四川省眉山中学高三数学上学期9月月考试卷 理(含解析)

2015-2016学年四川省眉山中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知命题p：∀x∈R，3x＞0，则（）
A．¬p：∃x∈R，3x≤0B．¬p：∀x∈R，3x≤0C．¬p：∃x∈R，3x＜0 D．¬p：∀x∈R，3x＜0
2．下列有关命题的叙述，
①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；
②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件；
③“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题；
④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”．其中错误的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）
4．曲线在点（1，﹣1）处的切线方程为（）
A．y=﹣2x+3 B．y=﹣2x﹣3 C．y=﹣2x+1 D．y=2x+1
5．已知函数f（x）=﹣x3+2ax在（0，1]上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．[，+∞）C．（，+∞）D．（﹣，）
6．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）
A．y=x﹣1B．y=log2x C．y=|x| D．y=﹣x2
7．函数f（x）=﹣cosx在[0，+∞）内（）
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
8．（x2﹣）5的展开式中常数项为（）
A．270 B．﹣270 C．﹣90 D．90
9．李华经营了两家电动轿车销售连锁店．其月利润（单位：x元）分别为L1=﹣5x2+900x﹣16000，L2=300x﹣2000（其中x为销售辆数）．若某月两连锁店共销售了110辆．则能获得的最大利润为（）
A．11000 B．22000 C．33000 D．40000
10．已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=ln，则函数f（x）的大致图象为（）
A． B．C．D．
11．设f（x）是定义在R上的函数，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x f（x）＞e x+1的解集为（）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
12．已知函数f（x）=x3﹣tx2+3x，若对于任意的a∈[1，2]，b∈（2，3]，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，则实数t的取值范围是（）
A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，5] C．[3，+∞）D．[5，+∞）
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．log3+lg25+lg4+6+（﹣8.2）0= ．
14．已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1时有极值0，则a﹣b的值为．
15．已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是．
16．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1的饱和函数”．有下列函数：
；
③f（x）=lg（x2+2）；
④f（x）=cosπx，
其中你认为是“1的饱和函数”的所有函数的序号为．
三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（2015秋•眉山校级月考）已知实数c＞0，c≠1，设有两个命题：命题p：函数
y=c x是R上的单调减函数；命题q：对于∀x∈R，不等式x2+x+＞0恒成立．若命题p∨q
为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．
18．（12分）（2015秋•眉山校级月考）已知函数f（x）=3+log2x，x∈[1，16]，若函数g（x）=[f（x）]2+2f（x2）．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）求函数g（x）的最值．
19．（12分）（2015秋•眉山校级月考）f（x）=log a为奇函数（a＞1）
（1）求实数m的值；
（2）解不等式f（x﹣）+f（﹣x）＜0．
20．（12分）（2015秋•眉山校级月考）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、
F2．点P（a，b）满足|PF2|=|F1F2|．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若|AB|=，求椭圆的方程．
21．（12分）（2012•龙港区校级模拟）已知f（x）=ax2（a∈R），g（x）=2lnx．
（1）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；
（2）若方程f（x）=g（x）在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围．
22．（12分）（2015•湖北二模）已知函数，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并判断是否有极值；
（Ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；
（Ⅲ）证明：（n∈N+，n≥2）．
2015-2016学年四川省眉山中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知命题p：∀x∈R，3x＞0，则（）
A．¬p：∃x∈R，3x≤0B．¬p：∀x∈R，3x≤0C．¬p：∃x∈R，3x＜0 D．¬p：∀x∈R，3x＜0 【考点】命题的否定；特称命题．
【专题】综合题．
【分析】根据含量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定写出否命题．
【解答】解：∀x∈R，3x＞0，的否定是∃x∈R，3x≤0
故选A
【点评】本题考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可．
2．下列有关命题的叙述，
①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；
②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件；
③“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题；
④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”．其中错误的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】探究型；简易逻辑；推理和证明．
【分析】根据复合命题真假判断的真值表，可判断①；根据充要条件的定义，可判断②；写出原命题的逆命题，可判断③；写出原命题的逆否命题，可判断④．
【解答】解：①若p∨q为真命题，则命题p，q中存在真命题，但可能一真一假，此时p∧q 为假命题，故错误；
②“x2﹣4x﹣5＞0”⇔“x＜1，或x＞5”，故“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的充分不必要条件，故正确；
③“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x+y=0”真命题，故正确；
④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，故错误．
综上可得：错误命题的个数为2，
故选：B
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，充要条件，四种命题，难度中档．
3．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．[2，+∞）
【考点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；一元二次不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用；集合．
【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a 的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．
【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），
若A∪B=R，则a﹣1≤1，
∴1＜a≤2；
当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；
当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），
若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，
∴a＜1；
综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．
故选B．
【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
4．曲线在点（1，﹣1）处的切线方程为（）
A．y=﹣2x+3 B．y=﹣2x﹣3 C．y=﹣2x+1 D．y=2x+1
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题．
【分析】对函数求导，由导数的几何意义可求曲线在点（1，﹣1）处的切线斜率k，进而可求切线方程
【解答】解：对函数求导可得，
由导数的几何意义可知，曲线在点（1，﹣1）处的切线斜率k=﹣2
曲线在点（1，﹣1）处的切线方程为y+1=﹣2（x﹣1）即y=﹣2x+1
故选C
【点评】本题主要考查了函数的导数的求解及导数的几何意义的应用，属于基础试题
5．已知函数f（x）=﹣x3+2ax在（0，1]上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．[，+∞）C．（，+∞）D．（﹣，）
【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】求出函数的导函数，由函数f（x）=﹣x3+2ax在（0，1]上单调递增，所以f′（x）=﹣3x2+2a≥0在（0，1]上恒成立，分离变量后利用函数的单调性求实数a的范围．
【解答】解：由f（x）=﹣x3+2ax，所以f′（x）=﹣3x2+2a，
因为f（x）=﹣x3+2ax在（0，1]上是单调递增函数，
所以f′（x）=﹣3x2+2a≥0在（0，1]上恒成立．
即2a≥3x2，在（0，1]上恒成立．
因为函数y=3x2≤3在（0，1]上恒成立，
