齐次化原理的应用

西南交通大学

本科生毕业论文

齐次化原理的应用

The Application of the Homogeneitisation Principle

年级:2008级

学号:20085605

姓名:莫玲媛

专业:数学与应用数学

指导老师:杨晗

2012年6月

院系数学学院专业数学与应用数学

年级 2008级姓名莫玲媛

题目齐次化原理的应用

指导教师

评语

指导教师 (签章)

评阅人

评语

评阅人 (签章) 成绩

答辩委员会主任 (签章)

年月日

毕业设计（论文）任务书

班级 2008级学生姓名莫玲媛学号 20085605 发题日期： 2012年2 月 24 日完成日期： 6 月 1 日

题目齐次化原理的应用

1、本论文的目的、意义

本论文的目的：研究探讨齐次化原理在求解各种微分方程中的应用。

本论文的意义：齐次化原理被广泛地应用于各种微分方程的求解中，本论文就其

在线性常微分方程以及二阶线性偏微分方程的求解过程的应用展开探讨。论文在提出

并证明齐次化原理的可行性基础上，详细介绍了它在一阶线性非齐次常微分方程求解

中的应用，并推广到了高阶线性非齐次微分方程以及微分方程组的求解中。论文还具

体讨论了在波动方程以及热传导方程的非齐次情形下，如何应用齐次化原理将非齐次

方程转化为相应的齐次方程的求解，是求解非齐次方程的一种很重要的工具。本论文

对非齐次线性微分方程的求解具有很大的研究价值及意义。

2、学生应完成的任务

（1）掌握齐次化原理在线性非齐次微分方程以及微分方程组的求解中的应用；

（2）掌握齐次情形的波动方程以及热传导方程的求解方法；

（3）探讨在非齐次情形下，如何应用齐次化原理将非齐次方程的求解转化为相应的

齐次方程的求解；

（4）理解在其他边界条件下如何应用齐次化原理求解线性偏微分方程。

3、论文各部分内容及时间分配：（共 14 周）

第一部分查阅以及整理跟论文题目相关的文献、资料等 ( 2周) 第二部分制定论文的基本结构框架 ( 1周) 第三部分撰写论文初稿 ( 6周) 第四部分修改并完善论文 ( 2周) 第五部分论文定稿及打印等 ( 1周) 评阅及答辩( 2周)

备注

指导教师：年月日

审批人：年月日

摘要

齐次化原理，也称之为Duhamel原理，广泛应用于各种微分方程的求解中。本文主要围绕齐次化原理在线性非齐次常微分方程以及二阶线性非齐次偏微分方程的求解过程中的应用展开探讨。在微分方程中，方程的齐次情形相对来说比较容易求解，而非齐次方程的求解则通常要借助其相应的齐次方程的解来完成，最常见的一种方法便是常数变易法。类似于上述思想，齐次化原理的实质就是将方程的非齐次情形转化为相应的齐次情形来进行求解。齐次化原理是求解非齐次微分方程的一种很常用的方法，具有很重要的研究价值以及研究意义。

本论文的绪论主要阐述了齐次化原理的思想以及简要介绍了论文的大致研究内容和意义。论文的主体部分是齐次化原理在线性常微分方程、波动方程以及热传导方程的求解过程中的应用。

论文的第2章主要研究用常数变易法以及齐次化原理分别求出的在已知初始条件下的一阶线性非齐次微分方程的解，二者结果相同，证明了齐次化原理的可行性。随后，论文将齐次化原理推广到了高阶线性非齐次微分方程以及微分方程组的求解中。本文的第3章主要研究的是波动方程的初值问题以及初边值问题的求解与齐次化原理的应用。针对波动方程的初值问题以及初边值问题在齐次情形下，本文分别运用了达朗贝尔解法以及分离变量法对其进行求解。对于非齐次的情形，根据叠加原理对方程进行分解简化，然后引出并运用含参变量积分的微分公式证明了齐次化原理。再运用齐次化原理将非齐次方程的求解转化为相应的齐次方程的求解，最终得出了原方程最终的解。在本文的第4章里，我们主要探讨的是热传导方程的求解与齐次化原理的应用。与波动方程类似，在热传导方程的求解中主要研究了初值问题以及初边值问题。对于齐次初值问题，本文运用了傅里叶变换法进行求解，齐次初边值问题的求解则运用了分离变量法。对于非齐次的情形也是应用了齐次化原理将非齐次方程转化为齐次方程进行求解。最后，本文还对边界条件非齐次情形的求解进行了简要的论述。

关键词：齐次化原理；线性方程；初值问题；初边值问题

Abstract

As we all know, the volatility and clustering phenomena always appear in the stock market. GARCH-type models are the relatively good tools to effectively reveal the variability and volatility of the stock market that can be accurately portrayed a thick sequence of peak tail and volatility clustering, as well as the past influence on the future fluctuations in the volatility of the continuing recession. Using GARCH-type models to study stock market volatility, the market can play a better role of guide for people to invest in the stock and the new policies introduced by the Government. Accordingly, there are a lot of reality research value and significance.

The main contents of this study are learning the theory knowledge of GARCH-type models, grasping the structure and modeling steps, establishing the appropriate type of GARCH model on the Shanghai and Shenzhen stock market, and using the models to analyse and forecast the two cities’yield volatility series. History and characteristics of China's stock market, generation and development of GARCH-type modles, and the content and meaning of the research paper are introduced first. Besides, there is a brief description of the volatility and clustering, peak fat-tail and leverage . The main part of the study is the structure of GARCH-type models, modeling steps and analysis of the examples. The appropriate GARCH-type model is chosen in the actual conditions, and that is GARCH-GED、EGARCH-t and TGARCH model. GARCH-type modeling steps include pre-treatment、model establishing、model checking and model predicting. Research of Shanghai and Shenzhen stock markets is the top priority of this study. We use the Shanghai and Shenzhen composite index of the stock market rate as an object of the stock market volatility. Through an intuitive, feature and related analysis, the residuals emerge high-end heteroskedasticity and don’t obey normal distribution, so it can be created non-normal residuals of GARCH-type models. Through the establishment of more than a comparative analysis of different models, yield on the number of sequences of the Shanghai and Shenzhen respectively establish TGARCH (1,1)-t and EGARCH (1,1)-t models, and the two moldes opportunely pass the applicability test and Parametric test of significance. Results of the final forecast are also satisfactory. The volatility of Shanghai and Shenzhen stock market is compared,and that China's stock market has volatility clustering, volatility Continuity and leverage characteristics is obtained Finally.

key words：V olatility ；GARCH-type Models ；Model Identification ；

Parameter Estimation ；Analysis and Compariso