《振动力学》习题集(含答案)

《振动力学》习题集（含答案）
1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。

求系统的固有频率。

图E1.1
解： 系统的动能为：
()2
22
121x I l x m T +=
其中I 为杆关于铰点的转动惯量：
2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭
⎫
⎝⎛=
则有：
()2212212236
16121x l m m x l m x ml T +=+=
系统的势能为：
()()()2
1212124
1
4121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x l
g m x mgl U +=+=-⋅
+-=
利用x x
n ω= 和U T =可得： ()()l
m m g
m m n 113223++=
ω
1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。

求系统的固有频率。

图E1.2
解：
如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==
()[]()22
22
12θθa R k a R k U +=+⋅=
利用θωθn
= 和U T =可得： ()m
k
R a R mR a R k n 34342
2
+=+=ω
1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。

求系统的固有频率。

图E1.3
解： 系统的动能为：
2
2
1θ J T =
2k 和3k 相当于串联，则有：
332232 , θθθθθk k =+=
以上两式联立可得：
θθθθ3
22
33232 , k k k k k k +=+=
系统的势能为：
()232323212
332222*********θθθθ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U
利用θωθn
= 和U T =可得： ()()
3232132k k J k k k k k n +++=
ω
1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。

求固有
频率。

图E1.4
答案图E1.4
解： 对m 进行受力分析可得：
33x k mg =，即3
3k m g
x =
如图可得：
()()2
2221111 ,k b a mga
k F x k b a mgb k F x +=
=+==
()()mg k k b a k b k a b a x x a x x x x 2
122
21212110++=+-+='+=
()mg k mg k k k b a k b k a x x x 0
3212
2212301
1=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++=+=
则等效弹簧刚度为：
()()2
12322
312
3
212
k k b a k k b k k a k k k b a k e ++++= 则固有频率为：
()()(
)[
]
2
22132212
321b
k a k k b a k k m b a k k k m
k e
n ++++==
ω
mg b
a a F +=
2
x x 2
1.7 质量1m 在倾角为α的光滑斜面上从高h 处滑下无反弹碰撞质量2m ，如图E1.7所
示。

确定系统由此产生的自由振动。

图E1.7
答案图E1.7
解：
对1m 由能量守恒可得（其中1v 的方向为沿斜面向下）：
21112
1
v m gh m =
，即gh v 21=
对整个系统由动量守恒可得：
()02111v m m v m +=，即gh m m m v 22
11
0+=
令2m 引起的静变形为2x ，则有：
22sin kx g m =α，即k
g m x α
sin 22=
令1m +2m 引起的静变形为12x ，同理有：
()k
g m m x α
sin 2112+=
得：
k
g m x x x α
sin 12120=
-=
则系统的自由振动可表示为：
t x
t x x n n
n ωωωsin cos 00 +
=
其中系统的固有频率为：
2
1m m k
n +=
ω
注意到0v 与x 方向相反，得系统的自由振动为：
t v t x x n n
n ωωωsin cos 0
0-
=
1.9 质量为m 、长为l 的均质杆和弹簧k 及阻尼器c 构成振动系统，如图E1.9所示。

以杆偏角θ为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。

若在弹簧原长处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否在过静平衡位置时？
图E1.9
答案图E1.9
解： 利用动量矩定理得：
l l c a a k I ⋅-⋅-=θθθ
， 23
1
ml I =
033222
=++θθθ
ka cl ml ， 2
2
3ml
ka n =ω
n m l cl ξω232
2=， 3
2 1123mk
l a c m c n <⇒<⋅=ωξ
a a k l
mg ⋅=⋅
02
θ， 2
02ka mgl
=
θ
1.12 面积为S 、质量为m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图E1.12所
示。