所以a≥．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性与函数的导函数的关系，训练了利用分离变量法求参数的范围，考查了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．
6．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）
A．y=x﹣1B．y=log2x C．y=|x| D．y=﹣x2
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】根据y=x﹣1=在区间（0，+∞）上单调递减，得A项不符合题意；根据y=log2x的
定义域不关于原点对称，得y=log2x不是偶函数，得B项不符合题意；根据y=﹣x2的图象是开口向下且关于x=0对称的抛物线，得y=﹣x2的在区间（0，+∞）上为减函数，得D项不符合题意．再根据函数单调性与奇偶性的定义，可得出只有C项符合题意．
【解答】解：对于A，因为函数y=x﹣1=，在区间（0，+∞）上是减函数
不满足在区间（0，+∞）上单调递增，故A不符合题意；
对于B，函数y=log2x的定义域为（0，+∞），不关于原点对称
故函数y=log2x是非奇非偶函数，故B不符合题意；
对于C，因为函数y=|x|的定义域为R，且满足f（﹣x）=f（x），
所以函数y=|x|是偶函数，
而且当x∈（0，+∞）时y=|x|=x，是单调递增的函数，故C符合题意；
对于D，因为函数y=﹣x2的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=0对称
所以函数y=﹣x2的在区间（0，+∞）上为减函数，故D不符合题意
故选：C
【点评】本题给出几个基本初等函数，要求我们找出其中的偶函数且在区间（0，+∞）上单调递增的函数，着重考查了基本初等函数的单调性与奇偶性等知识，属于基础题．
7．函数f（x）=﹣cosx在[0，+∞）内（）
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题；压轴题；分类讨论．
【分析】根据余弦函数的最大值为1，可知函数在[π，+∞）上为正值，在此区间上函数没有零点，问题转化为讨论函数在区间[0，π）上的零点的求解，利用导数讨论单调性即可．
【解答】解：f′（x）=+sinx
①当x∈[0．π）时，＞0且sinx＞0，故f′（x）＞0
∴函数在[0，π）上为单调增
取x=＜0，而＞0
可得函数在区间（0，π）有唯一零点
②当x≥π时，＞1且cosx≤1
故函数在区间[π，+∞）上恒为正值，没有零点
综上所述，函数在区间[0，+∞）上有唯一零点
【点评】在[0，+∞）内看函数的单调性不太容易，因此将所给区间分为两段来解决是本题的关键所在．
8．（x2﹣）5的展开式中常数项为（）
A．270 B．﹣270 C．﹣90 D．90
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式的常数项．
【解答】解：（x2﹣）5的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣3）r•x10﹣5r，
令10﹣5r=0，求得r=2，可得展开式中常数项为•9=90，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
9．李华经营了两家电动轿车销售连锁店．其月利润（单位：x元）分别为L1=﹣5x2+900x﹣16000，L2=300x﹣2000（其中x为销售辆数）．若某月两连锁店共销售了110辆．则能获得的最大利润为（）
A．11000 B．22000 C．33000 D．40000
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】应用题；函数的性质及应用．
【分析】先根据题意，可设一其中一家连锁店销售x辆，则另一家销售（110﹣x）辆，再列出总利润S的表达式，是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可．
【解答】解析：依题意，可设一其中一家连锁店销售x辆，则另一家销售（110﹣x）辆，∴总利润S=﹣5x2+900x﹣16000+300（110﹣x）﹣2000
=﹣5x2+600x+15000（x≥0）．
∴当x=60时，S取最大值．
且为S max=33000．
故选C．
【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用、二次函数最值的应用等基础知识，考查应用数学的能力．属于中档题．
10．已知函数f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=ln，则函数f（x）的大致图象为（）
A． B．C．D．
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】先求函数的解析式，再根据题意判断图象．
【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0，
所以f（﹣x）=ln=﹣ln（1+x），
所以f（x）=ln（1+x），
其图象是将f（x）=ln x的图象向左平移一个单位，
由于f（x）是奇函数
其图象关于原点对称，
故选D．
【点评】本题考查了函数的图象的判断，属于基础题．
11．设f（x）是定义在R上的函数，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式e x f（x）＞e x+1的解集为（）
A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】本题构造新函数g（x）=e x f（x）﹣e x，利用条件f（x）+f’（x）＞1，得到g′（x）＞0，得到函数g（x）单调递增，再利用f（0）=2，得到函数g（x）过定点（0，1），解不等式e x f（x）＞e x+1，即研究g（x）＞1，结合函数的图象，得到x的取值范围，即本题结论．
