第二章 实际晶体中的位错行为

（ r0 2 )
W e－晶体的弹性能；
Wm －错排能，即滑移面上下两层原子的相互作用能。
如不考虑位置，只考虑整个错排面的能量，则 W m可以表达为：
2 刃 Gb W e ＝ 4 (1 ) 2 螺 Gb W ＝ e 4
一般取 ln
R 2
10 W e 10 W m



晶格阻力表达式的特点： 是作用在单位长度位错线上的晶格阻力； 是一种周期力。
第一节 P-N模型与P-N力
三、晶格阻力与P-N力
3、P-N力
晶格阻力用切应力来表达（
F L
b ）：
4 exp sin 4 1 b 2G
( )
W0 弯折的宽度一般表达为：m d 2W P
1
(a)
一般 W P
1
2
D A
1000
W 0 ；所以 m 22 d 。
(b)
1
弯折形成能可以表达为：W
K

2d

Gb
( 2W P W 0 ) 2
A
D d m (c)
问题：刃型位错与螺型位错那个更容易形成弯折？为什么？
d Wf ln － (1 4 (1 ) Gb d
2
)
F L
W inf
Gb d
2
2
8 L
2

1 1
2
弯折对的交互作用力为：
这与两个位错之间的作用力不同
Fx L Fy L Gb
2
d (W inf ) dL
但是，这样求出的 W 总 值仍然是个常数，仍然无法求出晶格阻力。 只有根据位置的不同来求出能量，才能确定晶格阻力。
第一节 P-N模型与P-N力
三、晶格阻力与P-N力
1、Peierls 位错的能量
如果位错恰好在对称位置时，可以近似地认为原子的位置为：
x 1 2 nb , n 1, n 2, n 3,
W m ( ) Gb
2
4 (1 )

WP 2
cos 4
其中， W P
4 exp (1 ) b Gb
2
——P-N位垒，用以表示位错周期势能。
第一节 P-N模型与P-N力
三、晶格阻力与P-N力
1、Peierls 位错的能量
2



x

1 b

WP WP cos 4 4 sin 4 2 2b

4 exp 4 sin 4 2 b (1 ) b Gb 4 exp sin 4 1 b 2 Gb
ΔW
如果位错偏离对称位置 b 时（ 1 的分数），则：
x 1 2 nb ＋ b , n 1, n 2, n 3,

u
通过计算任意一对原子的错排能 m 再通过求和得到整个滑移面的错排能； 然后再利用傅立叶求和公式，求出位错在任意位置的错排能（刃型位错）：


（5）为什么刃型位错的可动性大，而螺型位错的可动性差呢？
（6）连续弹性介质中是否有不可动位错？ （7）FCC与BCC相比，哪个屈服强度对温度更敏感？为什么？
第一节 P-N模型与P-N力
第二节 弯折和割阶
一、弯折
1、概念：
位错线的拐折与位错线处于同一滑移面上。
A D
2、形成机制（分类）
（1）几何性弯折
G b dx
du 2 (1 ) x x (1 ) 1 G

x
1 dx dx x x x x
G 1 dx dx x x x x
将其积分可以求出滑移面上的切应力：
-
Gb 2 (1 )
x
x
2

2
xy
x 2 xy ( y ) 2 2 2 2 2 (1 ) x ( y ) x (y )


2
2

xx
2 3 y 2 2 y( y ) 2 2 2 2 2 (1 ) x ( y ) x (y )
2
注意：当 r x y
2
2

1 2
时，该位错的应力场与连续介质中应力场相同。
因此，P-N模型消除了连续介质模型在位错中心的奇异点。
第一节 P-N模型与P-N力
三、晶格阻力与P-N力
1、Peierls 位错的能量
一般认为： W W e W m
2 刃 Gb R W ＝ ln e 4 (1 ) 2 2 R 螺 Gb W ＝ ln e 4 2
yx

du (1 )
x
第一节 P-N模型与P-N力
二、P-N模型（简单立方）
u 3、 x 表达式的求解：
比较（1）和（2）两式可以得到积分方程：
du x dx x x x x



dx
(1 ) b 2d
4＇
5＇
6＇
7＇
8＇
1＇
2＇
3＇
4＇
5＇
6＇
7＇
8＇
第一节 P-N模型与P-N力
二、P-N模型（简单立方）
1、模型建立
Y
第二步：假设每个原子移动 u x ， 则相邻原子相对应动 2 u x ， 则同号原子之间相对位移：
b 2u x 2 (x) 2u b x 2 x 0 ， u x 0; x 0， u x 0 ;
螺 2 刃 2
ΔW
（ r0 2 )
u
W 是位错心部的能量变化，常被称作错排能 W m 。 L c
W
Wm
可见，心部能量的随着位置的改变而发生周期性 变化，造成位错运动的阻力。 我们的任务就是要求得这个阻力。
We
需要建立模型。
第一节 P-N模型与P-N力
u
二、P-N模型（简单立方）
2、边界条件
这里的任务就是求出 u x 的解： 由于在 x 处，位错的影响消失，滑移面上下同号原子对齐，所以 ( )＝ 0
u x ( ) u x ( )
b 4
ux
※这就是 u x ( x ) 必须满足的边界条件。
+b/4
x
-b/4
第一节 P-N模型与P-N力
二、P-N模型（简单立方）
u 3、 x 表达式的求解：
（1）假设 yx 是相对位移 ( x ) 的正弦函数（周期为b）： yx ＝ C sin
当 ( x ) 很小时，根据虎克定律：
2 ( x ) b
yx ＝
2 ( x ) C b