作用于薄板的阻尼力为Sv F d 2μ=，2S 为薄板总面积，v 为速度。

若测得薄板无阻尼自由振动的周期为0T ，在粘性流体中自由振动的周期为d T 。

求系数μ。

l c
图E1.12
解： 平面在液体中上下振动时：
02=++kx x S x
m μ
2T m k n π
ω=
=
， d
n d T πξωω212=
-=
n
n m S m S ωμξξωμ=
⇒= 22， k S 222
μξ=
k
S k 2
22
1μξ-=-
2020220
222T T T ST m
k S k T T d d
d -=⇒-=πμμππ
2.1 图E2.2所示系统中，已知m ，c ，1k ，2k ，0F 和ω。

求系统动力学方程和稳态响
应。

图E2.1
答案图E2.1(a) 答案图E2.1(b)
解：
等价于分别为1x 和2x 的响应之和。

先考虑1x ，此时右端固结，系统等价为图（a ），受力为图（b ），故：
()()x c x k x c c x k k x
m 112121+=++++ t A c A k kx x c x
m 1111111cos sin ωωω+=++
（1）
21c c c +=，21k k k +=，m
k k n 2
1+=
ω （1）的解可参照释义（2.56），为：
()()
()()
()
()()
2
2
2111
112
2
2111121cos 21sin s s t k
A c s s t k
A k t Y ξθωωξθω+--+
+--=
（2）
其中：
n
s ωω1=
，2
1112s s tg -=-ξθ ()
()()2
12
12212212
2112
121k k c c k k k k c s ++++=
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++=+ωωξ
()()
()()
()2
1212
212
2
1
212
211212
21212
2
2 121k k c c m k k
k k c c k k m s s +++-+=
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-ωωωωξ
故（2）为：
()()()
()
()()()()
21121
2
2
1
221
21
21
2121
1
212
212
2
1
21111111111sin cos sin θθωω
ω
ωωωθωωθω+-++-++=++-+-+-=
t c c m k k
c k A c c m k k t A c
t A k t x
k 2x
2 (11x k - )11x x
-
1
()()m k k c c tg
k k m k k c tg s s tg 212112112
121211121
1112ωωωωξθ-++=+-
+=-=--- 1
1
11
2k c tg ωθ-=
考虑到()t x 2的影响，则叠加后的()t x 为：
()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-++-++-++=--=∑
i i i i i i i i i i i i i k c tg m k k c c tg t c c m k k c k A t x ωωωωωωω12212112
1
222122212
22sin
2.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1所示。

已知，︒=30α，m = 1 kg ，
k = 49 N/cm ，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。

图 T 2-1
答案图 T 2-1
解：
0sin kx mg =α，1.049
21
8.91sin 0=⨯
⨯==
k
mg x α
cm
70110492
=⨯==-m k n ωrad/s
t t x x n 70cos 1.0cos 0-==ωcm
2.2 如图T 2-2所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2
W 从高度为h 处自由下落到1W 上而无弹跳。

求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

图 T 2-2
答案图 T 2-2
解：
2
22221v g
W h W =
，gh v 22=
动量守恒：
122122v g W W v g W +=，gh W W W v 22
12
12+=
平衡位置：
11kx W =，k
W x 1
1=
1221kx W W =+，k
W W x 2
1
12+= 故：
k
W x x x 2
1120=
-= ()2
121W W kg
g W W k n +=
+=
ω
故：
t
v t x t
x
t x x n n
n n n
n ωωωωωωsin cos sin cos 12
000+
-=+-=
W 2
W 1
2.4 在图E2.4所示系统中，已知m ，1k ，2k ，0F 和ω，初始时物块静止且两弹簧均为
原长。

