三次样条插值代码

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三次样条插值算法C++实现

三次样条插值算法C++实现三次样条插值算法1 总体说明三次样条插值算法是⼀种计算量和效果都⽐较理想的插值算法。

关于三次样条插值算法的原理这⾥不做过多的解释，下⾯的代码是我在⽹上收集了两种C++实现版本的基础上⾃⼰整合的⼀个版本。

由于本⼈刚接触C++不久，⽔平有限。

没有使⽤模板机制将代码做的更通⽤。

关于算法实现有下⾯⼏点说明。

1. 所有有关的类都被包含到SplineSpace命名空间中。

2. SplineSpace中⼀个有三个类分别是异常类(SplineFailure),接⼝类(SplineInterface)和实现类(Spline)。

有⼀个枚举类型说明边界条件(BoundaryCondition),取值为：GivenFirstOrder和GivenSecondOrder。

分别对应I型边界条件和II型边界条件。

3. 接⼝类定义了Spline在实现的过程中必须要有的三个⽅法：单点插值、多点插值和⾃动⽣成插值序列。

4. 异常类是可能被实现类抛出的类，如果在实现类的运⾏过程中出现了已知数据过少构造失败、使⽤了外插值、设定输出点数过少等⾏为会抛出该类。

因此应该将插值的过程⽤try...catch(SplineFailure sf)包裹起来。

如：double x0[2]={1,2};double y0[2]={3,4};try{SplineInterface* sp = new Spline(x0,y0,2);//...}catch(SplineFailure sf){cout<<sf.GetMessage()<<endl;}上⾯代码就会抛出异常并显⽰“构造失败,已知点数过少”。

2 插值⽅法调⽤2.1单点插值调⽤⽅法如下：#include <iostream>#include "Spline.h"using namespace std;using namespace SplineSpace;int main(void){//单点插值测试double x0[5]={1,2,4,5,6}; //已知的数据点double y0[5]={1,3,4,2,5};try{//Spline sp(x0,y0,5,GivenSecondOrder,0,0);SplineInterface* sp = new Spline(x0,y0,5); //使⽤接⼝，且使⽤默认边界条件double x=4.5;double y;sp->SinglePointInterp(x,y); //求x的插值结果ycout<<"x="<<x<<"时的插值结果为:"<<y<<endl;}catch(SplineFailure sf){cout<<sf.GetMessage()<<endl;}getchar(); //程序暂停}此时屏幕会输出"x=4.5时的插值结果为2.71107"。

第五章三次样条插值Spline

Lagrange插值
Cubic Spline
利用插值条件
S ( xi 1 ) yi 1 , S ( xi ) yi
定出积分常数,可以得到
( xi x ) 3 ( x x i 1 )3 S ( x ) M i 1 Mi 6hi 6hi yi 1 M i 1hi 6 hi yi M i hi ( xi x ) 6 hi (3.1) ( x xi 1 )
i
hi hi yi yi 1 M i 1 M i 6 3 hi
( xi 1 xi )2 ( xi xi )2 yi 1 yi hi 1 S ( x ) Mi M i 1 M i 1 M i 2hi 1 2hi 1 hi 1 6
对于I 类边界条件，S( x0 ) M0 , S( xn ) Mn
2 M 0 0 M1 0 n M n1 2 M n n
0 0, 0 2 M 0 n 0, n 2 M n
Cubic Spline
即得关于Mi (i = 0, 1, …, n)的 n+1 元线性方程组
其系数矩阵按行严格对角占优,故有唯一解. 可用追赶法求解. 对于II 类边界条件，S( x0 ) m0 , S( xn ) mn 利用(3.2)式， S ( x0 )
y1 y0 h1 h1 M 0 M1 m0 3 6 h1 6 y1 y0 2 M 0 M1 m0 0 ( 0 1) h1 h1
三次样条插值问题
定义设 a x0 x1 ... xn b 。三次样条函数 S( x) C
2

matlab三次样条插值例题解析

文章标题：深度解析Matlab三次样条插值1. 前言在数学和工程领域中，插值是一种常见的数值分析技术，它可以用来估计不连续数据点之间的值。

而三次样条插值作为一种常用的插值方法，在Matlab中有着广泛的应用。

本文将从简单到复杂，由浅入深地解析Matlab中的三次样条插值方法，以便读者更深入地理解这一技术。

2. 三次样条插值概述三次样条插值是一种利用分段三次多项式对数据点进行插值的方法。

在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。

该函数需要输入数据点的x和y坐标，然后可以根据需要进行插值操作。

3. 三次样条插值的基本原理在进行三次样条插值时，首先需要对数据点进行分段处理，然后在每个分段上构造出一个三次多项式函数。

这些多项式函数需要满足一定的插值条件，如在数据点处函数值相等、一阶导数相等等。

通过这些条件，可以得到一个关于数据点的插值函数。

4. Matlab中的三次样条插值实现在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。

通过传入数据点的x和y坐标，可以得到一个关于x的插值函数。

spline函数也支持在已知插值函数上进行插值点的求值，这为用户提供了极大的灵活性。

5. 三次样条插值的适用范围和局限性虽然三次样条插值在许多情况下都能够得到较好的插值效果，但也存在一些局限性。

在数据点分布不均匀或有较大噪音的情况下，三次样条插值可能会出现较大的误差。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。