【解答】解：令g（x）=e x f（x）﹣e x，
则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x，
∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，
∴g′（x）=e x[f（x）+f′（x）﹣1]＞0，
∴函数y=g（x）在R上单调递增．
∵f（0）=2，
∴g（0）=1．
∴当x＜0时，g（x）＜1；
当x＞0时，g（x）＞1．
∵e x f（x）＞e x+1，
∴e x f（x）﹣e x＞1，
即g（x）＞1，
∴x＞0．
故选A．
【点评】本题考查了函数的导数与单调性，还考查了构造法思想，本题有一定的难度，计算量适中，属于中档题．
12．已知函数f（x）=x3﹣tx2+3x，若对于任意的a∈[1，2]，b∈（2，3]，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，则实数t的取值范围是（）
A．（﹣∞，3] B．（﹣∞，5] C．[3，+∞）D．[5，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】由题意可得f′（x）≤0即3x2﹣2tx+3≤0在[1，3]上恒成立，由二次函数的性质可得不等式组．
【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣tx2+3x，f′（x）=3x2﹣2tx+3，
若对于任意的a∈[1，2]，b∈（2，3]，函数f（x）在区间（a，b）上单调递减，
则f′（x）≤0即3x2﹣2tx+3≤0在[1，3]上恒成立，
∴，解得t≥5，
故选D．
【点评】本题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，二次函数的性质，属于中档题．
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．log3+lg25+lg4+6+（﹣8.2）0= ．
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．
【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．
【解答】解：log3+lg25+lg4+6+（﹣8.2）0
=+2lg5+2lg2+2+1
=
=．
故答案为：．
【点评】本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．
14．已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1时有极值0，则a﹣b的值为﹣7 ．
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】求导函数，利用函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0，建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论．
【解答】解：∵函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2
∴f'（x）=3x2+6ax+b，
又∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0，
∴，∴或
当时，f'（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）2=0，方程有两个相等的实数根，不满足题意；
当时，f'（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）（x+3）=0，方程有两个不等的实数根，满足题意；
∴a﹣b=﹣7
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题．
15．已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若∀x1∈[﹣1，2]，∃x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是[3，+∞）．
【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数的零点．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】由任意的x1∈[﹣1，2]，都存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），可得f（x）=x2﹣2x在x1∈[﹣1，2]的值域为g（x）=ax+2在x2∈[﹣1，2]的值域的子集，构造关于a 的不等式组，可得结论．
【解答】解：当∀x1∈[﹣1，2]时，由f（x）=x2﹣2x得，对称轴是x=1，
f（1）=﹣1是函数的最小值，且f（﹣1）=3是函数的最大值，
∴f（x1）=[﹣1，3]，
又∵任意的x1∈[﹣1，2]，都存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），
∴当x2∈[﹣1，2]时，g（x2）⊇[﹣1，3]．
∵a＞0，g（x）=ax+2是增函数，
∴，解得a≥3．
综上所述实数a的取值范围是[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．
【点评】本题考查的知识点是二次函数在闭区间上的最值，其中根据已知分析出“f（x）=x2﹣2x在x1∈[﹣1，2]的值域为g（x）=ax+2在x2∈[﹣1，2]的值域的子集”是解答的关键．