求物块运动规律。

图E2.4
答案图E2.4
解：
取坐标轴1x 和2x ，对连接点A 列平衡方程：
()0sin 012211=+-+-t F x x k x k ω
即：
()t F x k x k k ωsin 022121+=+
（1）
对m 列运动微分方程：
()1222x x k x
m --=
即：
12222x k x k x
m =+ （2）
由（1），（2）消去1x 得：
t k k k
F x k k k k x
m ωsin 2
120221212+=++
（3）
故：
()
212
12k k m k k n +=
ω
由（3）得：
()()()
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+=
t t k k m k F t x n n n ωωω
ωωωsin sin 2
2
212
02
2.5在图E2.3所示系统中，已知m ，c ，k ，0F 和ω，且t =0时，0x x =，0v x
= ，求系
x k
)1x x k - 2x
m (2k
2
统响应。

验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。

图E2.3
解：
()()()θωωωξω-++=-t A t D t C e t x d d t cos sin cos 0
()()
2
2
20
211
s s k
F A ξ+-⋅=
，2
1
12s
s
tg
-=-ξθ ()θθcos cos 000A x C A C x x -=⇒+==
()()()()
θωωωωωωωωξωξωξω--+-++-=--t A t D t C e
t D t C e t x d d d d t
d d t sin cos sin sin cos 000
()d
d
d A C
v D A D C v x
ωθ
ωωξωθωωξωsin sin 00000-
+=⇒++-==
求出C ，D 后，代入上面第一个方程即可得。

2.7 由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上，如图E2.7所示。

当齿轮转动角速度为ω时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为
t me ωωsin 2。

已知偏心重W = 125.5 N ，偏心距e = 15.0 cm ，支承弹簧总刚度系数k = 967.7
N /cm ，测得垂直方向共振振幅cm X m 07.1=，远离共振时垂直振幅趋近常值cm X 32.00=。

求支承阻尼器的阻尼比及在min 300r =ω运行时机器的垂直振幅。

t ω
图E2.7
解：
()()()
()θωξ-+-⋅
=t s s s M
me t x sin 212
2
22
，2
1
12s s
tg -=-ξθ
s =1时共振，振幅为：
cm M me X 07.1211=⋅=
ξ （1）
远离共振点时，振幅为：
cm M
me
X 32.02==
（2）
由（2）2
X me M =
⇒
由（1）15.0221211
2121==⋅=⋅=
⇒X X X X me me X M me ξ min 300r =ω，M k =
0ω，1
0ωω=s
故：
()()
m s s s M
me
X 32
2
22
108.321-⨯=+-⋅
=ξ
2.7 求图T 2-7中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 及3k ，悬臂梁的质量忽
略不计。

图 T 2-7
答案图 T 2-7
解：
1k 和2k 为串联，等效刚度为：2
12
112k k k k k +=。

（因为总变形为求和）
12k 和3k 为并联（因为12k 的变形等于3k 的变形）
，则： 2
132312132121312123k k k k k k k k k k k k k k k k +++=++=
+=
123k 和4k 为串联（因为总变形为求和）
，故： 4
2413231214
3243142141234123k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k e ++++++=
+=
故：
m
k e
n =
ω 2.9 如图T 2-9所示，一质量m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置；
（2）杆可以在铅锤平面内微幅转动；
（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

图 T 2-9
答案图 T 2-9
解： （1）保持水平位置：m k k n 2
1+=ω
（2）微幅转动：
()()()()()()()()()m g k k l l k l k l m g k k l l k l l k l l l k l m g
k k l l k
l k l l l l k l l m g l m g
k l l l k l l l l l l k l l m g l l l l x x k F x x x 2
12
212
2
21212
12122112121222121221121112121212221121112122
11
12111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=
+-+='+= 故：
()2
2
21212
12
21k l k l k k l l k e
++=
m
k e
n =
ω
2.10求图T 2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。

mg l l
F 2
11
2+=
x x 2
图 T 2-10
答案图 T 2-10
解：
m 的位置：A A x k mg
x x x +=
+=2
2 a F mgl 1=，a mgl F =
1，1
1ak mgl
x =∴ l a x x A =1，1
22
1k a mgl x l a x A ==∴ m g
k k a k l k a m g k a l k k a m gl k m g x x x A 2
122
212122212222 1+=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+=+=∴
2
2
122
12k l k a k k a k e +=∴，m k e n =ω
2.11 图T 2-11所示是一个倒置的摆。

