集合的划分与覆盖-集合与关系-离散数学

种不同的划分;
1
3

2 4
1
2 4
1
2 3
2 4
1
4 2
1
2 4
1
2 4
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3
4
3
3
3
4个=1个+1个+2个对应
C 6 种不同的划分;
二、最小划分与最大划分


最小划分：划分块最少的划分。即只有一个划分 块的划分，这个划分块就是X本身。 最大划分：划分块最多的划分。即每个划分块里 只有一个元素的划分。 例： A={1,2,3}， S1={{1,2,3}}，S2={{1},{2},{3}}，S3={{1,2},{3}}， S4={{1,2},{2,3}}, S5={{1},{3}} S1,S2,S3是一种划分，其中S1是最小划分，S2是最 大划分。
河南男生 河南女生 非河南男生 非河南女生

称C是X的交叉划分。
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定义3-9.2：若A={A1, A2,... ,Am}与 B={B1,B2,...,Bn}都是集合X的划分，则其中所有 的AiBj，组成的集合C，称为C是A与B两种 划分的交叉划分。 即{ A1,A2,... ,Am}与{B1,B2,...,Bn}的交叉划分是 C={A1B1,A1B2,...,A1Bn, A2B1,A2B2,...,A2Bn ,..., AmB1,AmB2,...,AmBn}
故4个元素的集合总共有 种不同的划分。 1+1+4+3+6=15


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例、4个元素的集合共有多 少个划分?
1 1 3 2 4 1 3

4个=1个+3个对应
1 C4 4 种不同的划分;
1
3
2 4 1 3 3
2
1 3
2
4
1
3
2
1 3
2

4
4
2
4
2 4
1 3
4
2
1 2 4个=2个+2个对应 C 4 3 2
河南男生河南女生非河南男生非河南女生组成的集合c称为c是a与b两种划分的交叉划分
集合的划分与覆盖
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对集合进行讨论时，常把一个集合化分成若干个子 集加以讨论。如：图书馆的图书，要分成许多类存 放，学校的学生要按照专业分成许多班，…即对集 合的元素划分。 知识点：

划分基本概念 覆盖基本概念
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例：集合的覆盖
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例：集合划分(分类)
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一、集合的划分与覆盖的定义
集合的划分不是唯一的。 定义3-9.1 覆盖：设A是一个非空集合，S={S1, S2,... ,Sn}, (1)SiΦ，SiA (i=1,2,...,n)， (2) S1∪S2∪...∪Sn =A (i=1,2,..., n) 则称S是A的覆盖。 划分： 设S={S1, S2,... ,Sn}是A一个覆盖, 且 SiSj=Φ (ij,1≤i,j≤n)，则称S是A的划分。 划分块(类):每个Si均称为这个划分的一个划分 块 (类 )。 例 A={1,2,3}，S1={{1,2,3}}，S2={{1},{2},{3}}， 举例 S3={{1,2},{3}}， S4={{1,2},{2,3}}, S5={{1},{3}} 是集合X的覆盖的有： S1, S2 ,S3 ,S4 。 是集合X的划分的有： S1, S2 ,S3。 划分一定是覆盖；但覆盖不一定是划分。


作业：第130页 (1)
第11页
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三、交叉划分



例 X是工大学生集合, A和B都是X的划分： A={H,N},HX, NX, H={河南人},N={非河南人} B={M,W},MX, WX, M={男生},W={女生}
H M N W H ∩W N∩W
H ∩M N∩M

C={H∩M, H∩W, N∩M, N∩W }
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思考题

A={1,2,3}，可构造多少个A的划分？
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例：4个元素的集合可构造多少个划分？ 解: 4=1+1+1+1,有1种; 4=4,有1种; 4=1+3对应 C 1 4种不同的划分;
4

1 2 4=2+2对应 C 4 3 种不同的划分; 2 2 4=1+1+2对应 C 4 6种不同的划分;