G ( x) d
C

Gb d 8 L
2

1 1
2 (1 ) ( x y )
2 2

x(x y )
2 2 2
;
Fx L
;
y0

Gb
2
Gb
2
2 (1 )

y (3 x y )
2 2
2 (1 )

1 L
(x y )
2 2
2
第二节 弯折和割阶
一、弯折
2、形成机制（分类）
1
2
3
4
5
6
7
8
+ux
-ux X
1＇
2＇
3＇
4＇
5＇
6＇
7＇
8＇
这一步是原子之间相互吸引产生应变，也就有 u x位移。 注意： 1、 ( x ) 是错排面上任意两个同号原子之间的相对位移；
u 2、 x 是错排面上下两块晶体滑移面上原子的位移。
第一节 P-N模型与P-N力
二、P-N模型（简单立方）
不同点阵类型的 W P 不同
W
刃
W
刃
e
＋ W m ( )＝
Gb
2
4 (1 )
ln
R 2

Gb
2
4 (1 )

WP 2
cos 4
第一节 P-N模型与P-N力
三、晶格阻力与P-N力
2、晶格阻力
晶格阻力在数值上等于：
F L F L W x 1 W
sin
4 u x b
ux
b 2
arctg
x

；
＝ d 2
－位错的半宽度： 刃＝
d 2 (1 )
螺
；
螺 ＝ (1 ) 刃
第一节 P-N模型与P-N力
二、P-N模型（简单立方）
4、应力场求解：
进一步可以求出： yx （x,0)＝
Gb
2

刃

螺
WP WP
刃
螺
WP
(1 )
exp(
4 b
)
第二节 弯折和割阶
一、弯折
2、形成机制（分类）
（2）热学性弯折
弯折的形成能： 2W K 2W f W inf
2W
f
L
b
d


B (-)
C (+)


——弯折对的自能；
A


A
D
D
W inf ——弯折对的交互作用能；
WP
4 exp (1 ) b Gb
2
W P 是一个很重要的参数，用以表示位错周期势能，是晶体的一个性质。
当位错从一个平衡位置移动到另一个平衡位置时，必须翻越这个能峰。 所以， P 的大小会影响到位错的可动性。， W FCC的 W P 低。 BCC的 W P 高，
第二章 实际晶体中的位错行为
实际晶体与连续弹性介质的差别
晶体是周期排列的 晶格阻力（P-N力）； 晶体的各向异性 实际晶体有固定的滑移面和滑移方向； 实际晶体的原子具有独特的堆垛方式 层错、部分位错和全位错。
目录
第一节 P-N模型与P-N力
第二节 弯折和割阶 第三节 扩散滑移与攀移机制 第四节 割阶位错的滑动 第五节 晶体中的全位错与滑移系统
（3）交割性弯折：
由于两个位错相遇，交割而形成的弯折。
这是不对的，所以这个模型应当有缺陷。
第一节 P-N模型与P-N力
四、P-N力的应用
1、P-N力的物理意义是什么？
2、P-N力的重要性何在？
（1）如何解释晶体实际切变强度与理论强度的差别？ （2）晶体中那些面是易滑移面？为什么？ （3）什么是易滑移方向，为什么？ （4）FCC与BCC相比，哪个的P-N力更大？为什么？
第六节 面心立方晶体中的层错和部分位错
第七节 面心立方晶体中的几种重要位错反应 第八节 面心立方晶体中扩展位错的运动 第九节 面心立方中的层错四面体
第一节 P-N模型与P-N力
一、晶格阻力的由来
W W W L L e L c W L W L Gb R ln ＝ 4 (1 ) 2 e Gb R ln ＝ 4 2 e
1 当 sin 4 时，
F L
达到极大值，称之为P-N力：
2 Gb F 4 exp L max 1 b
相应的最大剪切应力阻力称之为P-N应力：

P

4 exp 1 b 2G
W ※当 0 时， ( ) 达到最大值。
Gb



yy
2 y 2x y 2 2 2 2 2 (1 ) x ( y ) x (y )
Gb


2
zz
(
xx

yy
) -
Gb
(1 )
x
y
2
(y )
b (x) 第一步：插入原子面，上下两个原子面相对移动 ： 2 注意，这一步操作并不产生应力。
1、模型建立
b 2 b 2
x 0; x 0;
b/2 b/2 1 2 3 4 5 6 7
b 8
Y 1 2 3 4 5 6 7 8
d
+ux
-ux X
1＇
2＇
3＇
G d
sin
4 u x b
（2）把上下两块晶体视作连续弹性介质，则可以把位错线视作连续分布的小位错。
du x 在 x 处 d x 范围内的柏氏矢量为： b d x 2 dx dx 小位错在x处产生的切应力为：