摆球质量为m ，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚
度为2
k 。

（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；
（2）摆球质量m 为0.9 kg 时，测得频率()n f 为1.5 Hz ，m 为1.8 kg 时，测得频率为0.75
Hz ，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？
x 1
x A
图 T 2-1
答案图 T 2-11(1)
答案图 T 2-11(2)
解：（1）
2
222
121θθ ml I T ==
()()
()
2
22222
2
1
2121 cos 121212θθθθθm gl ka m gl ka m gl a k U -=-=--⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅=
利用max max U T =，max
max θωθn = ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=-=12
2
222mgl ka l g l
g
ml ka ml mgl ka n ω ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
（2）
若取下面为平衡位置，求解如下：
2222
121θθ ml I T ==
()()
m gl
m gl ka m gl m gl ka m gl ka m gl a k U +-=-+=⎪
⎭⎫ ⎝⎛-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=222222222
2
1
2121 2sin 2121cos 21212θθθθθθθ ()0=+U T dt
d ，()
02222=-+θθθθ mgl ka ml ()
022=-+θθ
mgl ka ml 2
2ml mgl
ka n -=
ω 2.17 图T 2-17所示的系统中，四个弹簧均未受力，k 1= k 2= k 3= k 4= k ，试问：
（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
θ
零平衡位置
（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？
图 T 2-17
解：
k
k k k k k k k k k k k k k k k 2
1
32
24123412312342312311233223=+=
=+==+=
（1）01234x k mg =，k
mg
x 20=
（2）()t x t x n ωcos 0=，k
mg
x x 420max ==
2.19 如图T 2-19所示，质量为m 2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I ，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。

图 T 2-19
解：
系统动能为：
22
22212
2
2222
2212
1
2321 2121212121x m x m R I m r x r m x m R x I x m T e =
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 系统动能为：
22
2221122
21
1222
1 21 2121x k x R R k k x R R k x k V e =
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
根据：
max max V T =，max max x x
n ω= 2
2212
221122
2
m R m R R k k n +++=ω
2.20 如图T 2-20所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为I 0，求系统的固有频率。

图 T 2-20
解：
系统动能为：
()()
()2222102221202
1 212121θθθθ l m a m I l m a m I T ++=++=
系统动能为：
()()()()2
2322212
322212
1
212121θθθθb k l k a k b k l k a k V ++=++= 根据：
max
max
V T =，max
max θωθ
n = 2
22102
322212l m a m I b k l k a k n
++++=
ω 2.24 一长度为l 、质量为m 的均匀刚性杆铰接于O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如图T 2-24所示。

写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。

图 T 2-24
答案图 T 2-24
解： 利用动量矩方程，有：
l l c a a k J ⋅-⋅-=θθθ
，23
1ml J = 033222=++θθθ
ka cl ml 2
2
3ml ka n =
ω n m l
cl ξω232
2
=，1=ξ 3
2332322
2mk
l a ml ka m m c n ===ω
2.25 图T 2-25所示的系统中，刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。

图 T 2-25
答案图 T 2-25
解：
0=⋅+⋅+⋅b b k a a c l l m θθθ 0222=++θθθ
kb ca ml m
k
l b ml kb n ==2
2ω n m l ca ξω222=，k
m
mlb ca ml ca n 2222
2==ωξ 4
2222
222422
421411a c b kml ml
k m b l m a c m k l b n d -=⋅-=-=ξωω 由mk a
bl
c 2
21=
⇒=γξ
2.26 图T 2-26所示的系统中，m = 1 kg ，k = 144 N / m ，c = 48 N •s / m ，l 1 = l = 0.49 m ，
l
l 2 = 0.5 l ， l 3 = 0.25 l ，不计刚杆质量，求无阻尼固有频率n ω及阻尼ζ。

