19春福师《近世代数》在线作业二
近世代数ch2(1-6节)习题参考答案
第二章前6节习题解答 P35 §11．全体整数集合对于普通减法来说是不是一个群？解 ∵减法不满足结合律，∴全体整数对于减法不构成群。
2．举出一个有两个元的群例子。
解 }11{-，对于普通乘法构成一个群。
]}1[]0{[，对于运算][][][j i j i +=+构成群。
]}2[]1{[，对于运算][]][[ij j i =构成群。
它们都是两个元的群。
3. 设G 是一个非空集合，”“ 是一个运算。
假设①”“ 运算封闭；②结合律成立；③G 中存在右单位元R e ：G a ∈∀，有a ae R =；④G a ∈∀，G a R ∈∃-1，有R R e aa =-1。
则G 是一个群。
证(仿照群第二定义的证明)先证R R R e a a aa ==--11。
∵G a R ∈-1，∴G a ∈∃'，使R R e a a =-'1，∴R R R R R R R R R R R e a a a e a a aa a a a a a e a a a a ======--------''')()')(()(11111111，R R e a a =⇒-1。
∴R R R e a a aa ==--11。
再证a ae a e R R ==，即R e 是单位元。
G a ∈∀，已证R R R e a a aa ==--11，∴a a e a ae a a a a aa a e R R R R R =⇒====--)()(11。
∴a ae a e R R ==。
即R e 就是单位元e 。
再由e a a aa R R ==--11得到1-Ra 就是1-a 。
这说明：G 中有单位元， G a ∈∀都有逆元1-a 。
∴G 是一个群。
P38 §21. 假设群G 的每一个元都适合方程e x =2，那么G 是可交换的。
证∵ 12，-=⇒=∈∀x x e x G x 。
《近世代数》模拟试题2及答案(2020年整理).doc
近世代数模拟试题一、单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）。
A 0B 1C －1D 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）。
A G只包含一个元g，乘法是gg＝g。
G对这个乘法来说作成一个群B G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群C G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群D G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是（）。
A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合C 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在D 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( )。
A 反身性B 对称性C 传递性D 封闭性S的共轭类( )。
5、下列哪个不是3A （1）B （123），（132），（23）C （123），（132）D （12），（13），（23）二、计算题(每题10分，共30分)S的正规化子和中心化子。
1.求S＝{（12），（13）}在三次对称群32.设G ＝{1，－1，i ，－i}，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。
3.设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x （x ，y 是有理数）方阵作成的环，求出其右零因子。
三、证明题(每小题15分，共45分)1、设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x （x ，y 是有理数）方阵作成的环，证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0是其零因子。
2、设Z 是整数集，规定a ·b ＝a ＋b －3。
证明：Z 对此代数运算作成一个群，并指出其单位元。
3、证明由整数集Z和普通加法构成的（Z，＋）是无限阶循环群。
近世代数模拟试题答案一、单项选择题(每题5分，共25分)1． A2． D3． C4． D5． B二、计算题(每题10分，共30分)1． 解：正规化子N （S ）＝{（1），（23）}。
《近世代数》练习题及参考答案
《近世代数》练习题及参考答案1．设A={a ，b ，c ，d}试写出集合A 的所有不同的等价关系。
2．证明：:实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。
3．证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.4．设G=。
⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,a R a a a a a 证明：G 关于矩阵的乘法构成群。
5．证明：所有形如n m 32的有理数（m ，n ∈Z ）的集合关于数的乘法构成群。
参考答案1． 设A= 试写出集合A 的所有不同的等价关系。
解2．证明：:实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。
证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。
（2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。
（3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。
（4）零元是零矩阵。
∀A ∈Mn(R),A+0=0+A=A 。
（5）∀A ∈Mn(R),负元是-A 。
A+(-A)=(-A)+A=0。
∴（Mn(R),+）构成一个Abel 群。
3．证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.证：（1）由于E ∈On (R),∵On (R)非空。
(2 ) 任意A,B ∈On (R)，有（AB ）T=B T A T =B -1A -1=(AB) -1,∴AB ∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。
(3) ∵矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。
（4）对任意A ∈On (R)，有AE=EA=A ．∴E 为On (R)的单位元。
（5）对任意A ∈On (R)，存在A T ∈On (R)，满足AA T =E=AA -1, A T A=E=A -1A ．∴A T 为A 在On (R)中的逆元。
∴On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。
{}d c b a ,,,4．设G=。
近世代数习题解答2.doc
近世代数习题解答第二章 群论1 群论1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?证 不是一个群,因为不适合结合律.2. 举一个有两个元的群的例子.证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 ''5,4来作群的定义:'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1得e a a =-1因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'1所以))(()('111a a a a e a a ---=e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([ 即 e a a =-1(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(11 即 a ea =这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1-=b be b aa b a a ===--)()(11这就得到群的第一定义.反过来有群的定义得到''5,4是不困难的.2 单位元,逆元,消去律1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2,那么G 就是交换群.