6. 个人观点和总结通过对Matlab中三次样条插值的深度解析，我深刻地理解了这一插值方法的原理和实现方式。

在实际工程应用中，我会根据数据点的情况选择合适的插值方法，以确保得到准确且可靠的结果。

我也意识到插值方法的局限性，这为我在实际工作中的决策提供了重要的参考。

通过以上深度解析，相信读者已经对Matlab中的三次样条插值有了更加全面、深刻和灵活的理解。

在实际应用中，希望读者能够根据具体情况选择合适的插值方法，以提高工作效率和准确性。

三次样条插值计算算法

/* 三次样条插值计算算法*/#include "math.h "#include "stdio.h "#include "stdlib.h "/*N：已知节点数N+1R：欲求插值点数R+1x，y为给定函数f(x)的节点值{x(i)} (x(i) <x(i+1)) ,以及相应的函数值{f(i)} 0 <=i <=NP0=f(x0)的二阶导数；Pn=f(xn)的二阶导数u:存插值点{u(i)} 0 <=i <=R求得的结果s(ui)放入s[R+1] 0 <=i <=R返回0表示成功，1表示失败*/int SPL(int N,int R,double x[],double y[],double P0,double Pn,double u[],double s[]){/*声明局部变量*/double *h; /*存放步长:{hi} 0 <=i <=N-1 */double *a; /*存放系数矩阵{ai} 1 <=i <=N ；分量0没有利用*/ double *c; /*先存放系数矩阵{ci} 后存放{Bi} 0 <=i <=N-1 */double *g; /*先存放方程组右端项{gi} 后存放求解中间结果{yi} 0 <=i <=N */double *af; /*存放系数矩阵{a(f)i} 1 <=i <=N ；*/double *ba; /*存放中间结果0 <=i <=N-1*/double *m; /*存放方程组的解{m(i)} 0 <=i <=N ；*/int i,k;double p1,p2,p3,p4;/*分配空间*/if(!(h=(double*)malloc(N*sizeof(double)))) exit(1);if(!(a=(double*)malloc((N+1)*sizeof(double)))) exit(1);if(!(c=(double*)malloc(N*sizeof(double)))) exit(1);if(!(g=(double*)malloc((N+1)*sizeof(double)))) exit(1);if(!(af=(double*)malloc((N+1)*sizeof(double)))) exit(1);if(!(ba=(double*)malloc((N)*sizeof(double)))) exit(1);if(!(m=(double*)malloc((N+1)*sizeof(double)))) exit(1);/*第一步：计算方程组的系数*/for(k=0;k <N;k++)h[k]=x[k+1]-x[k];for(k=1;k <N;k++)a[k]=h[k]/(h[k]+h[k-1]);for(k=1;k <N;k++)c[k]=1-a[k];for(k=1;k <N;k++)g[k]=3*(c[k]*(y[k+1]-y[k])/h[k]+a[k]*(y[k]-y[k-1])/h[k-1]); c[0]=a[N]=1;g[0]=3*(y[1]-y[0])/h[0]-P0*h[0]/2;g[N]=3*(y[N]-y[N-1])/h[N-1]+Pn*h[N-1]/2;/*第二步：用追赶法解方程组求{m(i)} */ba[0]=c[0]/2;g[0]=g[0]/2;for(i=1;i <N;i++){af[i]=2-a[i]*ba[i-1];g[i]=(g[i]-a[i]*g[i-1])/af[i];ba[i]=c[i]/af[i];}af[N]=2-a[N]*ba[N-1];g[N]=(g[N]-a[N]*g[N-1])/af[N];m[N]=g[N]; /*P110 公式：6.32*/ for(i=N-1;i> =0;i--)m[i]=g[i]-ba[i]*m[i+1];/*第三步：求值*/for(i=0;i <=R;i++){/*判断u(i)属于哪一个子区间，即确定k */if(u[i] <x[0] || u[i]> x[N]){/*释放空间*/free(h);free(a);free(c);free(g);free(af);free(ba);free(m);return 1;}k=0;while(u[i]> x[k+1])k++;//p1=(h[k]+2*(u[i]-x[k])*pow((u[i]-x[k+1]),2)*y[k])/pow(h[k],3); //p2=(h[k]-2*(u[i]-x[k+1])*pow((u[i]-x[k]),2)*y[k+1])/pow(h[k],3);p1=(h[k]+2*(u[i]-x[k]))*pow((u[i]-x[k+1]),2)*y[k]/pow(h[k],3);p2=(h[k]-2*(u[i]-x[k+1]))*pow((u[i]-x[k]),2)*y[k+1]/pow(h[k],3); p3=(u[i]-x[k])*pow((u[i]-x[k+1]),2)*m[k]/pow(h[k],2);p4=(u[i]-x[k+1])*pow((u[i]-x[k]),2)*m[k+1]/pow(h[k],2);s[i]=p1+p2+p3+p4;}/*释放空间*/free(h);free(a);free(c);free(g);free(af);free(ba);free(m);return 0;}void main(){int N,R;double *x,*y,*u,*s;double P0,Pn;int i;/*验证算法：*/N=7;R=6;/*分配空间*/if(!(x=(double*)malloc((N+1)*sizeof(double)))){printf( "malloc error!\n ");exit(1);}if(!(y=(double*)malloc((N+1)*sizeof(double)))){printf( "malloc error!\n ");exit(1);}if(!(u=(double*)malloc((R+1)*sizeof(double)))){printf( "malloc error!\n ");exit(1);}if(!(s=(double*)malloc((R+1)*sizeof(double)))){printf( "malloc error!\n ");exit(1);}x[0]=0.5;x[1]=0.7;x[2]=0.9;x[3]=1.1;x[4]=1.3;x[5]=1.5;x[6]=1.7;x[7]=1.9;y[0]=0.4794;y[1]=0.6442;y[2]=0.7833;y[3]=0.8912;y[4]=0.9636;y[5]=0.9975;y[6]=0.9917;y[7]=0.9 463;u[0]=0.6;u[1]=0.8;u[2]=1.0;u[3]=1.2;u[4]=1.4;u[5]=1.6;u[6]=1.8;P0=-0.4794;Pn=-0.9463;if(!SPL( N, R, x, y, P0, Pn, u, s)){/*打印结果*/printf( "\nx= ");for(i=0;i <=N;i++)printf( "%8.1f ",x[i]);printf( "\ny= ");for(i=0;i <=N;i++)printf( "%8.4f ",y[i]);printf( "\n\nu= ");for(i=0;i <=R;i++)printf( "%9.2f ",u[i]);printf( "\ns= ");for(i=0;i <=R;i++)printf( "%9.5f ",s[i]);printf( "\nsin= ");for(i=0;i <=R;i++)printf( "%9.5f ",sin(u[i]));}/*释放空间*/free(x);free(y);free(u);free(s);}/* 测试数据来自课本55页例5 《数值分析》清华大学出版社第四版*/ //输入327.7 4.128 4.329 4.130 3.013.0 -4.0//输出输出三次样条插值函数：1: [27.7 , 28]13.07*(x - 28)^3 + 0.22*(x - 27.7)^3+ 14.84*(28 - x) + 14.31*(x - 27.7)2: [28 , 29]0.066*(29 - x)^3 + 0.1383*(x - 28)^3+ 4.234*(29 - x) + 3.962*(x - 28)3: [29 , 30]0.1383*(30 - x)^3 - 1.519*(x - 29)^3+ 3.962*(30 - x) + 4.519*(x - 29)//三次样条插值函数#include<iostream>#include<iomanip>using namespace std;const int MAX = 50;float x[MAX], y[MAX], h[MAX];float c[MAX], a[MAX], fxym[MAX];float f(int x1, int x2, int x3){float a = (y[x3] - y[x2]) / (x[x3] - x[x2]);float b = (y[x2] - y[x1]) / (x[x2] - x[x1]);return (a - b)/(x[x3] - x[x1]);} //求差分void cal_m(int n){ //用追赶法求解出弯矩向量M……float B[MAX];B[0] = c[0] / 2;for(int i = 1; i < n; i++)B[i] = c[i] / (2 - a[i]*B[i-1]);fxym[0] = fxym[0] / 2;for(i = 1; i <= n; i++)fxym[i] = (fxym[i] - a[i]*fxym[i-1]) / (2 - a[i]*B[i-1]);for(i = n-1; i >= 0; i--)fxym[i] = fxym[i] - B[i]*fxym[i+1];}void printout(int n);int main(){int n,i; char ch;do{cout<<"Please put in the number of the dots:";cin>>n;for(i = 0; i <= n; i++){cout<<"Please put in X"<<i<<':';cin>>x[i]; //cout<<endl;cout<<"Please put in Y"<<i<<':';cin>>y[i]; //cout<<endl;}for(i = 0; i < n; i++) //求步长h[i] = x[i+1] - x[i];cout<<"Please 输入边界条件\n 1: 已知两端的一阶导数\n 2:两端的二阶导数已知\n 默认:自然边界条件\n";int t;float f0, f1;cin>>t;switch(t){case 1:cout<<"Please put in Y0\' Y"<<n<<"\'\n";cin>>f0>>f1;c[0] = 1; a[n] = 1;fxym[0] = 6*((y[1] - y[0]) / (x[1] - x[0]) - f0) / h[0];fxym[n] = 6*(f1 - (y[n] - y[n-1]) / (x[n] - x[n-1])) / h[n-1];break;case 2:cout<<"Please put in Y0\" Y"<<n<<"\"\n";cin>>f0>>f1;c[0] = a[n] = 0;fxym[0] = 2*f0; fxym[n] = 2*f1;break;default:cout<<"不可用\n";//待定};//switchfor(i = 1; i < n; i++)fxym[i] = 6 * f(i-1, i, i+1);for(i = 1; i < n; i++){a[i] = h[i-1] / (h[i] + h[i-1]);c[i] = 1 - a[i];}a[n] = h[n-1] / (h[n-1] + h[n]);cal_m(n);cout<<"\n输出三次样条插值函数：\n";printout(n);cout<<"Do you to have anther try ? y/n :";cin>>ch;}while(ch == 'y' || ch == 'Y');return 0;}void printout(int n){cout<<setprecision(6);for(int i = 0; i < n; i++){cout<<i+1<<": ["<<x[i]<<" , "<<x[i+1]<<"]\n"<<"\t";/*cout<<fxym[i]/(6*h[i])<<" * ("<<x[i+1]<<" - x)^3 + "<<<<" * (x - "<<x[i]<<")^3 + "<<(y[i] - fxym[i]*h[i]*h[i]/6)/h[i]<<" * ("<<x[i+1]<<" - x) + "<<(y[i+1] - fxym[i+1]*h[i]*h[i]/6)/h[i]<<"(x - "<<x[i]<<")\n";cout<<endl;*/float t = fxym[i]/(6*h[i]);if(t > 0)cout<<t<<"*("<<x[i+1]<<" - x)^3";else cout<<-t<<"*(x - "<<x[i+1]<<")^3";t = fxym[i+1]/(6*h[i]);if(t > 0)cout<<" + "<<t<<"*(x - "<<x[i]<<")^3";else cout<<" - "<<-t<<"*(x - "<<x[i]<<")^3";cout<<"\n\t";t = (y[i] - fxym[i]*h[i]*h[i]/6)/h[i];if(t > 0)cout<<"+ "<<t<<"*("<<x[i+1]<<" - x)";else cout<<"- "<<-t<<"*("<<x[i+1]<<" - x)";t = (y[i+1] - fxym[i+1]*h[i]*h[i]/6)/h[i];if(t > 0)cout<<" + "<<t<<"*(x - "<<x[i]<<")";else cout<<" - "<<-t<<"*(x - "<<x[i]<<")";cout<<endl<<endl;}cout<<endl;}。

