
二、填空题:本题共4小题，每小题5分.
13. 设变量x ，y 满足约束条件222y x x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则3z x y =-的最小值 ．
14. 学校为了解同学的上学的距离，随机抽取50
名同学，调查他们的居住地与学校的距离
d
(单位：千米）．若样本数据分组为[0,2],(2,4]，(4,6],
(6,8]
，
(8,10]
,
(10,12]
，由数据绘制的频率
分布直方图如图所示，则样本中同学与学校的距离不超过4千米的人数为 人． 15.
5)3(++y x 展开式中不含
y 的各项系数之和为 .
16.已知函数
()22
1f x x k x =+-。

任取实数[],,1,1a b c ∈-，以()()(),,f a f b f c 为三边长可
以构成三角形,则实数k 的取值范围为 。

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17。

（本小题满分12分）
在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且C A B C A sin sin sin sin sin 222-=+． （1）求B 的大小；
(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ,23AD =1BD =，求BAC ∠sin 的值．
18。

(本小题满分12分）
在一次文、理科学习倾向的调研中,对高一年段1000名学生进行文综、理综各一次测试（满分均为300分）．测试后，随机抽取若干名学生成绩（理综成绩记为X ,文综成绩记为Y ），将文综、理综成绩分差绝
(第17题)
A
B
C
D
对值Y
X-记为Z，并将其分组统计制成下表．
分
[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)[100,120)[120,140]
组
频
数418426648202
（Ⅰ）如果将样本中女生的Z值分布情况制成相应的频率分布直方图（如图所示)，已知[60,80)的频数为25．估计全体学生中，)20,0[∈Z的男、女生人数．
（Ⅱ）记文综、理综成绩分差绝对值的平均数为Z，如果将60
Z>称为整体具有显著学科学习倾向,估计年段女生的Z值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，并判断高一年段女生是否整体具有显著学科学习倾向．
19. （本小题满分12分）
如图，在等腰梯形ABCD中，//
===，60
AD DC CB
AB CD,1
∠=，四边形ACFE
ABC
为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，1
CF=.
（1）求证:BC⊥平面ACFE；
(2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB二面角的平面角为θθ≤，试求cosθ的取值范围。

(90)
20. （本小题满分12分)
已知椭圆122
22=+b y a x
（a ＞ b ＞ 0)的一个焦点是F （1，0），O 为
坐标原点.
(1）已椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；
(2）设过点F 的直线L 交椭圆于A,B 两点，若直线L 绕点F 任意转动，恒有|OA ｜2 + |OB ｜2 ＜｜AB|2，求a 的取值范围。

21。

（本小题满分12分） 已知函数
)()(R x xe x f x ∈=-
（1）求函数)(x f 的单调区间和极值；
（2）已知函数)(x f g =与函数)(x f y =的图像关于直线x = 1对称，证明：当x ＞1时,f （x ） ＞ g(x ）； （3)如果)()(,,2
1
2
1
x f x f x x =且，证明：＞221
x x
+。

请考生在22、23两题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时,请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22。

（本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线⎩⎨⎧-==t
y t x l 3:（为参数)，曲线⎩⎨
⎧+==θθ
sin 1cos :1y x C （θ为参数)，以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2
C 的方程为θ
θρsin 32
cos 2+-=．
（1）分别求曲线1
C 的极坐标方程和曲线2
C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 交曲线1
C 于A O ,两点,直线l 交曲线2
C 于B O ,两点，求AB 的长．
23。

（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()22,f x x x a a R =---∈． （1)当3a =时，解不等式()0f x >；
（2）当(),2x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围．
永春一中2018届高三（上）期初考数学（理科)参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.A 2。

