高中数学课题探究教学课题内容的来源与选择

高中数学课题探究教学课题内容的来源与选择
梁懿涛（南昌外国语学校江西省南昌市 330025）
摘要
数学课题探究教学是指在教师的指导下，围绕着某一课题，运用探究的方法主动获取数学知识，独立地解决数学问题，培养科学精神和创造性思维能力的一种实践活动．数学课题探究教学成功的关键在于课题内容的选择。

数学课题探究教学的内容可以从数学基本概念和规律、教材内容的引申与拓宽、当前的热点问题与学科前沿中的数学问题等方面取得．
关键词：数学课题探究教学课题内容
Inquiry Teaching High School Mathemathics Subject Content Of The Source And Selection Issues Abstract:
Mathematics teaching is the subject of inquiry under the guidance of teachers, around a subject, the use of method of inquiry initiative to obtain mathematical knowledge, solve math problems independently, to cultivate a scientific spirit and creative thinking ability in a practical activity. Subject of inquiry teaching math the key to success lies in the choice of subject content. Explore the content of teaching mathematics subjects from basic math concepts and laws, the teaching materials of the extension and widening of the current hot issues and the frontier of mathematical problems and achieved.
Keyword: Mathematics subject Probe into teaching Subject Content
数学课题探究教学则是在教师指导下，围着某一问题，学生运用探究的方法主动获取知识，发展能力的实践活动，其目的是让学生在学习数学知识的同时，掌握知识间的内在逻辑联系，从而对本学科有一个全面、系统的理解，培养科学精神和科学态度，逐步形成独立、能动地解决数学问题的能力．通过数学课题探究教学，可以使学生从多角度深入地理解数学知识，建立数学知识的联系，从而在面对实际问题时，更容易激活数学知识，灵活地运用数学知识解决问题，也只有这样，学生的数学学习才是
积极主动的，才能真正激发学生学习数学的内在动机．
数学课题探究教学成功的关键在于课题内容的选择。

与其它学科一样，数学课题探究教学的内容十分丰富．归纳起来，可以从以几个方面考虑．
1．数学基本概念和规律．
数学中的基本概念和规律既是探究教学的起点和基础，又是探究的对象．在教学中，教师如果在基本概念和规律的学习过程中渗透探究思想，就会使学生加深对概念和规律的理解与掌握．探究性课题1零向量的方向
在零向量的概念的学习中，学生往往对零向量的方向很迷惑．一方面，根据向量的定义“向量是既有大小又有方向的量”，零向量的方向是确定的．另一方面课本上又规定“零向量既平行于任何向量又垂直于任何向量”．这样看起来似乎是矛盾的．教师不妨先不急着下结论，而把它当成一个探究性课题，留给学生在随着《向量》这一章的学习，自主探究，到学习快结束时，让学生发表自已的探究“成果”，在师生的共同讨论中，得出正确的结论．
2．从新授课中选取探究性课题
在教学过程中，可将某些定理、法则、公式列为探究怀的课题，让学生去发现、检验、论证甚至推广，
亲身体验知识的形成、发现和发展的过程．
如在学习等比数列的前n 项和的公式时，就可以选择以下问题作为探究性教学的内容．
探究性课题2 研究等比数列前n 项和的公式
因为等比数列是运用学生所学的数列知识来研究具体问题的一个重要内容．所以将此设计为探究性课题，探究教材上公式的证明有如下优点：（1）有利于激发学生主动学习的兴趣；（2）“这一课题要解决什么问题？”需要学生自已提出．课题具有开放性，有利于培养学生的创新精神和实践能力；（3）学生亲身体验了等比数列求和公式的“演化”过程，能够更好地掌握该知识．在探究的过程中，学生将通过等比数列的定义、分式的性质、错位相减法等方法推出等比数列的求和公式．当然有些方法可能是错误的，也可能中途受阻，学生在亲身实践中，纠正错误，并获得成功的体验，可培养学生的求异思维和批判性思维；
（4）学生由于已经掌握了等比数列的定义、分式的性质等知识，因而经过一定的努力，解决这一问题不会存在很大的困难，适合学生的知识经验水平和认识发展规律．
3．对教材内容的引申与拓宽．
对于教材有些内容没有明确提出，但又属于学生必须掌握或属于考试范畴的，需要教师在课堂上引申拓宽的，就是很好的探究性课题．
如在学完函数的单调性和奇偶性后可以选择以下内容作为探究性课题．
探究性课题3 一元二次函数在给定区间上的值域
首先该问题的入口较为容易，但要较清楚地研究出一元二次函数在给定区间上的值域是有一定难度的；其次该课题在研究内容上有较大的灵活性，不同层次的学生会有不同深度和不同广度的研究．所以不要求学生在短时间内拿出研究成果，在时间安排上可以长一点，可在学完整章内容后，有了研究函数的一般方法和经验后，通过查阅相关文献资料、平常学习中相关信息的收集、积累、归纳整理和推理论证，对一元二次函数在给定区间上值域的求法会逐渐清楚起来。