Opencv三次样条曲线（CubicSpline）插值

Opencv 三次样条曲线（CubicSpline ）插值本系列⽂章由 @YhL_Leo 出品，转载请注明出处。

⽂章链接：1.样条曲线简介样条曲线()本质是分段多项式实函数，在实数范围内有：，在区间上包含个⼦区间，且有：对应每⼀段区间的存在多项式：，且满⾜于：其中，多项式中最⾼次项的幂，视为样条的阶数或次数（Order of spline ），根据⼦区间的区间长度是否⼀致分为均匀（Uniform ）样条和⾮均匀（Non-uniform ）样条。

满⾜了公式的多项式有很多，为了保证曲线在区间内具有据够的平滑度，⼀条次样条，同时应具备处处连续且可微的性质：其中。

2.三次样条曲线2.1曲线条件按照上述的定义，给定节点：三次样条曲线满⾜三个条件：1. 在每段分段区间上，都是⼀个三次多项式；2. 满⾜;3. 的⼀阶导函数和⼆阶导函数在区间上都是连续的，从⽽曲线具有光滑性。

则三次样条的⽅程可以写为：其中，分别代表个未知系数。

曲线的连续性表⽰为：其中。

曲线微分连续性：其中。

曲线的导函数表达式：令区间长度，则有：S:[a,b]→R [a,b]k [,]t i−1t i a =<<⋯<<=bt 0t 1t k−1t k (1)i :[,]→R P it i−1t i S(t)=(t) , ≤t <,P 1t 0t 1S(t)=(t) , ≤t <,P 2t 1t 2⋮S(t)=(t) , ≤t ≤.P k t k−1t k (2)(t)P i [,]t i−1t i (2)S n ()=();P (j)i t i P (j)i+1t i (3)i =1,…,k −1;j =0,…,n −1t :z :a =t 0z 0<t 1z 1<⋯⋯<t k−1z k−1<t k z k=b(4)[,],i =0,1,…,k −1t i t i+1S(t)=(t)S i S()=,i =1,…,k −1t i z i S(t)(t)S ′(t)S ′′[a,b](t)=+(t −)+(t −+(t −,S i a i b i t i c i t i )2d i t i )3(5),,,a i b i c i d i n ()=,S i t i z i (6)()=,S i t i+1z i+1(7)i =0,1,…,k −1()=(),S ′i t i+1S ′i+1t i+1(8)()=(),S ′′i t i+1S ′′i+1t i+1(9)i =0,1,…,k −2=+2(t −)+3(t −,S ′i b i c i t i d i t i )2(10)(x)=2+6(t −),S ′′i c i d i t i (11)=−h it i+1t i(6)1. 由公式，可得：；2. 由公式，可得：；3. 由公式，可得：;；；4. 由公式，可得：；；；设，则：A.；B.将代⼊；C.将代⼊2.2端点条件在上述分析中，曲线段的两个端点和是不适⽤的，有⼀些常⽤的端点限制条件，这⾥只讲解⾃然边界。

