湖北省七地市高考备考(押注)冲刺卷(三)数学(理)试题.docx

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2013年七地市高考备考（押注）冲刺卷
理科（数学）
本试卷共22题，其中第15、16题为选考题.满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合{3}x M y y =∈=R ，{1,0,1}N =-，则下列结论正确的是（ ）
A ．{0,1}M N =I
B ．(0,)M N =+∞U
C ．()(,0)C M N =-∞U R
D ． (){1,0}C M N =-I R 2．下列命题错误的是（ ）
A ．命题“若220x y +=，则0x y ==”的逆否命题为“若,x y 中至少有一个不为0，则
220x y +≠”
B ．若命题p ：2
00
0,10x x x ∃∈-+≤R ，则p ⌝：2,10x x x ∀∈-+>R C ．ABC ∆中，sin sin A B >是A B >的充要条件 D ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题
3．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）
A ． 12x x >，12s s <
B ． 12x x =，12s s =
C ． 12x x =，12s s <
D ． 12x x <，12s s <
4．设实数12,,,x a a y 成等差数列，实数12,,,x b b y 成等比数列，则2
1212()a a b b +的取值范
围是( )
A ．[4,)+∞
B ．(,0][4,)-∞+∞U
C ．[0,4]
D ． (,4)(4,)-∞-+∞U
5．函数()3sin()(0)f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，若2
AB BC AB ⋅=u u u r u u u r u u u r ，则ω等于
( )
A ．
6π B ． 4π C ． 3π D ． 12
π
6．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E
是D 内位于函数1
(0)y x x
=>图象下方的区域（阴影部分），从D 内随
机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为（ ）
A ．ln 22
B ． 1ln 22-
C ． 1ln 22+
D ． 2ln 22
-
7．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，斜率为4
3
的直线交抛物线于,A B 两点，若
(1)AF FB λλ=>u u u r u u u r
，则λ的值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．43
D ．52
8．用一个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢．现将半径为1的球体放置于蛋巢上，则球体球心与蛋巢底面的距离为（ ）
A
．
21
2
+ B ． 31
2
+ C ．
512+ D ． 51
2
- 222(0)x y a a -=>的左、右顶点
9．若双曲线
分别为,A B ，点P 是第一象限内双曲线上的点．若直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ，且(1)k k βα=>，那么α的值是（ ）
A ．
21
k π
- B ．
2k
π
C ．
21
k π
+ D ．
22
k π
+
10．已知()f x 是定义在[,]a b 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且满足下列条件：
①()f x 的值域为G ，且[,]G a b ⊆；
②对任意不同的,[,]x y a b ∈，都有()()f x f y x y -<-． 那么，关于x 的方程()f x x =在[,]a b 上根的情况是（ ）
A ．没有实数根
B ．有且只有一个实数根
C ．恰有两个不同的实数根
D ． 有无数个不同的实数根
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. ．请将答案填在题中横线上．
（一）必考题（11~14题）
11．已知复数12z i =
+（i 为虚数单位），则复数21z z
+的共轭复数的虚部为___________． 12．已知b 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式
6
()bx x
-
的展开式中的常数项是___________．（用数字作答） 13．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是______________．
14．已知1
cos 32π=，
21cos cos 554ππ=，
231cos cos cos 7778πππ=，
……
（1）根据以上等式，可猜想出的一般结论是______________________________；
（2）若数列{}n a 中，1cos 3a π=，22cos cos 55a ππ=， 323cos cos cos
777
a πππ
=，…，前n 项和1023
1024
n S =，则n =___________________．
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答.如果全选，则按第15题作答结果计分）
15．（选修41-：几何证明选讲）