如通过数形结合解决具体问题，得出一般结论；通过函数单调区间及在相应单调区间上的单调性研究，形成这样的解题规律：对于含参数的一元二次函数在给定区间上的值域问题，一般包括两类问题：轴定区间和轴动区间．
又如在学习了函数)sin(ϕω+=x A y 的图像后可提出以下研究性课题：
探究性课题4 函数)sin(ϕω+=x A y 的图像是如何由函数)(x f y =的图像变化得到的？
这里的特殊函数（正弦函数）之间的图像变换关系延伸到一般函数间的图像变换关系，有利于学生掌握由特殊到一般的研究方法，有利于学生对事物本质的认识，很有探究价值．
4．从对例题、习题的批判、推广、引申中来设计探究性课题．
“问题”是数学的心脏，由问题到问题更是数学的一大特点．从对例题、习题的批判、推广、引申，由特殊到一般、变更条件、开放结论等，为探究性课题的选择提供了广阔的天地．
如新课标高中教材《数学（选修2-1）》第三章圆锥曲线与方程中双曲线第一节的例2：
（1）爆炸点应在什么样的曲线上？
（2）已知A 、B 两点相距2000m ，并且此时声速为340m/s ，求曲线的方程．
在教材中，（1）的结论是爆炸点在双曲线的一支上．由此引出以下探究性课题：
探究性课题5
（1）爆炸点一定在双曲线的一支上吗？
（2）炮弹爆炸点的具体位置怎样确定？
第（1）问鼓励学生对教材答案进行大胆的质疑，培养他们敢于挑战权威，坚持真理，本着严谨的态度对待科学的精神，更能激发学生的数学学习兴趣．
5．从数学知识的实际应用中选择探究性课题
数学中的许多知识都来源于社会生活，又为社会生活服务，如金融、彩票、基金、肌票等等．活因此探究性学习应该充分利用数学知识与日常生活所建立的内在联系，在学中用，在用中学，培养学生用数学知识解释日常生活中的数学现象，解决日常生活中的有关问题的能力．所以从实际生活和生产实际中，选择适合学生研究的实际问题作为探究性课题应是探究性课堂教学的一个重要方面．
探究性课题6 南昌市近期各区域房价走势与投资价值比较
房价的波动牵动着千家万户，每个学生作为社会一份子也不可能置身事外。

通过让学生调查各楼盘近期的价格走势，结合股票波动与银行存貸利率变化情况，分析投资房产的风险性．
由于房价受到人们越来越多的关注，学生们一开始就对这个问题产生了浓厚的兴趣．学生们通过收集数据，观察现象，分析思考，合理假设，得出结论，学会用数学的眼光观察生活中实际现象，并发现问题，提出问题和解决问题，增强了数学意识．让学生对我们身边所发生的事物、现象，用数学的观点去进行研究，有利于激发学生的数学学习兴趣．
6．数学中的综合问题
相对于知识点比较单一的问题而言，综合性问题更有利于学生去探索和研究，更有利于培养学生的敏锐洞察力和思维能力．例如，“要证明AB=CD，∠1=∠2，△ABC=△DEF，AB∥CD……有哪些方法，可用哪些定理？怎样建立题干与结论的联系？等等”对于这类问题的回答，就要求突破教材的结构，重新以问题为线索建构知识体系．这样，学生头脑中的认识结构就会变得更加适合扩散性思维，也更加有利于问题解决能力的提高．以下列出笔者在教学中运用的几个课题：
探究性课题7 含绝对值不等式的一般解法（注释[1]）
探究性课题8一类放球入盒问题的解法（注释[2]）
探究性课题9二次函数类综合题的研究
探究性课题10 三角类综合题的研究
7．当前的热点问题与学科前沿中的数学问题
借助于一些当前的热点问题，编制一些探究性课题，让学生熟悉数学建模和应用数学建模解决这些热点问题，使学生体验解决实际问题的快乐，体会数学的巨大价值，如在2003年“非典”，笔者及时选取了“服药的时间间隔问题”作为探究性课题，取得了很好的教学效果．（注释[3]）
另外选取一些与学科前沿有关内容作为探究的方向，可扩大学生的知识面，开阔学生的视野。

如选取“哥尼斯堡七桥问题”、计算机中的二进制问题、模糊数学的有关问题等．
8．从学生提出的问题中确定探究性课题
将学生探究问题的积极性和主观能动性充分调动起来，其潜力是非常巨大的，这往往会超过数学教师的想象．
如在学习正弦定理后，有学生提出，既然有正弦定理和余弦定理，那么是否有正切定理和余切定理昵？它们的具体内容又如何呢？能解决哪些类型的三角形？由此有了以下课题：
探究性课题11正切定理和余切定理的发现及应用研究
这个课题的提出有些出笔者的意料，但想想也在情理之中，而且也有一定的研究价值，对于学生学会运用类比联想的思维方法来发现问题、提出问题以及培养学生的创新精神都大有裨益．在日常的教学中，只要我们坚持探究性教学理念与教学方法，用心去观察，探究性课题是无处不在的．限于篇幅，这里就不再累述．
注释：
【1】梁懿涛．用“零点分段法”解含绝对值不等式[J]．高中数学教与学，2005，（3）．
【2】梁懿涛．一堂数学研究性课《服药的时间间隔问题》[J]．数学教学，2003，（10）．
【3】梁懿涛．排列组合中一类放球入盒问题的解法[J]．高中生之友，2004，（1）．
参考文献
[1]王珍．论数学教学中的问题设计[J]．中学教研，2005，（1）．
[2]夏晓华．数学课堂教学中的问题设计的原则[J]．中学教研，2003，（4）．
[3]李星明．数学教学中渗透研究性学习的主要途经[J]．高中数学教与学，2004（3）．。