证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111)(.2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.证 (1) 先证a 的阶是n 则1-a 的阶也是n .e e a a e a n n n ===⇒=---111)()(若有n m 〈 使e a m =-)(1 即 e a m =-1)(因而 1-=e a me a m=∴ 这与a 的阶是n 矛盾.a 的阶等于1-a 的阶 (2)a 的阶大于2, 则1-≠a a 若 e a a a =⇒=-21 这与a 的阶大于2矛盾(3) b a ≠ 则 11--≠b a总起来可知阶大于2的元a 与1-a 双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一定是偶数3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2的元的个数一定是奇数.证 根据上题知,有限群G 里的元大于2的个数是偶数;因此阶2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2≤的元的个数一定是奇数.4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.证 G a ∈故 G a a a a n m ∈ ,,,,,,2由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: nma a = )(n m 〈 故 e amn =-m n -是整数,因而a 的阶不超过它.4 群的同态假定在两个群G 和-G 的一个同态映射之下,-→a a ，a 和-a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 }231,231,1{i i G +-+-= }1{=-G对普通乘法-G G ,都作成群,且1)(=x φ(这里x 是G 的任意元,1是-G 的元)由 φ可知 G ∽-G但231,231i i --+-的阶都是3. 而1的阶是1.5 变换群1. 假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1-τ,使得εττ=-1?证 我们的回答是回有的},3,2,1{ =A1τ: 1→1 2τ 1→12→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …τ显然是一个非一一变换但 εττ=-12. 假定A 是所有实数作成的集合.证明.所有A 的可以写成b a b ax x ,,+→是有理数,0≠a 形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) :τ b ax x +→ :λ d cx x +→:τλ d cb cax d b ax c x ++=++→)( d cb ca +,是有理数 0≠ca 是关闭的.(2) 显然时候结合律 (3) 1=a 0=b 则 :ε x x →(4):τ b ax +)(1:1ab x a x -+→-τ而 εττ=-1所以构成变换群.又 1τ: 1+→x x :2τ x x 2→ :21ττ )1(2+→x x :12ττ 12+→x x 故1221ττττ≠因而不是交换群.3. 假定S 是一个集合A 的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('a a a τ=→来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ: )()]([2121a a a ττττ=→来规定一个S 的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S 的单位元. 证 :1τ )(1a a τ→:2τ )(2a a τ→那么:21ττ )()]([2121a a a ττττ=→显然也是A 的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:)]()[(:)(321321a a ττττττ→)]]([[321a τττ= =→)]([:)(321321a a ττττττ)]]([[321a τττ 故 )()(321321ττττττ= 再证ε还是S 的单位元:ε )(a a a ε=→:ετ )()]([a a a ττε=→τ:τε )()]([a a a τετ=→ ∴ τεετ=4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。
近世代数习题与答案
近世代数习题与答案一、选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) 一、 (从下列备选答案中选择正确答案) 1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（）。
(A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（）。
(A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。
(A) （2），（3） (B) （2） (C)（3）4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。
(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命题是( )。
(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分）（请将正确答案填入空格内） 1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ）（a ）。
2、F 是域，则[](())F x f x 是域当且仅当。
3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~:A ～B ?秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。
4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。
5、12的剩余类环Z 12的可逆元是。
三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分）（请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”） 1、设G 是群，?≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （）2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===o o ,则()14ab =o 。
( )3、商环6Z Z 是一个域。
（）4、设f 是群G 到群-G 的同态映射，若1()f H G -<，则H G <。
（）5、任意群都同构于一个变换群。
奥鹏作业福师《近世代数》在线作业二 -0002
选项【A】:错误
选项【B】:正确
正确选项：A
选项【A】:错误
选项【B】:正确
正确选项：B
选项【A】:错误
选项【B】:正确
正确选项：B
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正确选项：A
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选项【A】:错误
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正确选项：A
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选项【B】:正确
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19秋福师《近世代数》在线作业二[2]答案
![19秋福师《近世代数》在线作业二[2]答案](https://img.taocdn.com/s3/m/b1dcf764e87101f69e3195f9.png)
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
18、。
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：A
19、。
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
20、.
