第13课时：第二章函数——反函数

一．课题：反函数

二．教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数；掌握互为反函数

的函数图象间的关系，会利用与

的性质解

决一些问题．

三．教学重点：反函数的求法，反函数与原函数的关系． 四．教学过程： （一）主要知识：

1．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；

2．反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若

与

互为反函数，

函数()y f x =的定义域为

、值域为，则

，

；

3．互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于对称．

（二）主要方法：

1．求反函数的一般方法：（1）由()y f x =解出，（2）将1()

x f y -=中的

互换位置，得1()y f x -=，（3）求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义

域．

（三）例题分析：

例1．求下列函数的反函数： （1）；（2）；

（3）．

解：（1）由得

， ∴

， ∴所求函数的反函数为． （2）当

时，得

，当

时，

得，

∴所求函数的反函数为． （3）由32331y x x x =-++得，∴，

∴所求反函数为．

例2．函数的图象关于y x =对称，求的值．

解：由11

(,)1ax y x x R ax a

-=

≠-∈+得，

∴

，

由题知：，，∴．

例3．若既在

的图象上，又在它反函数图象上，求

的

值．

解：∵(2,1)既在()f x mx n =+的图象上，又在它反函数图象上， ∴

，∴

，∴

．

例4．（《高考A 计划》考点12“智能训练第5题”）设函数，

又函数与

的图象关于y x =对称，求

的值．

解法一：由得

，∴

，

，

∴)(x g 与

互为反函数，由

，得． 解法二：由1(1)y f x -=+得，∴

， ∴．

例5．已知函数()y f x =（定义域为A 、值域为B ）有反函数1()y f x -=，则方程

有解

，且

的充要条件是1()y f x -=满足

．

例6．（《高考A 计划》考点12“智能训练第15题”）已知

，是

上的奇函数．（1）求a 的值，（2）求的反函

数，（3）对任意的解不等式．

解：（1）由题知

，得1a =，此时

，

即()f x 为奇函数． （2）∵，得，

∴

．

（3）∵12

1()log x

f x k

-+>，∴，∴，

①当时，原不等式的解集，

②当

时，原不等式的解集

．

（四）巩固练习： 1．设，则

．

2．设，函数

的反函数和

的反函数的图象关于

( )

轴对称 轴对称

y x =轴对称 原点

对称 3．已知函数

，则

的图象只可能是 （ ）

x y

x

y O

x

y O

1- 1- x y

O

2-

C()

()A()B()

D

4．若与的图象关于直线y x

对称，且点在指数函数f x的图象上，则．

()

五．课后作业：《高考A计划》考点12，智能训练1，2，3，6，10，12，14

内容总结

（1）一．课题： TC "§反函数" 反函数

二．教学目标：理解反函数的意义，会求一些函数的反函数

（2）（2）