图 T 2-26
答案图 T 2-25
解：
受力如答案图T 2-26。

对O 点取力矩平衡，有：
02
23311=⋅+⋅+⋅l l k l l c l l m θθθ 0222321=++θθθkl cl ml 04
1
161=++θθθ
k c m 36412
=⋅=
⇒m
k
n ω s rad n / 6=⇒ω
n
m
c
ζω2161=
25.02116=⋅=
⇒n
m c ωζ 4.7 两质量均为m 的质点系于具有张力F 的弦上，如图E4.7所示。

忽略振动过程中弦张力的变化写出柔度矩阵，建立频率方程。

求系统的固有频率和模态，并计算主质量、主刚度、简正模态，确定主坐标和简正坐标。

图E4.7
答案图E4.7(1)
2l
l c θ ⋅
解：
l y 111sin =
=θθ ，l y y 1222sin -==θθ ，l
y
233sin ==θθ
根据1m 和2m 的自由体动力平衡关系，有：
()1212121112sin sin y y l F
l y y F l y F
F F y m -=-+-=+-= θθ ()21212
32222sin sin y y l F
l y F l y y F F F y m -=---=--= θθ 故：
0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡212121211200y y l F y y m m
当1m =2m 时，令：
t Y y ωsin 11=，t Y y ωsin 22=，F
m l
2ωλ=
代入矩阵方程，有：
0=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----212112Y Y λλ ()()()0311221122
=--=--=----λλλλ
λ
3,12,1=λ
ml F ml F ==
121λω，ml
F ml F 322
2==λω
根据()0221=--Y Y λ得：
1211121=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λY Y ，12122
21-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λY Y
第一振型
第二振型
答案图E4.7(2)
4.11 多自由度振动系统质量矩阵M 和刚度矩阵K 均为正定。

对于模态i x 和j x 及自然
数n 证明：
()01=-j T i Mx MK x ，()
01=-j T i Kx KM x
解：
j j j Mx Kx 2ω=，等号两边左乘1-KM
j
j j j j Kx Mx KM Kx KM 2121ωω==--，等号两边左乘T
i x [][]
021==-j T
i j j T i Kx x x K KM x ω，当j i ≠时
重复两次：
j j j Kx Kx KM 21ω=-，等号两边再左乘1
-KM
[]
j j j x K KM Kx KM KM 1211---=ω，等号两边左乘T
i x []
[]
0122
1==--j T i
j j T i x K KM x Kx KM x ω，当j i ≠时 重复n 次得到：
[]
01=-j n
T i Kx KM x
j j j Mx Kx 2ω=，等号两边左乘1
-MK
j j j Mx MK Kx MK 1
21--=ω
故：
j j j Mx MK Mx 12-=ω，等号两边左乘T
i x []
01
2==-j T i j j T i x M MK x Mx x ω，当j i ≠时
即0=j T
i Mx x ，当j i ≠时
重复运算：
[]
j j j Mx MK
Mx MK 2
1
21--=ω []
02
1
21==--j T i
j j T i Mx MK x Mx MK x ω，当j i ≠时
重复n 次。

2.10图T 4-11所示的均匀刚性杆质量为m 1，求系统的频率方程。

图 T 4-11
解：
先求刚度矩阵。

令1=θ，0=x ，得：
2
22
12111a
k b k a a k b b k k +=⋅+⋅=
a k k 221-=
令0=θ，1=x ，得：
a k k 212-= 222k k -=
答
则刚度矩阵为：⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--+=2222
221k a
k a k a k b k K 再求质量矩阵。