如图，ABC ∆内接于圆O ，AB AC =，直线MN 切圆O 于点C ，BE MN ∥交AC 于点E ．若6AB =，4BC =，则AE 的长为______________． 16．（选修44-：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，圆1C 的方程为42cos()4
π
ρθ=-，以极点为坐标原点，
极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程为1cos ,
1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ为参
数），若圆1C 与圆2C 外切，则实数a =___________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知向量(3sin 21,cos )m x x =-u r ，1
(,cos )2n x =r ，设函数()1f x m n =⋅+u r r ．
（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间[0,]2
π
上的最大值；
（2）已知在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中,A B 为锐角，8
()65
f A π+=，
10
(
)1212B f π--=，又21a b +=+，求,,a b c 的值． 18．（本小题满分12分）
已知等比数列}{n a 满足：23132a a a =+，且23+a 是42a a ,的等差中项． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若2
1
log n n n
b a a =，n n b b b S +++=Λ31，求使26021+>-+n S n n 成立的正整数n 的最小值． 19．（本小题满分12分）
如图甲，在等腰ABC ∆中，,,D E F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点，120ACB ∠=︒，现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A DC B --，如图乙．
（1）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （2）求二面角E DF C --的余弦值；
（3）在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？证明你的结论． 20．（本小题满分12分）
我省某示范性高中为推进新课程改革，满足不同层次学生的要求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）．统计数据表明，各学科讲座各天的满座概率如下表： （1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；
（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 21．（本小题满分13分）
如图，已知2(,)M m m 、2(,)N n n 是抛物线C ：2y x =上的两个不同的点，且
221m n +=，0m n +≠，直线l 是线段MN 的垂直平分线．设椭圆E 的方程为22
1022(,)x y a a a
+=>≠．
（1）当M 、N 在C 上移动时，求直线l 的斜率k 的取值范围；
（2）已知直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，与椭圆E 交于P 、Q 两点，设线段AB 的
中点为R ，线段QP 的中点为S ，若0OR OS ⋅=u u u r u u u r
，求椭圆E 的离心率的取值范围．
22．（本小题满分14分）
已知函数1f x ax x a =-+∈()ln ()R ，1()x g x xe -=（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()g x 在区间0(,]e 上的值域；
（2）是否存在实数a ，对任意给定的00(,]x e ∈，在区间1[,]e 上都存在两个不同的
12(,)i x i =，使得0()()i f x g x =成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理
由；
（3）给出如下定义：对于函数()y F x =图象上任意不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，如果对于函数()y F x =图象上的点00(,)M x y （其中12
02
x x x +=
）总能使得12012()()()()F x F x F x x x '-=-成立，则称函数具备性质“L ”，试判断函数()f x 是否具备
性质“L ”，并说明理由．
2013年高考数学模拟试题（理科数学）
参考答案与评分标准
一、选择题：
1．D 解析：由已知条件可得(0,)M =+∞，则(,0]C M =-∞R ， ∴(){1,0}C M N =-I R ．故选D ．
2．D 解析：由原命题与逆否命题的关系可知A 正确；由特称命题的否定可知B 正确；由正弦定理和三角形边角关系可知C 正确；若p q ∧为假命题，则p 、q 有可能一真一假，未必均为假命题，由此可知D 错误．故选D ． 3．C 解析：由题意可知
11
(91415151621)15
6
x =⨯+++++=，
21(81315151722)156x =⨯+++++=；22211
[(915)(1415)6
s =⨯-+-2(1515)+-
22237(1515)(1615)(2115)]3+-+-+-=，2
222
1[(815)(1315)6s =⨯-+-2(1515)+- 22253
(1515)(1715)(2215)]3
+-+-+-=，则12x x =，12s s <．故选C ．