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：A
21、
题见下图：
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
【奥鹏】19秋福师《近世代数》在线作业二
试卷总分:100得分:100
一、单选题（共5题，10分）
1、n阶方阵集合对于矩阵加法构成（）
A半群
B群
C环
D域
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
2、
AA
BB
CC
DD
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：A
3、题面见图片
AA
BB
CC
DD
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
27、.
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
28、、
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
29、
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：A
30、
题见下图：
A错误
B正确
[仔细分析上述题目，并作出选择]
正确答案是：B
31、。
A错误
B正确
正确答案是：B
22、。
A错误
B正确
《近世代数》模拟试题2及答案
1、设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x （x ，y 是有理数）方阵作成的环，证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0是其零因子。
2、设Z 是整数集，规定a ·b ＝a ＋b －3。
证明：Z 对此代数运算作成一个群，并指出其单位元。
3、证明由整数集Z 和普通加法构成的（Z ，＋）是无限阶循环群。
近世代数模拟试题答案一、单项选择题(每题5分，共25分)A DCDB二、计算题(每题10分，共30分)1． 解：正规化子N （S ）＝{（1），（23）}。
（6分）中心化子C （S ）＝{（1）}。
（4分）2． 解：群G 中的单位元是1。
（2分）1的阶是1，－1的阶是2，i 和－i 的阶是4。
（4×2分）3． 解：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a 。
（2分） 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,xb xa ＝0。
（3分） 因为x 任意，所以a ＝b ＝0。
（3分）因此右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0。
（2分 三、证明题(每小题15分共45分)1．证明：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a 。
（2分）所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0。
（5分） 因为x ，y 任意，所以a ＝b ＝0。
（8分）同理设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a 。
（10分） 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0。
（12分） 因为x ，y 任意，所以a ＝b ＝0。
（14分） 因此零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0。
（15分） 2．明：首先该代数运算封闭。
（3分）其次我们有：（a ·b ）·c ＝（a ＋b －3）·c ＝（a ＋b －3）＋c －3＝a ＋（（b ＋c －3）－3）＝a ·（b ·c ），结合律成立。
《近世代数》练习题及答案.doc
《近世代数》练习题及答案1. B u A,但B不是A的真子集，这个情况什么时候才能出现？解只有在A=B时才能出现。
证明如下：当A=B时，即有BA, A(Z B,若有' a e A而a £ B ,显然矛盾；若BuA,但B不是A的真子集，可知凡属于A的兀素不可能不属于B,故A=B2.A=(1, 2, 3, .... , 100｝,找一个AXA 到 A 的映射。
解S(a"2)= 1易证。
102都是AXA到A的映射。
3.在你为习题1所找的映射下，是不是A的每一个元都是AXA的一个元的象？解在0]下，有' A的元不是AX A的任何元的象；容易验证在啊下，A的每个元都是AXA的一个元的象。
4.A=｛所有实数｝。
O (a, b) Ta+b=aOb这个代数运算适合不适合结合律？解这个代数运算不适合结合律。
(aOb) Oc=a+2b+2c, aO (bOc) =a+2b+4c(aOb) Oc#aO (bOc)除c=05.假定巾是A与A间的一个---- 映射，a是A的一个元。
厂[0(a)] = ?,如尸(«)] = ?解厂渺(a)] = a0[户(a)]未必有意义;当巾是A的一个一一变换时(/)-' [©(a)] =。
0[厂(a)] = a.6.假定A和，对于代数运算。
和：来说同态，云和云对于代数运算：和；来说同态, 证明A和云对于代数运算。
和；来说同态。
、〒S '• a — a表示A到屈勺同态满射iiE /Il —— ». _—,©2 ：。
t。
表示A SU A的同态满射容易验证。
是A到葡满射a。
b T ONMa。
b)l =(/)2(a。
b) = a。
b所以6是A到工的关于代数运算：和；来说同态满射。
7.A={所有有理数},找一个A的对于普通加法来说的自同构(映射x<^x除外)证© : x —> 2x对于普通加法来说是A的一个同构，很容易验证。
17春福师《近世代数》在线作业二答案
3.题面见图片
A.