令1=θ
，0=x ，得： 21113
1
a m m =，021=m
令0=θ
，1=x ，得： 012=m ，222m m =
则质量矩阵为：⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡=2210031
m a m M 故频率方程为：02
=-M K ω
5.1 质量m 、长l 、抗弯刚度EI 的均匀悬臂梁基频为3.515(EI / ml 3)1/2，在梁自由端放置
a θ
答案图 T 4-11(1)
k 22
1
⋅
答案图 T 4-11(2) m 21
集中质量m 1。

用邓克利法计算横向振动的基频。

解：
3
1
515.3~ml EI =ω，312
3~l m EI =ω ⎪⎭⎫
⎝⎛+=+=3355.12~1~11
13222121m m EI l ωωω ()l
m m EI
l
11355.123088.6+=
⇒ω
5.2 不计质量的梁上有三个集中质量，如图E5.2所示。

用邓克利法计算横向振动的基频。

图E5.2
解：
当系统中三个集中质量分别单独存在时：
()==EI l f 124/93
11，()EI l f 124/163
22=
，()EI
l f 124/93
33= EI
ml mf mf mf 192133~1~1~11
3
33221123222121=
++=++=⇒ωωωω l
EI
l 843.31=
⇒ω
5.3 在图E5.3所示系统中，已知m 和k 。

用瑞利法计算系统的基频。

图E5.3
解：
近似选取假设模态为：
()T 5.25.11=ψ
系统的质量阵和刚度阵分别为：
()m m m diag 2=M ，⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=k k
k k
k
k k
K 0
32023 由瑞利商公式：
()2175.115.2ω===m
k
R T T ψψψψψM K
m
k 461
.01=⇒ω
5.9 在图E5.9所示系统中，已知k 和J 。

用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。

图E5.9
解：
两端边界条件为：
固定端：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000R R T θX ，自由端：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0122R
R
T θX 。

⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==k J k k J J k R R 2220111110111ωωωX S X ⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==k J k J k J k J k k J k k J J k R R 22222222122121221121211ωωωωωωωX S X 由自由端边界条件得频率方程：
01212222
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-k J k J k J ωωω
J k 765
.01=⇒ω，J
k
848.12=ω 代入各单元状态变量的第一元素，即：
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡222121k J k
k ωθθ 得到模态：
[]T 414.11)1(=φ，[]T 414.11)2(-=φ
5.10 在图E5.10所示系统中，已知GI p i ( i = 1 , 2)，l i ( i = 1 , 2)和J i ( i = 1 , 2)。

用传递矩阵法计算系统的固有频率和模态。

图E5.10
解：
两自由端的边界条件为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111L L T θX ，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0122R
R
T θX 。

⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==12121
1
1
101101
J J L P R ωωX S X ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡
===12
112121115
.15.1111011J k J J k R F L
R ωωωX S X X ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--==22122214121421211212112
2222225
.12211111J J k J J k J J k J k J J
k J k J J k R R
ωωωωωωωωωωX S X 其中：1
11l GI k p =
，2
22l GI k p =。

由自由端边界条件得频率方程：
022122
2
141
2
14=--+
J J k J J k J J ωωωω01=⇒ω，()
()
12212121212l I l I J J J J I GI p p p p ++=
ω
代入各单元状态变量的第一元素，即：
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡212112
2111k J k J ω
ωθθ 得到模态：
[]T 11)1(=φ，T
J J ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=21)
2(1φ
5.11 在图E5.11所示系统中悬臂梁质量不计，m 、l 和EI 已知。

用传递矩阵法计算系统
的固有频率。

图E5.11
解：
引入无量纲量：
l y y =，EI Ml M =，EI l F F S S 2=，EI
ml 23ωλ=
定义无量纲的状态变量：
[]T
S F M
y θ
=X
边界条件：
左端固结：[
]T
S R
F M
00
0=X ，右端自由：[]T
R y 001θ=X
根据传递矩阵法，有：
R F P R 0
111X S S X = 其中点传递矩阵和场传递矩阵分别为：
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=10
0010000100001
1λ
P
S ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
=10
110021110
612111
1F S 得：
⎪⎩
⎪
⎨⎧
=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+0161210S
S F M F M λλ
利用此齐次线性代数方程的非零解条件导出本征方程：
()0131
16
12
11
1=+-=+=λλλ
λ∆ 3=⇒λ
ml
EI
l 31=
⇒ω
5.12 在图E5.12所示系统中梁质量不计，m 、l 和EI 已知，支承弹簧刚度系数k = 6EI / l 3。