4．B 解析：由于实数12,,,x a a y 成等差数列，则12x y a a +=+；由于实数12,,,x b b y 成
等比数列，则12xy b b =，所以21212()a a b b +2()x y xy
+=
2222
222x y xy x y x y xy xy y x +++==+=++，利用基本不等式易得，当,x y 同号时，
21212()a a b b +2224x y
y x =++≥+=；当,x y 异号时，21212
()a a b b +2220x y
y x =++≤-+=．故选B ． 5．A 解析：∵2AB BC AB ⋅=u u u r u u u r u u u r ，∴2cos AB BC ABC AB -∠=u u u r u u u r u u u r ，∵2AB BC =u u u r u u u r
，∴
1
cos 2
ABC ∠=-，∴120ABC ∠=︒．过B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ．∵3BE =，∴3AE =，∴12T =，∴6
π
ω=
．故选A ．
6．C 解析：将1y x =
与2y =图象交点记为A ，则1
(,2)2
A ，∴阴影部分E 的面积1121121ln 22S dx x
=+⨯=+⎰，而D 的面积为122⨯=，∴所求概率1ln 2
2P +=．故选C ．
7．A 解析：据题意设1122(,),(,)A x y B x y ．
由AF FB λ=u u u r u u u r 1122(,)(,)22
p p
x y x y λ⇒--=-，则1122y y y y λλ-=⇒=-．
联立24(),322,
p y x y px ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
消去x 得22302y py p --=，则
212123
,2
y y p y y p +=
=-． ∴212121221()9
24y y y y y y y y +=++=-，即1924λλ--+=-，即241740λλ-+=，解得4λ=或
1
4
λ=（舍去）．故选A ．
8．B 解析：由题图可知，折起的正方形的四个顶点构成一个新的对角线长为1的正方形ABCD ，且此正方形内接于球，如图所示，球心O 到
平面ABCD 的距离223
2
OH OA AH =-=
，又平面ABCD 到蛋巢底面
的距离为1
2
，故所求距离为12．故选B ．
9．D 解析：∵双曲线的方程为2
2
2
x y a -=，22
221x y a a
-=，∴双曲线的左顶点为(,0)A a -，
右顶点为(,0)B a ．设(,)P m n ，得直线PA 的斜率PA n k m a =+，直线PB 的斜率PB n
k m a
=-，∴2
22
PA PB
n k k m a
⋅=-①．∵(,)P m n 是双曲线222x y a -=上的点，∴222m n a -=，得222n m a =-，代人①式得1PA PB k k ⋅=．∵直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ，所以tan ,tan PA PB k k αβ==，∴tan tan 1αβ⋅=．∵P 是第一象限内双曲线上的点，易知,αβ
均为锐角，∴(1)2
k π
αβα+=+=
，解得22
k π
α=
+．故选D ．
10．B 解析：令()(),[,]g x f x x x a b =-∈，
则()()0,()()0g a f a a g b f b b =-≥=-≤，所以()()0g a g b ⋅≤．
又因为,[,]x y a b ∈，都有
()()
1f x f y x y
-<-，则()1f x '<，所以()()10g x f x ''=-<，所以函数
()g x 在[,]a b 上单调递减，故函数()g x 在[,]a b 上只有一个零点，即方程()f x x =在[,]a b 上有且
只有一个实数根．故选B ．
二、填空题： 11．2125-
解析：21
z z +2
134532122(2)252525i i i i i -=
++=++=++，故其共轭复数为53212525i -，则复数21z z
+的共轭复数的虚部为21
25-．
12．540- 解析：第1次循环：3,2b a ==；第2次循环：5,3b a ==；第3次循环：
7,4b a ==；第4次循环：9,54b a ==>，不满足条件“4a ≤”，故跳出循环，输出9b =．∴
6
6=，其通项为616(r r r
r T C -+=⋅⋅636(1)3r r r r
C x --=-（0,1,2,3,4,5,6r =），令30r -=，得3r =，故常数项为33
46
3540T C =-=-．
13．2π+解析：由三视图可知几何体为组合体，上方是一个卧式直三棱柱，三棱柱
该边上的
的三角形，
；下方是一个圆
柱，其底面半径为1，母线长为2
，故其体积21
(1222
V ππ=⨯⨯=+
14．（1）21
cos
cos
cos ()21
21212
n n n n n n π
ππ=∈+++L N* （2）10
解析：（1）从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母
均为21n +，分子分别为,2,,n πππL ，右边应为1
2
n ，故可以猜想出结论为
21cos cos cos ()2121212
n n n n n n πππ=∈+++L N*．
（2）由（1）可知12n n a =，故11[1()]1211023221122102412
n n
n n n
S --==-==-，解得10n =． 15．10
3
解析：由题知，BCM BAC ∠=∠，BCM EBC ∠=∠，得BAC EBC ∠=∠，又ACB
∠是公共角，所以ABC BEC ∆∆∽，所以
AC BC
BC EC
=
，又=AB AC ，6AB =，4BC =，所以283BC EC AC ==，所以810633