B.
C.
D.
满分：2分
正确答案:C
4.
A. A
B. B
C. C
D. D
满分：2分
正确答案:B
5.题面见图片
A.
B.
C.
D.
满分：2分
正确答案:A
二、判断题(共45道试题,共90分)
1.。
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:A
2.
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:B
3.
36.题面见图片
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:A
37.。
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:A
38. .
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:A
39.。
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:B
40.
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:A
41.
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:B
42. .
A.错误
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:B
11.。
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:A
12.
。
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:A
13.。
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:A
14. .
A.错误
B.正确
满分：2分
正确答案:B
15.。
(完整版)网络教育《近世代数》作业及答案
《近世代数》作业一．概念解释1．代数运算：一个集合B A ⨯到集合D 的映射叫做一个B A ⨯到D 的代数运算。
2．群的第一定义：一个非空集合G 对乘法运算作成一个群，只要满足：1）G 对乘法运算封闭；2）结合律成立： )()(bc a bc a =对G 中任意三个元c b a ,,都成立。
3）对于G 的任意两个元b a ,来说，方程b ax =和b ya =都在G 中有解。
3．域的定义：一个交换除环叫做一个子域。
4．满射：若在集合A 到集合A 的映射Φ下，A 的每一个元至少是A 中的某一个元的象，则称Φ为A 到A 的满射。
5．群的第二定义：设G 为非空集合，G 有代数运算叫乘法，若：（1）G 对乘法封闭；（2）结合律成立； （3）单位元存在； （4）G 中任一元在G 中都有逆元，则称G 对乘法作成群。
6．理想：环R 的一个非空子集N 叫做一个理想子环，简称理想，假若： （1）N b a N b a ∈-⇒∈, （2）N ar N ra N r N a ∈∈⇒∈∈,,7．单射：一个集合A 到A 的映射，a a →Φ: ，A a A a ∈∈,，叫做一个A 到A 的单射。
若：b a b a ≠⇒≠。
8． 换：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。
9． 环：一个环R 若满足：（1）R 至少包含一个不等于零的元。
（2）R 有单位元。
（3）R 的每一个非零元有一个逆元，则称R 为除环。
10．一一映射：既是满射又是单射的映射，叫做一一映射。
11．群的指数：一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数，叫做群H 在G 里的指数。
12．环的单位元：设R 是一个环，R e ∈，若对任意的R a ∈，都有a ae ea ==，则称e 是R 的单位元。
二．判断题1．Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯Λ21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i Λ=不能相同。
(×) 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。
奥鹏2020年6月福师《近世代数》在线作业二_4.doc
1.题面见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: D2.关于子群的说法正确的是（）A.无限群的子群是无限群B.有限群的子群是有限群C.存在没有子群的群D.无限群有无限个子群【参考答案】: B3.题面见图片A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A4.G是群，则G中每个元素的逆元等于自身是G为交换群的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【参考答案】: A5.下列说法中错误的是（）A.任何集合都可以定义适当的运算构成群B.一个集合可以对多个运算都构成群C.一个群里面的任何元素都可以作为幺元D.一个元素可以同时存在多个逆元6.。
A.错误B.正确【参考答案】: A7..A.错误B.正确【参考答案】: B8.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: A9.。
A.错误B.正确【参考答案】: A10.A.错误B.正确11.。
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(单选题)1: 最小的数域是（）A: 正整数集B: 整数集C: 有理数集D: 实数集标准解答:(单选题)2: 题面见图片A: AB: BC: CD: D标准解答:(单选题)3: 18阶循环群的生成元有（）个A: 3B: 4C: 5D: 6标准解答:(单选题)4:A: AB: BC: CD: D标准解答:(单选题)5: 关于循环群的非生成元（）A: 生成元的个数要比非生成元多B: 非生成元的个数要比生成元多C: 非生成元只能生成一个子群D: 非生成元的逆元一定不是它自身的幂标准解答:(判断题)6: A: 错误B: 正确标准解答:(判断题)7: 。
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