三次样条插值c++代码实现及注释

一、引言在计算机编程和数据处理领域，插值是一种常见的数值分析方法，用于在已知数据点之间估算未知点的数值。

而三次样条插值是插值方法中的一种重要技术，它可以在使用较少插值节点的情况下，实现更为平滑和精确的插值结果。

本文将着重探讨三次样条插值的原理和C++代码实现，并给出详细的注释和解释。

二、三次样条插值的原理三次样条插值是一种分段插值方法，它将整个插值区间分割为若干个小区间，每个小区间内采用三次多项式进行插值。

这样做的好处是可以在每个小区间内实现更为细致和精确的插值，从而提高插值的准确性和平滑性。

而三次样条插值的核心在于确定每个小区间内的三次多项式的系数，一般采用自然边界条件进行求解。

在具体实现中，我们需要先对给定的插值节点进行排序，并求解出每个小区间内的三次多项式系数。

最终将这些系数整合起来，就可以得到整个插值区间的三次样条插值函数。

三、C++代码实现及注释接下来，我们将给出使用C++语言实现三次样条插值的代码，并对每个关键步骤进行详细注释和解释。

```cpp// include necessary libraries#include <iostream>#include <vector>using namespace std;// define the function for cubic spline interpolationvector<double> cubicSplineInterpolation(vector<double> x, vector<double> y) {// initialize necessary variables and containersint n = x.size();vector<double> h(n-1), alpha(n), l(n), mu(n), z(n), c(n), b(n), d(n);vector<double> interpolatedValues;// step 1: calculate the differences between x valuesfor (int i = 0; i < n-1; i++) {h[i] = x[i+1] - x[i];}// step 2: calculate alpha valuesfor (int i = 1; i < n-1; i++) {alpha[i] = (3/h[i]) * (y[i+1] - y[i]) - (3/h[i-1]) * (y[i] - y[i-1]); }// step 3: calculate l, mu, and z valuesl[0] = 1;mu[0] = 0;z[0] = 0;for (int i = 1; i < n-1; i++) {l[i] = 2*(x[i+1] - x[i-1]) - h[i-1]*mu[i-1];mu[i] = h[i]/l[i];z[i] = (alpha[i] - h[i-1]*z[i-1])/l[i];}l[n-1] = 1;z[n-1] = 0;c[n-1] = 0;// step 4: calculate coefficients for the cubic polynomials for (int j = n-2; j >= 0; j--) {c[j] = z[j] - mu[j]*c[j+1];b[j] = (y[j+1] - y[j])/h[j] - h[j]*(c[j+1] + 2*c[j])/3;d[j] = (c[j+1] - c[j])/(3*h[j]);}// step 5: interpolate values using the cubic polynomials for (int i = 0; i < n-1; i++) {double xi = x[i];while (xi < x[i+1]) {double dx = xi - x[i];double interpolatedValue = y[i] + b[i]*dx + c[i]*dx*dx + d[i]*dx*dx*dx;interpolatedValues.push_back(interpolatedValue);xi += 0.1; // adjust the step size for finer interpolation }}return interpolatedValues;}// main function for testing the cubic spline interpolation int main() {vector<double> x = {1, 2, 3, 4, 5};vector<double> y = {3, 6, 8, 10, 15};vector<double> interpolatedValues = cubicSplineInterpolation(x, y);for (int i = 0; i < interpolatedValues.size(); i++) {cout << "Interpolated value " << i << " : " << interpolatedValues[i] << endl;}return 0;}```四、总结与展望通过本文的学习，我们了解了三次样条插值的原理和C++代码实现。

三次样条插值matlab代码实现

三次样条插值matlab代码实现三次样条插值是一种常用的插值方法，可以用于曲线拟合和数据逼近。

在Matlab中，可以使用内置函数`interp1`来实现三次样条插值。

下面是一个简单的示例代码，演示了如何在Matlab中实现三次样条插值：matlab.% 创建一些示例数据。

x = 1:5;y = [3 6 5 8 2];% 生成更密集的x值，用于插值。

xi = 1:0.1:5;% 使用interp1进行三次样条插值。

yi = interp1(x, y, xi, 'spline');% 绘制原始数据和插值结果。

plot(x, y, 'o', xi, yi, '-');legend('原始数据', '三次样条插值');在这个示例中，我们首先创建了一些示例数据`x`和`y`，然后生成了更密集的`xi`值，用于插值。

接下来，我们使用`interp1`函数进行三次样条插值，并将结果存储在`yi`中。

最后，我们使用`plot`函数将原始数据和插值结果可视化出来。

需要注意的是，`interp1`函数中的第四个参数'spline'表示我们使用三次样条插值方法。

除了'spline'外，还可以选择'linear'（线性插值）或'pchip'（分段立方插值）等方法，具体选择取决于实际情况和数据特点。

以上就是在Matlab中实现三次样条插值的简单示例代码。

当然，实际应用中可能涉及到更复杂的数据和情况，需要根据具体问题进行相应的调整和处理。

希望这个示例能够帮助到你理解如何在Matlab中实现三次样条插值。

三次样条插值cubicsplineinterpolation

三次样条插值cubicsplineinterpolation什么是三次样条插值插值（interpolation）是在已知部分数据节点（knots）的情况下，求解经过这些已知点的曲线，然后根据得到的曲线进⾏未知位置点函数值预测的⽅法（未知点在上述已知点⾃变量范围内）。

样条(spline)是软尺(elastic ruler)的术语说法，在技术制图中，使⽤软尺连接两个相邻数据点，以达到连接曲线光滑的效果。

样条插值是⼀种分段多项式(piecewise polynomial)插值法。

数学上，曲线光滑需要在曲线上处处⼀阶导连续，因此，在节点处需要满⾜⼀阶导数相等。

另外，为了使得曲线的曲率最⼩，要求曲线⼆阶导连续【1】，在节点处需要⼆阶导相等。

三次及以上多项式可以满⾜节点处光滑和曲率最⼩要求，但是次数⾼的曲线容易震荡，因此，就选⽤三次多项式即可。

数学表述假设有n个已知节点：函数关系记为：。

在区间中插值多项式曲线：注意，这⾥头曲线为，尾曲线为。

插值在节点处满⾜条件：（1）曲线经过节点：（2）曲线⼀阶导连续（光滑）：（3）曲线⼆阶导连续（曲率最⼩）：边界条件：对两端节点的约束。

（B1）⾃然(natural (or free))边界条件（B2）固定(clamped)边界条件固定⼀阶导数： , 固定⼆阶导数： , （B3）⾮节点边界(not-a-knot ) 要求在第⼆个节点和倒数第⼆个节点，曲线的三阶导也连续：三次多样式函数的计算样条函数采⽤n-1个三次多项式，每个三次多项式有4个参数，⼀共是4n-4个参数，因此需要4n-4个⽅程。

条件（1）n-1个曲线每个两端经过节点，提供2（n-1）=2n-2个⽅程；条件（2）n-1个曲线相邻⼀阶导连续，提供n-2个⽅程；条件（3）n-1个曲线相邻⼆阶导连续，提供n-2个⽅程；以上⼀共是4n-6个⽅程，还需要2个⽅程，这两个⽅程由边界条件提供，条件（B1）, （B2）, （B3）每个均提供2个⽅程，这样就凑够了4n-4个⽅程。

自编的三次样条插值matlab程序(含多种边界条件)

ai yi , i 1, 2, n 1. 2 3 y2 y1 b1 x2 x1 c1 x2 x1 d1 x2 x1 , 2 3 y y b x x n 1 n 1 n n 1 cn 1 xn xn 1 d n 1 xn xn 1 n 由节点处的一阶与二阶光滑性可知： Si'1 xi Si' xi , Si"1 xi Si" xi , i 1, 2, , n.
" 又设 cn Sn 1 xn 2 ，记 i xi 1 xi , i yi 1 yi , i 1, 2, , n 1 ，则由 (1.3)可得：
ci 1 ci , i 1, 2, , n 1. 3 i 从（1.2）解得： bi i ci i di i2 i i 2ci ci 1 , i 1, 2, , n 1. i i 3 将(1.4)与(1.5)代入(1.3)得： di
556657758859956855666462658565452旋转前旋转后66577588599568666462658565452旋转前旋转后图表三旋转前后样条曲线几何比较比较上图中的两条曲线易知曲线不重合故有以下结论三三三次次次样样样条条条函函函数数数插插插值值值不不不具具具备备备几几几何何何不不不变变变性性性附附附录录录三次样条插值函数matlab的m文件程序functionyybcdspline3xyxxflagvlvr三次样条插值函数xy为插值节点xx为插值点flag表端点边界条件类型vlvr表左右端点处的在边界条件值
-5.6 -5.6 -5.7 -5.7 -5.8 -5.8 -5.9 -5.9 -6 -6 -6.1 -6.1 -6.2 -6.2 -6.3 -6.3 -6.4 5.5 -6.4 5.5 6 6.5 6.5 7 7.5 7.5 8 8.5 8.5 9

三次样条插值python代码

三次样条插值python代码三次样条插值Python代码介绍三次样条插值是一种常用的数值分析方法，可以用于数据的平滑处理和函数的近似拟合。

在Python中，可以使用SciPy库中的interpolate模块实现三次样条插值。

原理三次样条插值是将给定的数据点拟合成一组连续的三次函数，使得函数在每个数据点处具有一阶和二阶连续性。

这些函数被称为样条函数，它们是由一系列二次和三次多项式组成的。