用传递矩阵法计算系统的固有频率。

图E5.12
解：
引入无量纲量：
l y y =，EI Ml M =，EI l F F S S 2=，EI
ml 23ωλ=
定义无量纲的状态变量：
[]T
S F M
y θ
=X
边界条件：
左端铰支：[
]T
S R
F 00
0θ=X ，右端自由：[]T R y 001θ=X
根据传递矩阵法，有：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣⎡
++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡
==S S S S R R
F L F F F F 216110
0110021110
6
121110015
.0θθX X S X 在支承弹簧处：
T
S S
S
S R F F F F ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
-++=21615
.0θθX
R R R 5.05
.011161
2
11
100211106121
11X X S X ⎥⎥
⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣
⎡
+==λλλλ θ
λλλθ202+=
⇒=-+⇒S S
S S F F F F
注意到上式中θ为杆左端的转角，故在支承弹簧处的位移为：
EI
l F l y S 63
+=θ
因此有：
23662l
EI F F l EI l
ky F S S S θ
θ=⇒+== θ62
==⇒EI
l F F S S
4
3
2=+=
⇒θλS S F F
ml
EI
l 321=
⇒ω
6.3 图E6.3所示阶梯杆系统中已知m ，ρ，S ，E 和k 。

求纵向振动的频率方程。

图E6.3
解：
模态函数的一般形式为：
()a
x
C a
x
C x ωωφcos
sin
21+=
题设边界条件为：
()0,0=t u ，()()()t l ku t
t l u m x t l u ES ,,,22-∂∂-=∂∂ 边界条件可化作：
()00=φ，()()()l k l m l ES φφωφ-='2
导出C 2 = 0及频率方程：
()
k
m a ES a
l
-=
2tan
ωω
ω，其中ρ
E
a =
6.4 长为l 、密度为ρ、抗扭刚度为GI p 的的等直圆轴一端有转动惯量为J 的圆盘，另一端连接抗扭刚度为k 的弹簧，如图E6.4所示。

求系统扭振的频率方程。

图E6.4
解：
模态函数的一般形式为：
()a
x
C a
x
C x ωωφcos
sin
21+=
题设边界条件为：
()()2
2,0,0t t J x t GI p ∂∂-=∂∂θθ，()()t l k x t l GI p
,,θθ-=∂∂ 边界条件可化作：
()()002φωφJ GI p ='，()()l k l GI p φφ-='
以上两式联立消去C 1和C 2得频率方程：
(
)()
kJ a I
G J k a GI a
l
p
p 2
222
tan
+-=
ωωω，其中ρ
G
a =
6.5 长为l 、单位长度质量为ρl 的弦左端固定，右端连接在一质量弹簧系统的物块上，如图E6.5所示。

物块质量为m ，弹簧刚度系数为k ，静平衡位置在y = 0处。

弦线微幅振动，弦内张力F 保持不变，求弦横向振动的频率方程。

图E6.5
解：
模态函数的一般形式为：
()a
x
C a
x
C x ωωφcos
sin
21+=
题设边界条件为：
()0,0=t y ，()()()t l ky t
t l y m x t l y F ,,,22-∂∂-=∂∂ 边界条件可化作：
()00=φ，()()()l k l m l F φφωφ-='2
导出C 2 = 0及频率方程：
()
k
m a F a
l
-=
2tan
ωω
ω，其中l
F
a ρ=
x。