16．若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1的饱和函数”．有下列函数：
；
③f（x）=lg（x2+2）；
④f（x）=cosπx，
其中你认为是“1的饱和函数”的所有函数的序号为②④．
【考点】函数恒成立问题．
【专题】新定义；函数的性质及应用．
【分析】根据集合M的定义，可根据函数的解析式，f（x0+1）=f（x0）+f（1）构造方程，若方程有根，说明函数符合集合M的定义，若方程无根，说明函数不符号集合M的定义，由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．
【解答】解：（1）D=（﹣∞，0）∪（0，+∞），
若f（x）=∈M，则存在非零实数x0，使得=
即x02+x0+1=0，
因为此方程无实数解，所以函数f（x）=∉M．
（2）D=R，则存在实数x0，使得=解得x0=1，因为此方程有实数解，
所以函数f（x）=2x∈M．
（3）若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）
则lg[（x+1）2+2]=lg（x2+2）+lg3
即2x2﹣2x+3=0，
∵△=4﹣24=﹣20＜0，故方程无解．即f（x）=lg（x2+2）∉M
④存在x=使f（x+1）=cosπ（x+1）=f（x）+f（1）=cosπx+cosπ成立，即f（x）=cosπx∈M；
综上可知②④中的函数属于集合
故答案为：②④
【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，及其它方程的解法，掌握判断元素与集合关系的方法，即元素是否满足集合的性质是解答本题的关键．
三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（2015秋•眉山校级月考）已知实数c＞0，c≠1，设有两个命题：命题p：函数
y=c x是R上的单调减函数；命题q：对于∀x∈R，不等式x2+x+＞0恒成立．若命题p∨q
为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【专题】分类讨论；函数的性质及应用；简易逻辑．
【分析】根据函数的性质求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．
【解答】解：若函数y=c x是R上的单调减函数，则0＜c＜1，
若对于∀x∈R，不等式x2+x+＞0恒成立，则判别式△=1﹣4×=1﹣2c＜0，
即c＞，
若p∨q为真，p∧q为假，
则p和q有且只有一个为真命题，则
（1）若p为真q为假，
则，即0＜c≤，
（2）q为真p为假，
则，即c＞1，
∴综上所述，若p∨q为真，p∧q为假，则c的取值范围是0＜c≤，或c＞1．
【点评】本题主要考查复合命题真假之间的关系，求出命题的等价条件是解决本题的关键．
18．（12分）（2015秋•眉山校级月考）已知函数f（x）=3+log2x，x∈[1，16]，若函数g（x）=[f（x）]2+2f（x2）．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）求函数g（x）的最值．
【考点】对数函数的图像与性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）要使函数g（x）的解析式有意义，则，解得函数g（x）的定
义域；
（2）令t=log2x，x∈[1，4]，则t∈[0，2]，y=g（x）=（t+5）2﹣10，结合二次函数的图象和性质可得函数g（x）的最值．
【解答】解：（1）要使函数g（x）的解析式有意义，
则，
解得x∈[1，4]，
故函数g（x）的定义域为[1，4]，
（2）令t=log2x，x∈[1，4]，
则t∈[0，2]，
y=g（x）=[f（x）]2+2f（x2）=（3+log2x）2+2（3+log2x2）=（log2x+5）2﹣10=（t+5）2﹣10，由函数y=（t+5）2﹣10的图象是开口朝上且以直线t=﹣5为对称轴的抛物线，
故函数y=（t+5）2﹣10在[0，2]上单调递增，
故当t=0时，y=g（x）取最小值15，
当t=2，y=g（x）取最大值39，
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，函数的最值，难度中档．
19．（12分）（2015秋•眉山校级月考）f（x）=log a为奇函数（a＞1）
（1）求实数m的值；
（2）解不等式f（x﹣）+f（﹣x）＜0．
【考点】对数函数的图像与性质；函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；数形结合；定义法；函数的性质及应用；不等式．
【分析】（1）因为f（x）为奇函数，所以f（x）+f（﹣x）=0，代入得出m=﹣1；
（2）因为f（x）=log a=（﹣1+）且a＞1，所以f（x）在定义域（﹣1，1）内单
调递增，再列不等式求解．
【解答】解：（1）因为f（x）为奇函数，所以f（x）+f（﹣x）=0，
即log a+log a=log a=0，
所以，=1，解得m2=1，
因此，m=﹣1（舍m=1）；
（2）因为f（x）=log a=（﹣1+）且a＞1，
所以函数f（x）在定义域（﹣1，1）内单调递增，
而f（x﹣）+f（﹣x）＜0可化为：f（x﹣）＜f（x﹣），
不等式等价为：，解得x∈（﹣，），
即不等式f（x﹣）+f（﹣x）的解集为（﹣，）．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性的性质，复合函数的单调性及其应用，不等式的解法，属于中档题．
20．（12分）（2015秋•眉山校级月考）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、
