陕科大概率论与数理统计试卷及其解答(修正)

陕西科技大学概率论与数理统计试题及其解答
一、填空题（共 10 小题，每题 2 分，共计 20 分）
1. A ,B 是两个随机事件,且P (A )=0.4，P (A +B )=0.7，若A 与B 互不相容，则
P (B )= ；若A 与B 相互独立，则P (B )= .
解答：0.3；0.3.
A ,
B 是两个随机事件,且P (A )=0.4，P (A +B )=P(A)+P(B)-P(AB), A 与B 互不相容,A 与相互独立，都可以得到P(AB)=0.
2. 已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P (X =2)=P (X =4)，则λ= .
解答：随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P (X =2)=P (X =4)，那么
有
2424!
e e λ
λ
λλ--=
！
，
解得λ=
3. 设二维随机向量(X ,Y )的联合概率密度函数为
,11,
02(,)0
c x y f x y else
-≤≤≤≤⎧
=⎨
⎩
则c = ；Y 的边缘密度函数)(y f Y = .
解答：有密度函数的性质得，12
10
1cdydx -=⎰⎰，解得14
c =
.
再由边缘分布的定义
1111
,02,
()(,)42
0,Y dx y f y f x y dx else ++∞
--∞
⎧=<<⎪=
=⎨⎪
⎩
⎰⎰
4. 已知随机变量X 服从B (n ,p )，EX =2, DX =1.6 ，则此二项分布参数n ,p 的
值分别是 .
解答：因为随机变量X 服从B (n ,p )，EX =2, DX =1.6；易得
2, EX np DX npq p q n p q ====
+=
=
=
=
解得：，，，
5. 将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，
则X 和Y 的相关系数为 . 解答：
x y n +=
6. 设随机向量(X ,Y )的联合概率密度函数
⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤≤=else
y x xy y x f 01
0,
20,
2
3),(2,
则EY = . 解答：
12
3
00
3
3(,)2
4
EY yf x y dxdy xy dxdy ∞
∞
-∞-∞
=
=
=
⎰⎰
⎰⎰
7. 设n X X ,,1 为总体),(2σμN 的样本，2,S X 分别是样本均值和样本方差，
若2σ未知，则μ的置信水平为α-1的置信区间为 .
解答：在2σ未知的条件下，求μ的置信水平为α-1的置信区间， 显然是用到t 检验.
(1)x t n - ，
12
t
α
-
<，
112
2
t
t
x x s
s
α
α
μ-
-
-
<<+
8. 设n X X ,,1 为总体X 的样本，若统计量∑=∧
=
n
i i i
X a
1
μ是
总体均值μ的无偏估计量，则∑=n
i i a 1
= .
解答：统计量∑=∧
=n
i i i
X a
1
μ是总体均值μ的无偏估计量.
则有
1
1
1
1
1
n n n
n
n
i i i
i
i
i
i
i i i i i i E E a X Ea X
a EX
a a μμ
μμ∧
=======
=
=
==∑∑∑∑∑
显然,
1
1n
i
i a
==∑
9. 设T 服从自由度为n 的t 分布，若{}a T P =>λ，则{}λ<T P = . 解答：
设T 服从自由度为n 的t 分布，若{}a T P =>λ，由t 分布的对称性知道，
{}2
a P T λ>=
，则{}{}112
a P T
P T λλ<=->=-
10. 设n X X ,,1 为总体),(2σμN 的样本，2,S X 分别是样本均值和样本方差，
则
2
2
)1(σ
S
n -～ .
解答：课本上的定理，
2
2
(1)(1)n S
t n σ
--
二、单项选择题（共 5 小题，每题 2 分，共计 10 分）
1. 设随机变量X 服从正态分布N (3,4)，满足条件{}{}P X
c P X c ≤=>，则其
中常数c 为 ( ) A .3 B .2 C .0 D .4 解答：机变量X 服从正态分布N (3,4)，满足条件，由正态分布的对称性有，
{}{}{}1P X c P X c P X c ≤=>=-≤，so {}21,3P X c c ≤==
2. 设随机变量X 和Y 有相同的概率分布：1010.25
0.5
0.25-⎛⎫
⎪⎝⎭
，并且满足条件
{}10==XY P ，则{}P X Y =等于 ( )
A .0
B .0.25
C .0.5
D .1
解答：{}10==XY P ，则有
显然，{}0P X Y ==
3. 对任意随机变量X 和Y ，以下选项正确的是 ( )
A .EY EX Y
X E +=+)( B .DY DX Y X D +=+)( C .EXEY XY E =)( D .DXDY XY D =)(
解答：
由方差和期望的性质，简单的到A.
4. 设n X X ,,1 为总体),(2
σμN 的样本，令 2
1
2
)
(1
X X
Y n i i
-=
∑=σ
，
则Y ～ ( ) A.)(2n χ B .2
(,)N μσ C .)1(2
-n χ D .),
(2
n
N σ
μ
同填空10，选c.