代码实现下面是使用SciPy库中的interpolate模块进行三次样条插值的Python代码：```pythonimport numpy as npfrom scipy import interpolate# 生成随机数据x = np.linspace(0, 10, 10)y = np.sin(x)# 创建插值对象f = interpolate.interp1d(x, y, kind='cubic')# 插值计算xnew = np.linspace(0, 10, 100)ynew = f(xnew)# 绘制图像import matplotlib.pyplot as pltplt.plot(x, y, 'o', xnew, ynew)plt.show()```代码解析首先导入需要使用的库，包括NumPy、SciPy和Matplotlib。

然后生成随机数据x和y。

接着使用`interpolate.interp1d`创建一个插值对象f，其中kind参数指定为'cubic'表示使用三次样条插值。

最后，使用插值对象f对新的x值进行插值计算，并绘制出原始数据点和插值结果的图像。

代码优化在实际应用中，可能需要对三次样条插值进行优化，以提高计算效率和精度。

下面是一些常用的优化方法：1. 数据预处理：对原始数据进行平滑处理、去噪或滤波等操作，可以提高插值结果的精度。

2. 插值节点密度：如果节点密度过低，则可能导致插值结果不够精细；如果节点密度过高，则可能导致计算量过大。

三次样条插值的MATLAB实现

MATLAB 程序设计期中考查在许多问题中，通常根据实验、观测或经验得到的函数表或离散点上的信息，去研究分析函数的有关特性。

其中插值法是一种最基本的方法，以下给出最基本的插值问题——三次样条插值的基本提法：对插值区间[]b a ,进行划分：b x x x a n ≤<⋯⋯<<≤10，函数()x f y =在节点i x 上的值()()n i x f y i i ⋯⋯==,2,1,0，并且如果函数()x S 在每个小区间[]1,+i i x x 上是三次多项式，于[]b a ,上有二阶连续导数，则称()x S 是[]b a ,上的三次样条函数，如果()x S 在节点i x 上还满足条件()()n i y x S i i ⋯⋯==,1,0则称()x S 为三次样条插值函数。

三次样条插值问题提法：对[]b a ,上给定的数表如下.求一个分段三次多项式函数()x S 满足插值条件()()n i y x S i i ⋯⋯==,1,0 式，并在插值区间[]b a ,上有二阶连续导数。

这就需要推导三次样条插值公式：记()x f '在节点i x 处的值为()i i m x f ='(n i ⋯⋯=,1,0)(这不是给定插值问题数表中的已知值)。

在每个小区间[]1,+i i x x 利用三次Hermite 插值公式，得三次插值公式：()()()()1111+++++++=i i i i i i i i i m m x y x y x x S ββαα，[]1,+∈i i x x x 。

为了得到这个公式需要n 4个条件：(1).非端点处的界点有n 2个；(2).一阶导数连续有1-n 个条件；(3).二阶导数连续有1-n 个条件，其中边界条件：○1()()n n m x S m x S ='=' 00 ○2()()αα=''=''n x S x S 00 ○3()()()()16500403βααβαα=''+'=''+'n n x S x S x S x S○4n y y =0 ()()()()000000-''=+''-'=+'n nx S x S x S x S 其中：()⎩⎨⎧=≠=j i j i x j i,1,0α ()0='j i x α ()0=j i x β 且(1,0,=j i )。

三次样条插值（CubicSplineInterpolation）及代码实现（C语言）

三次样条插值（CubicSplineInterpolation）及代码实现（C语⾔）样条插值是⼀种⼯业设计中常⽤的、得到平滑曲线的⼀种插值⽅法，三次样条⼜是其中⽤的较为⼴泛的⼀种。

本篇介绍⼒求⽤容易理解的⽅式，介绍⼀下三次样条插值的原理，并附C语⾔的实现代码。

1. 三次样条曲线原理假设有以下节点1.1 定义样条曲线是⼀个分段定义的公式。

给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条⽅程满⾜以下条件：a. 在每个分段区间（i = 0, 1, …, n-1，x递增），都是⼀个三次多项式。

b. 满⾜（i = 0, 1, …, n ）c. ，导数，⼆阶导数在[a, b]区间都是连续的，即曲线是光滑的。

所以n个三次多项式分段可以写作：，i = 0, 1, …, n-1其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。

1.2 求解已知:a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, nb. 每⼀分段都是三次多项式函数曲线c. 节点达到⼆阶连续d. 左右两端点处特性（⾃然边界，固定边界，⾮节点边界）根据定点，求出每段样条曲线⽅程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。

插值和连续性：, 其中 i = 0, 1, …, n-1微分连续性：, 其中 i = 0, 1, …, n-2样条曲线的微分式：将步长带⼊样条曲线的条件：a. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出b. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出c. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出由此可得：d. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出设，则a. 可写为：，推出b. 将ci, di带⼊可得：c. 将bi, ci, di带⼊ (i = 0, 1, …, n-2)可得：端点条件由i的取值范围可知，共有n-1个公式，但却有n+1个未知量m 。

要想求解该⽅程组，还需另外两个式⼦。

所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。

三次样条插值的C程序(很全啊)

三次样条插值C/C++程序（自己整理的）具体推导看书<<数值分析>>code：#include <iostream>using namespace std;const int MAXN = 100;int n;double x[MAXN], y[MAXN]; //下标从0..ndouble alph[MAXN], beta[MAXN], a[MAXN], b[MAXN];double h[MAXN];double m[MAXN]; //各点的一阶导数;inline double sqr(double pa) {return pa * pa;}double sunc(double p, int i) {return (1 + 2 * (p - x[i]) / (x[i + 1] - x[i])) * sqr((p - x[i + 1]) / (x[i + 1] - x[i])) * y[i] + (1 + 2 * (p - x[i + 1]) / (x[i] - x[i + 1])) * sqr((p - x[i]) / (x[i + 1] - x[i])) * y[i + 1] + (p - x[i]) * sqr((p - x[i + 1]) / (x[i] - x[i + 1])) * m[i]+ (p - x[i + 1]) * sqr((p - x[i]) / (x[i + 1] - x[i])) * m[i + 1];}int main() {int i, j;freopen("threeInsert.in", "r", stdin);scanf("%d", &n);for (i = 0; i <= n; i++) scanf("%lf%lf", &x[i], &y[i]);// scanf("%lf%lf", &m[0], &m[n]);for (i = 0; i <= n - 1; i++) h[i] = x[i + 1] - x[i];//第一种边界条件//alph[0] = 0; alph[n] = 1; beta[0] = 2 * m[0]; beta[n] = 2 * m[n];//第二种边界条件alph[0] = 1; alph[n] = 0; beta[0] = 3 * (y[1] - y[0]) / h[0]; beta[n] = 3 * (y[n] - y[n - 1] / h[n - 1]);for (i = 1; i <= n - 1; i++) {alph[i] = h[i - 1] / (h[i - 1] + h[i]);beta[i] = 3 * ((1 - alph[i]) * (y[i] - y[i - 1]) / h[i - 1] + alph[i] * (y[i + 1] - y[i]) / h[i]);}a[0] = - alph[0] / 2; b[0] = beta[0] / 2;for (i = 1; i <= n; i++) {a[i] = - alph[i] / (2 + (1 - alph[i]) * a[i - 1]);b[i] = (beta[i] - (1 - alph[i]) * b[i - 1]) / (2 + (1 - alph[i]) * a[i - 1]);}m[n + 1] = 0;for (i = n; i >= 0; i--) {m[i] = a[i] * m[i + 1] + b[i];}scanf("%lf", &xx);for (i = 0; i < n; i++) {if (xx >= x[i] && xx <= x[i + 1]) break;}printf("%lf\n", sunc(xx, i));}#include<iostream>#include<iomanip>using namespace std;const int MAX = 50;float x[MAX], y[MAX], h[MAX];//变量设置：x为各点横坐标；y为各点纵坐标；h为步长float c[MAX], a[MAX], fxym[MAX];float f(int x1, int x2, int x3)/*****************求差分函数(含三个参数)****************************/{float a = (y[x3] - y[x2]) / (x[x3] - x[x2]);float b = (y[x2] - y[x1]) / (x[x2] - x[x1]);return (a - b)/(x[x3] - x[x1]);}void cal_m(int n)/***********************用追赶法求解出弯矩向量M……***************************/{float B[MAX];B[0] = c[0] / 2;for(int i = 1; i < n; i++)B[i] = c[i] / (2 - a[i]*B[i-1]);//fxym[0] = fxym[0] / 2;for(i = 1; i <= n; i++)fxym[i] = (fxym[i] - a[i]*fxym[i-1]) / (2 - a[i]*B[i-1]);for(i = n-1; i >= 0; i--)fxym[i] = fxym[i] - B[i]*fxym[i+1];}void printout(int n);int main(){int n,i; char