F2．点P（a，b）满足|PF2|=|F1F2|．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若|AB|=，求椭圆的方程．
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】计算题；方程思想；待定系数法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）易知F1（﹣c，0），F2（c，0），从而可得|PF2|=，从而可得=2c，从而化简可得a2﹣ac﹣2c2=0，从而解得；
（2）易知a=2c，b=c，从而写出PF2的方程为：y=（x﹣c），从而与椭圆联立可得
|AB|=•|0﹣|=，从而解得．
【解答】解：（1）由题意知，F1（﹣c，0），F2（c，0）；
故|PF2|=，
∵|PF2|=|F1F2|，
∴=2c，
即（a﹣c）2+a2﹣c2=4c2；
化简得，a2﹣ac﹣2c2=0，
解得，a=2c或a=﹣c（舍去）；
故e==；
（2）由题意知，a=2c，b=c，
故PF2的方程为：y=（x﹣c）=（x﹣c），
联立得，，
化简可得，
5x2﹣8cx=0，
解得，x=0或x=；
故|AB|=•|0﹣|=，
故c=2，
故a=4，b=2，
故椭圆的方程为+=1．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程的应用及直线与椭圆的位置关系的应用．
21．（12分）（2012•龙港区校级模拟）已知f（x）=ax2（a∈R），g（x）=2lnx．
（1）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；
（2）若方程f（x）=g（x）在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题．
【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数F′（x），在函数的定义域内解不等式F′（x）＞0和F′（x）＜0，求出单调区间．
（2）方程f（x）=g（x）在区间[，e]上有两个不等解等价于 a=在[，e]上有两个不等解，令h（x）=，利用导数研究其单调性，从而得出它的最小值，即可得到a
的取值范围．
【解答】解：（1）F（x）=ax2﹣2lnx （x＞0）所以F′（x）=（x＞0）所以当a＞0时，函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，
a≤0时，函数在（0，+∞）上是减函数．
（2）方程f（x）=g（x）在区间[，e]上有两个不等解，
等价于 a=在[，e]上有两个不等解
令h（x）=
则h′（x）=
故函数h（x）在（，）上是增函数，在（，e）上是减函数．
所以 h（x）max=h（）=
又因为h（e）=＞h（2）==h （）
故 h（x）min=h （）=
所以≤a＜．
即a的取值范围：≤a＜．
【点评】本小题主要考查函数的导数，单调性，函数的零点与方程根的关系等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．
22．（12分）（2015•湖北二模）已知函数，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，并判断是否有极值；
（Ⅱ）若对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，求k的取值范围；
（Ⅲ）证明：（n∈N+，n≥2）．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；数列的求和．【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ），（x＞0），，分别解出f'（x）＞0，f'
（x）＜0，即可得出单调区间、极值；
（II）方法1：由ln（x﹣1）+k+1≤kx，分离参数可得：k≥f（x﹣1）max对任意的x＞1恒成立，由（I）即可得出．
方法2：记g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，，对k 分类讨论研究其单调性即可得出；
（Ⅲ），由（Ⅰ）知：（当且仅当x=1取等号）．令x=n2（n∈N*，n≥2），即，再利用“累加求和”、“裂项求和”即可得出．
【解答】（Ⅰ）解：，（x＞0），，
即x∈（0，1），f'（x）＞0，当x∈（1，+∞），f'（x）＜0，
∴f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
在x=1处取得极大值，极大值为f（1）=1，无极小值．
（Ⅱ）解：方法1：∵ln（x﹣1）+k+1≤kx，
，
k≥f（x﹣1）max对任意的x＞1恒成立，由（1）知f（x）max=f（1）=1，
则有f（x﹣1）max=1，∴k≥1．
方法2：记g（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，
，
当k≤0时，g'（x）≥0；
当k＞0时，由g'（x）＞0得，
即当k≤0时，g（x）在（1，+∞）上为增函数；
当k＞0时，上为增函数；在上为减函数．
∵对任意的x＞1，恒有ln（x﹣1）+k+1≤kx成立，
即要求g（x）≤0恒成立，
∴k＞0符合，且，得k≥1．
（Ⅲ）证明：，由（Ⅰ）知，则（当且仅当x=1取等号）．
令x=n2（n∈N*，n≥2），即，则有
∴，
∴．
【点评】本题考查了利用当时研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法、分离参数方法、分类讨论方法，考查了利用研究证明的结论证明不等式，考查了“累加求和”、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。