5. 在假设检验中，设0H 为原假设，犯第一类错误的情况为 ( )
A . 0H 为真，接受0H
B . 0H 不真，接受0H
C . 0H 为真，拒绝0H
D . 0H 不真，拒绝0H 解答：记忆类型题，选择B.
三、计算题（共 5 小题，每题 8 分，共计 40 分）
1. 设A ,B 两厂产品次品率分别为1％和2％，若已知两厂产品分别占总数的
60％和40％,现从中任取一件,发现是次品，求此次品是A 厂生产的概率. 解答：设C 表示在产品中任取一件发现次品的概率，
由叶贝斯公式得：
(/)()
3(/)(/)()(/)()
7
P C A P A P A C P C A P A P C B P B =
=
+
答：略.
2. 设随机变量X 在区间[2,5]上服从均匀分布，求对X 进行三次独立观测中，
至少两次的观测值大于3的概率. 解答：
b(3,)X p ，5
3
123
3
p dx =
=
⎰
.
(2)(2)(3)P X P X P X ≥==+=
22
34(2)p -p 9
P X C ==（1）=
330
38(3)(1)27P X C p p ==-=
20(2)27
P X ≥= 答:略
3．设随机向量),(Y X 的联合概率密度
2,
01,
0(,)0y Axe x y f x y else
-⎧≤≤≤≤+∞
=⎨
⎩
求：（1）A ；（2）{}Y X P ≤；（3）),(Y X 的联合分布函数. 解答：（1）由
(,)1f x y dxdy ∞∞-∞
-∞
=⎰⎰
，
得4A =
(2)
{}12
6(,)1X P X Y f x y dydx e
≤=
=
-⎰⎰
（3）
0;0,0(,)x y F X Y <<⎧⎪
=⎨⎪⎩
4. 已知),(Y X 的联合分布列
X Y 0 1/3 1
-1 0 1/12 1/3 求（1）EX ；(2)DY ；（3）EXY . 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0
解答：
5=()12
i i E X x p x =
∑
13()36
i i D Y y p y ==
∑
13 (36)
E X Y ==-
5. 设总体X 的概率密度⎩
⎨
⎧
<<+=else
x x x f 0
,10,)1()(θ
θ
其中1->θ为未知参数，n x x ,,1 为总体的一个样本，求θ的最大似然估计值. 解答：
第一步：构造似然函数， i i (1),01(,)(,)0,n x x L x f x else θθθθ⎧+<<⎪
==⎨
⎪⎩
∏∏
第二步：对数似然函数为
i ln(1)ln ,01
ln (,)ln (,)0,n x x L x f x else θθθθ⎧++<<==⎨
⎩
∑∏ 第三步：对对数似然函数求导，并都只为0，求解得到估计值
i
n
ˆ1ln x θ=--
∑
答：略
四、应用题（共 3 小题，每题 8 分，共计 24 分）
1. 假设生产线上组装每件成品的时间服从指数分布；统计资料表明该生产线
每件成品的组装时间平均为10分钟；各件产品的组装时间互相独立.试利用中心极限定理求组装100件成品需要15到20小时的概率.
)
9987.0)3(;9772.0)2(;8413.0)1(;5.0)0((=Φ=Φ=Φ=Φ
解答：生产线上组装每件成品的时间服从指数分布，统计资料表明该生
产线每件成品的组装时间平均为10分钟，得到
10,100.EX DX ==
求组装100件成品需要15到20小时的概率,由中心及限定理有，
(9001001200)(1()2)P X P x <<=-<Φ<
(1)(2)1=Φ+Φ-
0.8185=
答：略
2. 某车间用一台包装机包装葡萄糖.包装的袋装糖重量为随机变量，它服从正
态分布.当机器正常时，其均值为0.5千克，标准差为0.015千克.某日开工后为检查包装机是否正常，随机抽取它包装的糖9袋，称得其平均重量为0.511千克，问：能否认为葡萄糖平均每袋净重与额度标准0.5千克无显著变化)05.0(=α.)3060.2)8(;96.1(025.0025.0==t z 解答： 设0:H X μ=,
1:H X μ
≠.
由于知道方差和期望，所以用U 检验，构造检验统计量
2
/X U n
μ
σ-=
用两边检验有：
当22
()
/X x n
αμ
σ-<Φ时，取0:H X μ=，反之取1:H X μ≠
经计算可以知道取0:H X μ=.
概率论与数理统计 B 卷 第 11 页 共 11 页
3. 假设关于某设备的使用年限X 和所支出的维修费用Y ，有如下统计资料：
(1)求Y 对X 的线性回归方程; (2)检验回归方程的显著性（)05.0=α.（44.17)3,1(;13.10)3,1(025.005.0==F F ;
811.0)4(;8783.0)3(05.005.0==r r ；)182.3)3(025.0=t
五、证明题（共 1小题，每题 6 分，共计 6 分）
X 为随机变量，服从参数为λ的泊松分布.已知在进店的顾客中，每人购物的概率为p ，且每人购物与否互相独立.证明：每天购物人数Y 服从参数为p λ的泊松分布.。