AE AC EC =-=-=．
16
． 解析：将圆1C
的极坐标方程化为直角坐标方程，由)4
π
ρθ=-得
4cos 4sin ρθθ=+，所以24cos 4sin ρρθρθ=+，即2244x y x y +=+，即
22(2)(2)8x y -+-=，其圆心为1(2,2)C
，半径1r =2C 的参数方程化为普通方
程得222(1)(1)x y a +++=，其圆心为2(1,1)C --，半径2r a =
．因为两圆外切，所以
12a C C +==
a = 三、解答题：
17．（1）函数
()1f x m n =⋅+u r
r 212cos 12x x =-++sin(2)16
x π=++． ∴222T π
π
πω=
=
=． （3分）
∵02x π≤≤，∴72666
x πππ
≤+≤，
∴1sin(2)126x π-≤+≤，即1sin(2)1226
x π
≤++≤．
∴函数()f x 在区间[0,]2
π
上的最大值为2． （6分）
（2）∵8
()sin(2)1cos 21625f A A A ππ+=++=+=，
∴3cos 25A =，∴21cos 21
sin 25A A -==，
∵A
为锐角，∴sin 5A =
，cos 5
A =．
又(
)1212B f π--=
sin B = ∵B
为锐角，∴cos B = （9分） 由正弦定理得
sin sin a b
A B
=
，∴a =．
又1a b +=
，∴1a b ==． （10分）
而sin sin()sin cos cos sin 2
C A B A B A B =+=+=， 由正弦定理得
sin sin a c
A C
=
，∴c = （12分） 18．（1）设等比数列}{n a 的首项为1a ，公比为q ，
依题意，有2
1321132
2431123,(2)3,2(2)()2 4.a a a a q a q a a a a q q a q ⎧+=+=⎧⎪⇒⎨⎨+=++=+⎪⎩⎩①②
由①及01≠a ，得10232=⇒=+-q q q 或2=q ． 当1=q 时，②式不成立；当2=q 时，符合题意． 把2=q 代入②得21=a ，所以n n n a 2221=⋅=-．（6分） （2）2
211
log 2log 22
n n n n n n b a n a ==⋅=-⋅， ∴n n n S 223222132⨯++⨯+⨯+⨯=-Λ，③
23412122232(1)22n n n S n n +-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ．④
③-④得
13222222+⨯-++++=n n n n S Λ
122
1212+⨯---=n n n )(
22211-⨯-=++n n n ．（10分）
由26021+>-+n S n n 成立，得n n n 6021>⋅+，即6021>+n ． 又当4≤n 时，60322251<=≤+n ； 当5≥n 时，60642261>=≥+n ．
故使26021+>-+n S n n 成立的正整数n 的最小值为5．（12分）
19．（1）如题图乙，在ABC ∆中，由于点E 、F 分别是AC ，BC 的中点，
∴EF AB ∥，又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF ．（4分）
（2）由题意易知DA 、DB 、DC 两两互相垂直，以点D 为坐标原点，分别以直线DB 、
DC 、DA 为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．
设CD a =，则2,3AC BC a AD DB a ====，
则(0,0,0)D ，(0,0,3)A a ，(3,0,0)B a ，(0,,0)C a ，3(0,,)22a E a ，3(,,0)22
a
F a ．（5分）
取平面CDF 的一个法向量为(0,0,1)m =u r
． 设平面EDF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，
又33
(,,0),(0,,
)22a a DF a DE a ==u u u r u u u r ， 则0,0,DF n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r
u u u r r 即30,30,x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令3y =-，得3,
3.x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴(3,3,3)n =-r
．（6分）
∴5
cos ,m n m n m n
⋅<>==
⋅u r r
u r r u r r ，（7分）
即二面角E DF C --的余弦值为
55
．（8分） （3）假设在线段BC 上存在一点P ，使AP DE ⊥． 不妨设00(,,0)P x y ，由003x a ≤≤,00y a ≤≤．(9分)
由（2）得00(,,3)AP x y a =-u u u r ，3
(0,,)2a DE a =u u u r ． ∵AP DE ⊥，∴0AP DE ⋅=u u u r u u u r ，即203
022
a y a -=，解得03y a =．（11分）
∵3a a >，∴在线段BC 上不存在一点P ，使AP DE ⊥．（12分） 20．（1）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ，则
1221
()(1)(1)(1)23318
P A =---=．
（4分） （2）ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5．
4121
(0)(1)(1)2348
P ξ==-⋅-=
；（5分） 1344112121(1)(1)(1)(1)223238P C ξ==⋅⋅-⋅-+-⋅=；（6分） 2221