ch;do{cout<<"请输入已知断点个数:";cin>>n;for(i = 0; i <= n; i++){cout<<"Please put in X"<<i<<':';cin>>x[i]; //cout<<endl;cout<<"Please put in Y"<<i<<':';cin>>y[i]; //cout<<endl;}for(i = 0; i < n; i++) //求步长；其数组值较之x，y个数少一h[i] = x[i+1] - x[i];cout<<"Please 输入边界条件\n 1: 已知两端的一阶导数\n 2:两端的二阶导数已知\n 默认:自然边界条件\n";int t;float f0, f1;cin>>t;switch(t){case 1:cout<<"Please put in Y0\' Y"<<n<<"\'\n";//显示数据为Y0'至Yn'，即断点的一阶导数cin>>f0>>f1;c[0] = 1; a[n] = 1;fxym[0] = 6*((y[1] - y[0]) / (x[1] - x[0]) - f0) / h[0];fxym[n] = 6*(f1 - (y[n] - y[n-1]) / (x[n] - x[n-1])) / h[n-1];break;case 2:cout<<"Please put in Y0\" Y"<<n<<"\"\n";//显示数据为Y0"至Yn"，即断点的二阶导数cin>>f0>>f1;c[0] = a[n] = 0;fxym[0] = 2*f0; fxym[n] = 2*f1;break;default:cout<<"不可用\n";//待定};//switchfor(i = 1; i < n; i++)fxym[i] = 6 * f(i-1, i, i+1);//调用差分函数(only!) for(i = 1; i < n; i++){a[i] = h[i-1] / (h[i] + h[i-1]);c[i] = 1 - a[i];}a[n] = h[n-1] / (h[n-1] + h[n]);cal_m(n);//调用弯矩函数（only！）cout<<"\n输出三次样条插值函数：\n";printout(n);//调用求解三次样条插值函数；函数输出cout<<"Do you to have anther try ? y/n :";cin>>ch;}while(ch == 'y' || ch == 'Y');return 0;}void printout(int n)/***************求三次样条插值函数（因已知断点个数而异）***********************/{cout<<setprecision(6);//通过操作器setprecision()设置有效位数；其为头文件<iomanip.h>所包含；括号内为参数。

用vb实现利用三次样条插值函数进行编程

用vb实现利用三次样条插值函数进行编程网友 cz5360 于提问vb三次样条插值函数绘图Dim X(1000) As Single, Y(1000) As SingleDim u1(0 To 80000) As Single, v1(0 To 80000) As SingleDim num As LongDim t As IntegerPrivate Declare Sub Sleep Lib "kernel32" (ByVal dwMilliseconds As Long)Dim de As IntegerDim ToInit As BooleanDim DownX As Single, DownY As SingleSub Drawposi(Index As Integer)Me.Picture1.ForeColor = 0Me.Picture1.Line (0, Y(Index))-(1024, Y(Index))Me.Picture1.Line (X(Index), 0)-(X(Index), 770)End SubFunction hypot(ByVal X As Single, ByVal Y As Single)hypot = Sqr(X ^ 2 + Y ^ 2)End FunctionSub MovePic(Index As Integer)Dim i As IntegerX(Index) = Picture2(Index).Left + 4Y(Index) = Picture2(Index).Top + 4lblX.Caption = "X: " + CStr(CInt(X(Index)))lblY.Caption = "Y: " + CStr(CInt(Y(Index)))lblX.RefreshlblY.RefreshMe.Picture1.ClsMe.Picture1.ForeColor = QBColor(10)For i = 0 To t - 1Me.Picture1.CurrentX = X(i) + 4Me.Picture1.CurrentY = Y(i) + 4Me.Picture1.Print iNext iEnd SubPrivate Sub Command1_Click()Dim i As Long'Picture1.Scale (0, 0)-(640, 550)DrawWidth = 3Picture1.Cls'If Check1.Value Then Command2_Click'X(0) = 1'Y(0) = 1'X(t - 1) = 638'Y(t - 1) = 548Picture1.ForeColor = QBColor(10)For i = 0 To t - 1Picture1.Line (X(i) - 1, Y(i) - 1)-(X(i) + 1, Y(i) + 1), QBColor(10), B Picture1.Print iNext iPicture1.ForeColor = QBColor(12)DrawWidth = 1tspLine t - 1, 2, 0, 0, 0, 0Picture1.PSet (u1(0), v1(0))For i = 1 To num - 1Picture1.Line -(u1(i), v1(i))'For de = 1 To 12000: Next de 'Sleep 1Next iPicture1.ForeColor = QBColor(10)For i = 0 To t - 1Picture1.Line (X(i) - 1, Y(i) - 1)-(X(i) + 1, Y(i) + 1), QBColor(10), B Picture1.Print iNext iEnd SubPrivate Sub Command2_Click()Dim i As IntegerRandomize TimerToInit = Not ToInitIf ToInit Thenmand1.Enabled = Falsemand2.Caption = "结束初始化"Me.ClsFor i = 1 To t - 1Load Me.Picture2(i)Next iFor i = 0 To t - 1Picture2(i).Left = X(i) - 4Picture2(i).Top = Y(i) - 4Picture2(i).Visible = TrueNext iPicture1.ClsMe.Picture1.ForeColor = QBColor(10)For i = 0 To t - 1Picture1.Line (X(i) - 1, Y(i) - 1)-(X(i) + 1, Y(i) + 1), QBColor(10), BPicture1.Print iNext iElsemand1.Enabled = Truemand2.Caption = "开始初始化"For i = 1 To t - 1Unload Me.Picture2(i)Next iMe.Picture2(0).Visible = FalseEnd IfExit SubFor i = 0 To tX(i) = Rnd(1) * 500 + Rnd(1) * 50 + 12Y(i) = Rnd(1) * 400 + Rnd(1) * 100 + 12'X(i) = i * 20 + Rnd(1) * 10 + 12'Y(i) = i * 10 + Rnd(1) * 300 + 22 - Rnd(1) * 200Next iEnd SubSub tspLine(ByVal n As Integer, ByVal ch As Integer, ByVal tx1 As Single, ByVal tx2 As Single, ByVal ty1 As Single, ByVal ty2 As Single)Dim a(1000) As Single, b(1000) As Single, c(1000) As Single, dX(1000) As Single, dY(1000) As SingleDim qx(1000) As Single, qy(1000) As SingleDim tt As Single, bx3 As Single, bx4 As Single, by3 As Single, by4 As Single Dim cx As Single, cy As Single, t(1000) As Single, px(1000) As Single,py(1000) As SingleDim u(3000) As Single, v(3000) As Single, i As Integernum = 0For i = 1 To nt(i) = hypot(X(i) - X(i - 1), Y(i) - Y(i - 1))Next iSelect Case chCase 0 '抛物条件u(0) = (X(1) - X(0)) / t(1): u(1) = (X(2) - X(1)) / t(2)u(2) = (u(1) - u(0)) / (t(2) + t(1))tx1 = u(0) - u(2) * t(1)u(0) = (Y(1) - Y(0)) / t(1): u(1) = (Y(2) - Y(1)) / t(2)u(2) = (u(1) - u(0)) / (t(2) + t(1))ty1 = u(0) - u(2) * t(1)u(0) = (X(n) - X(n - 1)) / t(n): u(1) = (X(n - 1) - X(n - 2)) / t(n - 1)u(2) = (u(0) - u(1)) / (t(n) + t(n - 1))tx2 = u(0) + u(2) * t(n)u(0) = (Y(n) - Y(n - 1)) / t(n): u(1) = (Y(n - 1) - Y(n - 2)) / t(n - 1)u(2) = (u(0) - u(1)) / (t(n) + t(n - 1))ty2 = u(0) + u(2) * t(n)Case 1 '夹持条件a(0) = 1: c(0) = 0: dX(0) = tx1: dY(0) = ty1a(n) = 1: b(n) = 0: dX(n) = tx2: dY(n) = ty2Case 2 '自由条件a(0) = 2: c(0) = 1dX(0) = 3 * (X(1) - X(0)) / t(1): dY(0) = 3 * (Y(1) - Y(0)) / t(1)a(n) = 2: b(n) = 1dX(n) = 3 * (X(n) - X(n - 1)) / t(n): dY(n) = 3 * (Y(n) - Y(n - 1)) / t(n)Case 3 '循环条件a(0) = 2: c(0) = 1dX(0) = 3 * (X(1) - X(0)) / t(1) - (t(1) * (X(2) - X(1)) / t(2) - X(1) + X(0)) / (t(1) + t(2))dY(0) = 3 * (Y(1) - Y(0)) / t(1) - (t(1) * (Y(2) - Y(1)) / t(2) - Y(1) + Y(0)) / (t(1) + t(2))a(n) = 2: b(n) = 1dX(n) = 3 * (X(n) - X(n - 1)) / t(n)dX(n) = dX(n) + (X(n) - X(n - 1) - t(n) * (X(n - 1) - X(n - 2)) / t(n - 1)) / (t(n) + t(n - 1))dY(n) = 3 * (Y(n) - Y(n - 1)) / t(n)dY(n) = dY(n) + (Y(n) - Y(n - 1) - t(n) * (Y(n - 1) - Y(n - 2)) / t(n - 1)) / (t(n) + t(n - 1))End Select'计算方程组系数阵和常数阵For i = 1 To n - 1a(i) = 2 * (t(i) + t(i + 1)): b(i) = t(i + 1): c(i) = t(i)dX(i) = 3 * (t(i) * (X(i + 1) - X(i)) / t(i + 1) + t(i + 1) * (X(i) - X(i - 1)) / t(i))dY(i) = 3 * (t(i) * (Y(i + 1) - Y(i)) / t(i + 1) + t(i + 1) * (Y(i) - Y(i - 1)) / t(i))Next i'采用追赶法解方程组c(0) = c(0) / a(0)For i = 1 To n - 1a(i) = a(i) - b(i) * c(i - 1): c(i) = c(i) / a(i)Next ia(n) = a(n) - b(n) * c(i - 1)qx(0) = dX(0) / a(0): qy(0) = dY(0) / a(0)For i = 1 To nqx(i) = (dX(i) - b(i) * qx(i - 1)) / a(i)qy(i) = (dY(i) - b(i) * qy(i - 1)) / a(i)Next ipx(n) = qx(n): py(n) = qy(n)For i = n - 1 To 0 Step -1px(i) = qx(i) - c(i) * px(i + 1)py(i) = qy(i) - c(i) * py(i + 1)Next i'计算曲线上点的坐标For i = 0 To n - 1bx3 = (3 * (X(i + 1) - X(i)) / t(i + 1) - 2 * px(i) - px(i + 1)) / t(i + 1)bx4 = ((2 * (X(i) - X(i + 1)) / t(i + 1) + px(i) + px(i + 1)) / t(i + 1)) / t(i + 1) by3 = (3 * (Y(i + 1) - Y(i)) / t(i + 1) - 2 * py(i) - py(i + 1)) / t(i + 1)by4 = ((2 * (Y(i) - Y(i + 1)) / t(i + 1) + py(i) + py(i + 1)) / t(i + 1)) / t(i + 1) tt = 0While (tt <= t(i + 1))cx = X(i) + (px(i) + (bx3 + bx4 * tt) * tt) * ttcy = Y(i) + (py(i) + (by3 + by4 * tt) * tt) * ttu1(num) = cx: v1(num) = cy: num = num + 1: tt = tt + 0.5Wendu1(num) = X(i + 1): v1(num) = Y(i + 1): num = num + 1Next iEnd SubPrivate Sub Form_Load()Dim i As Integert = 30ToInit = False'Picture1.Scale (0, 0)-(640, 550)Randomize Timermand2.Caption = "开始初始化"For i = 0 To tX(i) = Rnd(1) * 500 + Rnd(1) * 50 + 12Y(i) = Rnd(1) * 400 + Rnd(1) * 100 + 12Next iFor i = 0 To tX(i) = i * 30 + 20Y(i) = i * 20 + 20Next i'Me.Picture1.Picture = LoadPicture("c:\my documents\MenuBack.bmp") Me.Picture1.BackColor = QBColor(0)End SubPrivate Sub Form_Resize()On Error Resume NextMe.Picture1.Height = Me.ScaleHeight - 40End SubPrivate Sub Form_Unload(Cancel As Integer)EndEnd SubPrivate Sub Picture2_MouseDown(Index As Integer, Button As Integer, Shift As Integer, X As Single, Y As Single)On Error Resume NextIf Button = 1 ThenDownX = XDownY = YPicture2(Index).ZOrder 0Picture2(Index - 1).BackColor = QBColor(12)Picture2(Index + 1).BackColor = QBColor(12)lblX.Caption = "X: " + CStr(CInt(Picture2(Index).Left + 4))lblY.Caption = "Y: " + CStr(CInt(Picture2(Index).Top + 4))lblX.RefreshlblY.RefreshMovePic IndexDrawposi IndexEnd IfEnd SubPrivate Sub Picture2_MouseMove(Index As Integer, Button As Integer, Shift As Integer, X As Single, Y As Single)If Button = 1 ThenPicture2(Index).Left = Picture2(Index).Left - DownX + XPicture2(Index).Top = Picture2(Index).Top - DownY + YMovePic IndexCommand1_ClickDrawposi IndexEnd IfEnd SubPrivate Sub Picture2_MouseUp(Index As Integer, Button As Integer, Shift As Integer, X As Single, Y As Single)On Error Resume NextIf Button = 1 ThenDownX = XDownY = YPicture2(Index - 1).BackColor = QBColor(15)Picture2(Index + 1).BackColor = QBColor(15)'MovePic IndexlblX.Caption = "X:"lblY.Caption = "Y:"lblX.RefreshlblY.RefreshCommand1_ClickEnd IfEnd Sub三次样条插值函数高次插值函数的计算量大,有剧烈振荡,且数值稳定性差；在分段插值中，分段线性插值在分段点上仅连续而不可导，分段三次埃尔米特插值有连续的一阶导数，如此光滑程度常不能满足物理问题的需要，样条函数可以同时解决这两个问题,使插值函数既是低阶分段函数,又是光滑的函数，并且只需在区间端点提供某些导数信息。

python实现三次样条插值

python实现三次样条插值本⽂实例为⼤家分享了python实现三次样条插值的具体代码，供⼤家参考，具体内容如下函数：算法分析三次样条插值。

就是在分段插值的⼀种情况。

要求：在每个分段区间上是三次多项式（这就是三次样条中的三次的来源）在整个区间（开区间）上⼆阶导数连续（当然啦，这⾥主要是强调在节点上的连续）加上边界条件。

边界条件只需要给出两个⽅程。

构建⼀个⽅程组，就可以解出所有的参数。

这⾥话，根据第⼀类样条作为边界。

（就是知道两端节点的导数数值，然后来做三次样条插值）但是这⾥也分为两种情况，分别是这个数值是随便给的⼀个数，还是说根据函数的在对应点上数值给出。

情况⼀：两边导数数值给出这⾥假设数值均为1。

即 f′(x0)=f′(xn)=f′(xn)=1的情况。

情况⼀图像情况⼀代码import numpy as npfrom sympy import *import matplotlib.pyplot as pltdef f(x):return 1 / (1 + x ** 2)def cal(begin, end, i):by = f(begin)ey = f(end)I = Ms[i] * ((end - n) ** 3) / 6 + Ms[i + 1] * ((n - begin) ** 3) / 6 + (by - Ms[i] / 6) * (end - n) + (ey - Ms[i + 1] / 6) * (n - begin)return Idef ff(x): # f[x0, x1, ..., xk]ans = 0for i in range(len(x)):temp = 1for j in range(len(x)):if i != j:temp *= (x[i] - x[j])ans += f(x[i]) / tempreturn ansdef calM():lam = [1] + [1 / 2] * 9miu = [1 / 2] * 9 + [1]# Y = 1 / (1 + n ** 2)# df = diff(Y, n)x = np.array(range(11)) - 5# ds = [6 * (ff(x[0:2]) - df.subs(n, x[0]))]ds = [6 * (ff(x[0:2]) - 1)]for i in range(9):ds.append(6 * ff(x[i: i + 3]))# ds.append(6 * (df.subs(n, x[10]) - ff(x[-2:])))ds.append(6 * (1 - ff(x[-2:])))Mat = np.eye(11, 11) * 2for i in range(11):Mat[i][1] = lam[i]elif i == 10:Mat[i][9] = miu[i - 1]else:Mat[i][i - 1] = miu[i - 1]Mat[i][i + 1] = lam[i]ds = np.mat(ds)Mat = np.mat(Mat)Ms = ds * Mat.Ireturn Ms.tolist()[0]def calnf(x):nf = []for i in range(len(x) - 1):nf.append(cal(x[i], x[i + 1], i))return nfdef calf(f, x):y = []for i in x:y.append(f.subs(n, i))return ydef nfSub(x, nf):tempx = np.array(range(11)) - 5dx = []for i in range(10):labelx = []for j in range(len(x)):if x[j] >= tempx[i] and x[j] < tempx[i + 1]:labelx.append(x[j])elif i == 9 and x[j] >= tempx[i] and x[j] <= tempx[i + 1]: labelx.append(x[j])dx = dx + calf(nf[i], labelx)return np.array(dx)def draw(nf):plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falsex = np.linspace(-5, 5, 101)y = f(x)Ly = nfSub(x, nf)plt.plot(x, y, label='原函数')plt.plot(x, Ly, label='三次样条插值函数')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.legend()plt.savefig('1.png')plt.show()def lossCal(nf):x = np.linspace(-5, 5, 101)y = f(x)Ly = nfSub(x, nf)Ly = np.array(Ly)temp = Ly - ytemp = abs(temp)print(temp.mean())if __name__ == '__main__':x = np.array(range(11)) - 5y = f(x)n, m = symbols('n m')init_printing(use_unicode=True)Ms = calM()nf = calnf(x)draw(nf)情况⼆：两边导数数值由函数本⾝算出这⾥假设数值均为1。

三次自然样条插值编程

// Čý´Î×ÔČťŃůĚő˛ĺÖľąŕłĚ.cpp : Defines the entry point for the console application.////#include "stdafx.h"#include "stdio.h"void GetValueSpline(int n,double x[],double y[],double dy[],double ddy[],int m,double t[],double z[],double dz[],double ddz[]){int i,j;double h0,h1,alpha,beta,g,*s;h0=x[1]-x[0];s[0]=3.0*(y[1]-y[0])/2.0*h0-ddy[0]*h0/4.0;for(j=1;j<=n-2;j++){h1=x[j+1]-x[j];alpha=h0/(h0+h1);beta=(1.0-alpha)*(y[j]-y[j-1])/h0;beta=3.0*(beta+alpha*(y[j+1]-y[j]))/h1;dy[j]=-alpha/(2.0+(1.0-alpha))*dy[j-1];s[j]=s[j-1]/(2.0+(1.0-alpha))*dy[j-1];h0=h1;}dy[n-1]=(3.0*(y[n-1]-y[n-2])/h1+ddy[n-1]*h1/2.0-s[n-2])/(2.0+dy[n-2]);for(j=n-2;j>=0;j--)dy[j]=dy[j]*dy[j+1]+s[j];for(j=0;j<=n-2;j++)s[j]=x[j+1]-x[j];for(j=0;j<=n-2;j++){h1=s[j]*s[j];ddy[j]=6.0*(y[j+1]-y[j])/h1-2.0*(2.0*dy[j]+dy[j+1])/s[j];}h1=s[n-2]*s[n-2];ddy[n-1]=6.0*(y[n-2]-y[n-1])/h1+2.0*(2.0*dy[n-1]+dy[n-2])/s[n-2]; g=0.0;for(i=0;i<=n-2;i++){h1=0.5*s[i]*(y[i]+y[i+1]);h1=h1-s[i]*s[i]*s[i]*(ddy[i]+ddy[i+1])/24.0;g=g+h1;}for(j=0;j<=m-1;j++){if(t[j]>=x[n-1])i=n-2;else{i=0;while(t[j]>x[i+1])i=i+1;}h1=(x[i+1]-t[j])/s[i];h0=h1*h1;z[j]=(3.0*h0-2.0*h0*h1)*y[i];z[j]=z[j]+s[i]*(h0-h0*h1)*dy[i];dz[j]=6.0*(h0-h1)*y[i]/s[i];dz[j]=dz[j]+(3.0*h0-2.0*h1)*dy[i];ddz[j]=(6.0-12.0*h1)*y[i]/(s[i]*s[i]);ddz[j]=ddz[j]+(2.0-6.0*h1)*dy[i]/s[i];h1=(t[j]-x[i])/s[i];h0=h1*h1;z[j]=z[j]+(3.0*h0-2.0*h0*h1)*y[i+1];z[j]=z[j]-s[i]*(h0-h0*h1)*dy[i+1];dz[j]=dz[j]-6.0*(h0-h1)*y[i+1]/s[i];dz[j]=dz[j]+(3.0*h0-2.0*h1)*dy[i+1];ddz[j]=ddz[j]+(6.0-12.0*h1)*y[i+1]/(s[i]*s[i]);ddz[j]=ddz[j]-(2.0-6.0*h1)*dy[i+1]/s[i];for(i=0;i<4;i++);{printf("Ö¸ś¨˛ĺÖľľă Čý´Î×ÔČťŃůĚő˛ĺÖľ Ňť˝×ľźĘýÖľ śţ˝×ľźĘýÖľ\n ");printf(" t(i) z(i) dz(i) ddz(i) \n"); printf(" %f %f %f %f\n",t[i],z[i],dz[i],ddz[i]);}//delete[] s;//return (g);}}void main(){int i;double x[5],y[5],dy[5],ddy[5];double t[4],z[4],dz[4],ddz[4]; printf("ÇëĘäČëÎĺ×éÔĘźĘýžÝ:\n");for(i=0;i<5;i++){printf("x(%d)=",i);scanf("%f ",&x[i]);printf(" y(%d)=",i);scanf("%f\n",&y[i]);}printf("ÇëĘäČë˛ĺÖľľăĘýžÝ:\n");for(i=0;i<4;i++){printf("t(%d)=",i);scanf("%f\n",&t[i]);}GetValueSpline(5,x[5],y[5],dy[5],ddy[5],4,t[4],z[4],dz[4],ddz[4]);//for(i=0;i<4;i++);//{printf("Ö¸ś¨˛ĺÖľľă Čý´Î×ÔČťŃůĚő˛ĺÖľ Ňť˝×ľźĘýÖľ śţ˝×ľźĘýÖľ\n ");//printf(" t(i) z(i) dz(i) ddz(i)\n");//for(i=0;i<4;i++)//printf(" %f %f %f %f\n",t[i],z[i],dz[i],ddz[i]);//}}/*************************************************************************************************************************/// aa.cpp : Defines the entry point for the console application.////#include "stdafx.h"#include"stdio.h"void main(){int i,j;double h0,h1,alpha,beta,*s;double x[5],y[5],dy[5],ddy[5]; double t[4],z[4],dz[4],ddz[4];int m,n;m=5;n=4;x[0]=-3.0;x[1]=-1.0;x[2]=2.0;x[3]=4.0;x[4]=7.0;y[0]=3.0;y[1]=6.0;y[2]=8.0;y[3]=2.0;y[4]=5.0;t[0]=-2.5;t[1]=0.0;t[2]=2.5;t[3]=5.0;dy[0]=-0.5;ddy[0]=0;ddy[4]=0;h0=x[1]-x[0];s[0]=3.0*(y[1]-y[0])/2.0*h0-ddy[0]*h0/4.0;for(j=1;j<=n-2;j++){h1=x[j+1]-x[j];alpha=h0/(h0+h1);beta=(1.0-alpha)*(y[j]-y[j-1])/h0;beta=3.0*(beta+alpha*(y[j+1]-y[j]))/h1;dy[j]=-alpha/(2.0+(1.0-alpha))*dy[j-1];s[j]=s[j-1]/(2.0+(1.0-alpha))*dy[j-1];h0=h1;}dy[n-1]=(3.0*(y[n-1]-y[n-2])/h1+ddy[n-1]*h1/2.0-s[n-2])/(2.0+dy[n-2]);for(j=n-2;j>=0;j--)dy[j]=dy[j]*dy[j+1]+s[j];for(j=0;j<=n-2;j++)s[j]=x[j+1]-x[j];for(j=1;j<=n-2;j++){h1=s[j]*s[j];ddy[j]=6.0*(y[j+1]-y[j])/h1-2.0*(2.0*dy[j]+dy[j+1])/s[j];}for(j=0;j<=m-1;j++){if(t[j]>=x[n-1])i=n-2;else{i=0;while(t[j]>x[i+1])i=i+1;}h1=(x[i+1]-t[j])/s[i];h0=h1*h1;z[j]=(3.0*h0-2.0*h0*h1)*y[i];z[j]=z[j]+s[i]*(h0-h0*h1)*dy[i];dz[j]=6.0*(h0-h1)*y[i]/s[i];dz[j]=dz[j]+(3.0*h0-2.0*h1)*dy[i];ddz[j]=(6.0-12.0*h1)*y[i]/(s[i]*s[i]);ddz[j]=ddz[j]+(2.0-6.0*h1)*dy[i]/s[i];h1=(t[j]-x[i])/s[i];h0=h1*h1;z[j]=z[j]+(3.0*h0-2.0*h0*h1)*y[i+1];z[j]=z[j]-s[i]*(h0-h0*h1)*dy[i+1];dz[j]=dz[j]-6.0*(h0-h1)*y[i+1]/s[i];dz[j]=dz[j]+(3.0*h0-2.0*h1)*dy[i+1];ddz[j]=ddz[j]+(6.0-12.0*h1)*y[i+1]/(s[i]*s[i]);ddz[j]=ddz[j]-(2.0-6.0*h1)*dy[i+1]/s[i];}printf("Ö¸ś¨˛ĺÖľľă Čý´Î×ÔČťŃůĚő˛ĺÖľ Ňť˝×ľźĘýÖľ śţ˝×ľźĘýÖľ\n ");printf(" t(i) z(i) dz(i) ddz(i) \n");for(i=0;i<4;i++)printf(" %f %f %f %f\n",t[i],z[i],dz[i],ddz[i]);。