C 3。

A 4.C 5。

B 6.B
7。

D 8.D 9.C 10。

D 11。

B 12.A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

13.-8 14.24 15.1024
16.(
)42
-
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.解:（1)C A B C A sin sin sin sin sin
222
-=+
ac
b c a -=+∴222
………2分
2221
cos 222
a c
b a
c B ac ac +-∴==-=-
………
4分
(0,)
B π∈
………5分
2
3
B π
∴=
………6分
(2)在ABD ∆中，由正弦定理：sin sin AD BD
B BAD =
∠
1sin 1sin 4
BD B BAD AD ∴∠=== ………
8分
217
cos cos212sin 12168BAC BAD BAD ∴∠=∠=-∠=-⋅
=
………10分
22715
sin 1cos 1()8BAC BAC ∴∠=-∠- ………12分
18.解：（Ⅰ）依题意，由频率分布直方图可知,
女生)80,60[∈Z 的频率为80320)1600
251600201600151600101600616001(1=
⨯+++++-， 故
33
20801600a =
÷=． (2)
分
由频率分布直方图可知，女生)80,60[∈Z 的频率为15
2064
16⋅=
． 则样本中女生总人数为5
258016÷
=． (4)
分
则女生)20,0[∈Z 的频数为
3
802031600⋅
⋅=．
结合统计表可知，男生)20,0[∈Z 的频数为431-=．………6分
又样本容量为200,故样本中，男、女生)20,0[∈Z 的频率分别为3
200
与1200
，
采用频率估计概率，样本估计总体的统计思想，年段1000名学生中,)20,0[∈Z 约有男生15名，女生5名．………8分
（Ⅱ)依题意,样本女生文、理综分差绝对值Y X Z -=平均数Z 约为
310201030508080200⨯
+⨯+⨯251561
709011013080808080+⨯+⨯+⨯+⨯=65.25． (10)
分
采用样本估计总体的统计思想，全体女生65.25Z ≈．
因为6025.65>,所以年段女生整体具有显著学科学习倾向…………12分
19.(1)证明:在梯形ABCD 中， ∵//AB CD ,1AD DC CB ===,60ABC ∠=, ∴2AB =,
∴2
222cos 603AC AB BC AB BC =+-••=， ∴2
22AB
AC BC =+,
∴BC AC ⊥,
∴平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE 平面ABCD AC =，BC ⊂平面ABCD , ∴BC ⊥平面ACFE 。

(2）由（1)可建立分别以直线,,CA CB CF 为x 轴,y 轴，z 轴的如图所示空间直角坐标系， 令(03)FM λλ=≤≤，则(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(,0,1)C A B M λ,
∴(3,1,0),(,1,1)AB BM λ=-=-.
设1
(,,)n
x y z =为平面MAB 的一个法向量，
由1100n AB n BM ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩，得300x y x y z λ⎧-+=⎪⎨-+=⎪
⎩， 取1x =，则1
(1,3,3)n λ=-，
∵2
(1,0,0)n =是平面FCB 的一个法向量，
∴
122212||11
cos ||||13(3)1(3)4
n n n n θλλ•=
==
++-⨯-+.
∵03λ≤≤，∴当0λ=时，cos θ有最小值7
7
，
当3λ=时，cos θ有最大值1
2,
∴
71cos [
,]72θ∈.
20.解（1）设M ，N 为短轴的两个三等分点，由△MNF 为正三角形，
3
,2OF MN =
即2
3b ，24b a ∴=∴=
椭圆的方程为
22
143x y +=. (4)
分
(2）AB 与x 轴重合,则
2
2
2
2
2
2
222,4,.
OA OB a AB a OA OB AB +==∴+<…5分
AB 与x 轴不重合，令AB 方程为1x my =+，联立22
221x y a b +=，即
22222222()20a b m y b my b a b +++-=，且2222
12122222222,b m b a b y y y y a b m a b m --+==
++, (7)
分
恒有222
OA OB AB +<，故AOB ∠为钝角,即12120OA OB x x y y =+<恒成立， (9)
分 整理得 2222222a b m a a b b >-+对于m R ∈恒成立，此时222a b m 的最小值为
0。

22220,a a b b ∴-+<
又2
21a
b -=，
222422(1),1
a a
b b a b a ∴<-=<=-,解得
a >
…12分
21.解：（1）()(1),x f x e x -'=-()f x 在(),1-∞上增，在()1,+∞上减，故()f x 在
x=1
处
取得极大值
11
(1)f e e -==
…4分
(2）因为函数()f x 的图像与()g x 的图像关于直线x=1对称,
所以()g x =2
(2)(2)x f x x e --=-，
令()()()F x f x g x =-，则2()(2)x x F x xe x e --=+-
又22
()(1)(1)x x F x x e e --'=--，当1x >时有()0F x '>，
()F x 在(1,)+∞上为增函数，∴()(1)0F x F >=. …8分
(3）
()f x 在(),1-∞上增，在()1,+∞上减,且12x x ≠，
∴x 1, x 2分别在直线x=1两侧，不妨设x 1<1，x 2>1, ∴1
2
()(),f x g x >即1
2
()(2)f x f x >-,∵2
1x
>∴221,x -<
又1
1,x < ∴1
22x
x >-∴122x x +>。

…12分
22.解：（1）圆的标准方程为：即：
圆的极坐标方程为：即：
圆的方程为:
即:
圆的直角坐标方程为：
（2)直线的极坐标方程为,圆的极坐标方程为：
所以
圆的方程为
所以
故
23.解：
………………（3分）
当时，,即，解得
；
当时,，即,所以； 当
时，
，即
，所以
，
不等式解集为;………………(5分)
（2）由题意，得当，不等式为
，
即
，解得
或恒成立，
则由条件，得
，即
,
故的取值范围．………………（10分)。