3441121127(2)()(1)(1)()(1)22322324P C C ξ==⋅⋅-⋅-+⋅⋅-⋅=
；（7分） 332
22441121121(3)()(1)(1)()(1)2232233P C C ξ==⋅⋅-⋅-+⋅⋅-⋅=；
（8分）． 43
34121123(4)()(1)()(1)2322316P C ξ==⋅-+⋅⋅-⋅=；
（9分） 4121
(5)()2324
P ξ==⋅=
．（10分） 所以，随机变量ξ的分布列如下：
（11分）
故117131801234548824316243
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（12分） 21．（1）由题意知，直线MN 的斜率为22
MN
m n k m n m n
-==+-， 又l MN ⊥，0m n +≠，∴直线l 的斜率为1
k m n
=-
+． （2分）
∵221m n +=，由222m n mn +≥，得2222()()m n m n +≥+，即22()m n ≥+（当m n =时，
等号成立），∴m n +≤
∵M 、N 是不同的两点，即m n ≠，∴0m n <+<k >
，
即k <k >．
∴直线l 的斜率k 的取值范围为22
(,)-∞-
+∞U ． （4分） （2）由题意易得，线段MN 的中点坐标为22
22
(,)m n m n ++． ∵直线l 是线段MN 的垂直平分线，
∴直线l 的方程为2222
()m n m n
y k x ++-
=-， （5分） 又∵221m n +=，1k m n =-
+，即1
m n k
+=-， ∴直线l 的方程为1y kx =+． （6分）
将直线l 的方程分别代入抛物线方程和椭圆方程并整理得，
210x kx --=， ①
2224220()a k x kx a +++-=．②
易知方程①的判别式2140k ∆=+>， 方程②的判别式22821()a k a ∆=+-， 由（1）易知21
2
k >
，又0a >，∴2210k a a +->>，∴20∆>恒成立． 设(,),(,),(,),(,)A A B B P P Q Q A x y B x y P x y Q x y ，则
21122,()A B A B A B A B x x k y y kx kx k x x k +=+=+++=++=+，
∴线段AB 的中点R 的坐标为2
122
(,)k k +，
又∵22
4211222,()P Q P Q P Q P Q k a
x x y y kx kx k x x a k a k
+=-
+=+++=++=++， ∴线段QP 的中点S 的坐标为22
222(,)k a
a k a k
-++． （9分） ∴2122(,)k k OR =+u u u r ，22
222k a
OS a k a k
-=++(,)u u u r ，由0OR OS ⋅=u u u r u u u r 得， 2
2
2
1202()k k a a k
-++=+，即22102()k k a -++=， ∴2
2
22k a k =+． （10分） ∵2
1
2
k >，∴22
22222251k a k k
==>++，222242222k a k k ==-<++， ∴
225a <<．由题易知，椭圆E
的离心率e =
222a e ∴=-， ∴
222225
e <-<，∴24
05e <<
，∴0e <<． 故椭圆E
的离心率的取值范围为05
(,
． （13分） 22．（1）∵1111x x x g x e xe e x ---'=-=-()()，
∴()g x 在区间01(,)上单调递增，在区间1(,)e 上单调递减，且0011(),()g g ==，
2201()()e e g e e e --=<<，
∴函数()g x 在区间0(,]e 上的值域为01(,]． （3分）
（2）令0()m g x =，则由（1）可知01(,]m ∈，原问题等价于：对任意的01(,]m ∈，()f x m =在1[,]e 上总有两个不同的实根，故()f x 在1[,]e 上不可能是单调函数． ∵11()()f x a x e x
'=-
≤≤，11
1[,]x e ∈，
当1a ≥时，0()f x '≥，()f x 在区间1[,]e 上单调递增，不合题意；
当1
a e ≤时，0()f x '≤，()f x 在区间1[,]e 上单调递减，不合题意；
当11a e <<时，()f x 在区间11[,)a 上单调递减，在区间1
(,]e a
上单调递增．
注意到此时111()f a =+>，1()f e ae =>，故只需()f x 的最小值小于等于0即可．而由
120min ()()ln f x f a a
==+≤解得21a e ≤，这与1
1a e <<矛盾．
综上，满足条件的a 不存在． （8分）
（3）设函数()f x 具备性质“L ”，即在点M 处的切线斜率等于AB k ，不妨设120x x <<，则
12121212
121212
()(ln ln )ln ln AB y y a x x x x x x k a x x x x x x -----=
==----， 而()f x 在点M 处的切线斜率为12012
2
2()(
)x x f x f a x x +''==-+， 故有
121212
2
ln ln x x x x x x -=-+，
即1
1122
1
212
2
2121(
)()ln
x x x x x x x x x x --==++． （10分） 令1201(,)x t x =
∈，则上式化为4201
ln t t +-=+． 令4
2011
()ln ()F t t t t =+-<<+，则由2141()()F t t t '=-
+22101t t t -=>+()()可知()F t 在01(,)上单调递增，故10()()F t F <=，即方程4
201
ln t t +
-=+无解． ∴函数()f x 不具备性质“L ”． （14分）。