2022届高三数学(理)一轮总复习课时规范训练：第五章 数列 5-4 Word版含答案

课时规范训练
[A 级 基础演练]
1．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n
·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12
D ．－15
解析：选A.记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－
b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.故选A.
2．(2021·河北承德模拟)等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ＝1，2，3，…)，当首项a 1和公差d 变化时，若a 5＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数中为定值的是( )
A ．S 17
B ．S 18
C ．S 15
D ．S 16
解析：选C.由等差数列的性质得a 5＋a 11＝2a 8，所以a 5＋a 8＋a 11为定值，即a 8为定值．又由于S 15＝15（a 1＋a 15）
2
＝15×2a 82＝15a 8，所以S 15为定值．故选C.
3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2n ＋12π，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 016
＝( )
A.
2 015×2 016
2
B ．2 016×2 0172
C.2 015×2 0152
D ．2 016×2 0162
解析：选B.a n ＝n 2
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2
n
2
（n 为奇数），
（n 为偶数），
∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 016＝－12
＋22
－32＋42
－…－2 0152
＋2 0162
＝(22
－12
)＋(42
－32
)＋…＋(2 0162
－2 0152
)＝1＋2＋3＋4＋…＋2 016＝2 016×2 017
2
.
4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2
D ．2
解析：选A.由等差数列性质及前n 项和公式，得 S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 3＋a 6)＝4a 3，所以a 6＝0.
又a 7＝－2，所以公差d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6.
5．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n
a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( )
A ．3 690
B ．3 660
C ．1 845
D ．1 830
解析：选D.当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1， 当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3， ∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3， ∴a 1＝a 5＝…＝a 61.
∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30×（3＋119）
2
＝30×61＝1 830.
6．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n
(a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 017＝ ． 解析：由a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n
(a n ＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－1，a 4＝0，
a 5＝1，所以S 2 017＝504(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2 017＝504×(－2)＋1＝－1 007.
答案：－1 007
7．(2021·江西八所中学联考)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)n
a n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 017＝ ．
解析：∵a n ＋1＋(－1)n
a n ＝cos(n ＋1)π＝(－1)
n ＋1
，∴当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝－1，k ∈N *
，∴S 2 017＝a 1
＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 016＋a 2 017)＝1＋(－1)×1 008＝－1 007.
答案：－1 007
8．等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{}a n 的通项公式； (2)设b n ＝
1
a n a n ＋1
，求数列{}b n 的前n 项和T n .
解：(1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{}a n 的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－5
2.因此d ＝－
3.
数列{}a n 的通项公式为a n ＝13－3n .
(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1
10－3n －113－3n .
于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n
10（10－3n ）
.
9．(2021·辽宁五校联考)已知等差数列{}a n ，公差d >0，前n 项和为S n ，S 3＝6且满足a 3－a 1，2a 2，a 8
成等比数列．
(1)求{}a n 的通项公式；
(2)设b n ＝1
a n ·a n ＋2，求数列{}
b n 的前n 项和T n .
解：(1)由S 3＝6，得a 2＝2. ∵a 3－a 1，2a 2，a 8成等比数列，
∴2d ·(2＋6d )＝42
，解得，d ＝1或d ＝－43.
∵d >0，∴d ＝1，
∴数列{}a n 的通项公式为a n ＝n . (2)∵b n ＝1a n ·a n ＋2＝1
n （n ＋2）
，
∴T n ＝
11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n （n ＋2）＝12
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝
3n 2
＋5n 4（n ＋1）（n ＋2）
. [B 级 力量突破]
1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不犯难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公认真算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从其次天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问其次天走了( )
A ．192里
B ．96里
C ．48里
D ．24里
解析：选B.由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为1
2的等比数列，则
a 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1261－12
＝378，解得a 1
＝192，则a 2＝96，即其次天走了96里．故选B.
2．已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从其次项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．16
解析：选C.依据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发觉从第7项起，数字重复消灭，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.
又由于16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C. 3．数列{a n }的通项为a n ＝(－1)n
(2n ＋1)sin n π
2
＋1，前n 项和为S n ，则S 100＝ ．
解析：由a n ＝(－1)n
(2n ＋1)sin
n π
2
＋1可得全部的偶数项为1，奇数项有以下规律：
⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，a 5＝－10，a 9
＝－18，…⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，
a 7＝16，a 11
＝24，…
所以a 1＋a 5＋…＋a 97＝25×(－2)＋25×242
×(－8)＝－2 450，
a 3＋a 7＋…＋a 99＝25×8＋
25×24
2
×8＝2 600，a 2＋a 4＋…＋a 100＝50×1＝50 所以S 100＝－2 450＋2 600＋50＝200. 答案：200
4．(2021·昆明调研)已知等差数列{}a n 中，a 2＝4，a 4是a 2与a 8的等比中项． (1)求数列{}a n 的通项公式； (2)若a n ＋1≠a n ，求数列{}2
n －1
·a n 的前n 项和．
解：(1)由a 2＝4，且a 4是a 2，a 8的等比中项可得
a 1＋d ＝4，a 24＝a 2a 8，
即(4＋2d )2
＝4(4＋6d )，化简得d 2
－2d ＝0， 则d ＝0或d ＝2，由于a 2＝4，当d ＝0时，a n ＝4； 当d ＝2时，a 1＝2，则a n ＝2n . (2)∵a n ＋1≠a n ，∴a n ＝2n ，则2
n －1
a n ＝2n －1·2n ＝2n ·n ，
∵S n ＝21
＋2×22
＋3×23
＋…＋(n －1)·2n －1
＋n ·2n
，(*1)
(*1)×2得，2S n ＝22＋2×23＋3×24
＋…＋(n －1)·2n
＋n ·2n ＋1
，(*2)
(*1)－(*2)得，－S n ＝21
＋22
＋23
＋…＋2n －n ·2n ＋1
＝2（1－2n
）1－2－n ·2n ＋1，
∴S n ＝(n －1)·2
n ＋1
＋2.
5．在等比数列{}a n 中，a 1>0，n ∈N *
，且a 3－a 2＝8，又a 1、a 5的等比中项为16. (1)求数列{}a n 的通项公式；
(2)设b n ＝log 4a n ，数列{}b n 的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n
<k 对任意n ∈N
*
恒成立？若存在，求出正整数k 的最小值；不存在，请说明理由．
解：(1)设数列{}a n 的公比为q ，由题意可得a 3＝16，
∵a 3－a 2＝8，则a 2＝8，∴q ＝2.∴a n ＝2n ＋1
.
(2)∵b n ＝log 42
n ＋1
＝
n ＋1
2
，
∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n （n ＋3）
4
.
∵1S n
＝
4n （n ＋3）＝43⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋3，
∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n
＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－1
6＋…＋1n －1n ＋3
＝43⎝
⎛⎭⎪⎫1＋12＋1
3－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<
43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＝229
， ∴存在正整数k ，其最小值为3.。