中考数学复习必备教案——直角三角形与勾股定理

中考数学复习必备教案 直角三角形与勾股定理
知识点回顾
知识点一：直角三角形的概念与性质
1．有一个角是 的三角形叫做直角三角形； 2．直角三角形的两个锐角 ；
3．直角三角形斜边上的中线等于 的一半.
例1．（2009湖北省荆门市）如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点
A 落在边C
B 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB = （ ）
A 、40° B、30° C、20° D、10° 解：∵Rt △ABC 中，∠AC
B =90°，∠A =50°， ∴∠B =90°－50°=40° 由折叠得∠DA ′
C =∠A =50°， ∵∠DA ′C =∠B +∠A ′DB
∴∠A ′DB =50°－40°=10°，选D.
例2．若直角三角形斜边上的高和中线分别为10cm 、12cm ，则它的面积是 cm 2
. 解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴直角三角形斜边的长为2×12=24cm. ∴直角三角形的面积是2
1×24×10=120cm 2
.
同步检测一：
1．（2009年湖南省郴州市）如图2，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1与∠2的和总是保持不变，那么∠1与∠2的和是_______度．
2．如图3，Rt △ABC 中，∠B =90°，BD ⊥AC 于D ，点E 为AC 的中点，若BC =7，AB =24，则
BE = ，BD = .
A '
B D
A
C
（图1）
A
B
E D C
（图3）
2
1
（图2）
知识点二：勾股定理
直角三角形 的平方和等于 的平方．
例3．（2009年四川省宜宾市）已知：如图4，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中阴影部分的面积和为 ． 解：过点E 作ED ⊥AB 于点D ，可证得ED =2
1
AB ， ∴ED AB S ABE ⨯⨯=
∆21=41AB 2
， 同理AHC S ∆=
41AC 2，BFC S ∆=4
1
BC 2， 从而图中阴影部分的面积和为4
1（AB 2+ AC 2+ BC 2
） =
41（AB 2+ AB 2
）=2
9. 例4．（2009年湖南省衡阳市）如图5，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为 （ ）
A 、1
B 、
34 C 、2
3
D 、2
解：Rt △DAB 中，BD =54322=+， 设AG =x ，则BG=4－x
由折叠得A ′D =AD =3，A ′G =AG =x ，∠DA ′G =∠A =90°， ∴A ′B =BD －A ′D =5－3=2，∠GA ′B =90°， 从而Rt △GA ′B 中，x 2
+22
=（4－x ）2
. 解得x =
2
3
，选C. 同步检测二：
3．如果直角三角形的两条边长分别是3和4，那么该直角三角形斜边上的中线等于 . 4．（2009年四川省达州市）如图6是一株美丽的勾股树， 其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角 三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、 2、3，则最大正方形E 的面积是 （ ） A 、13 B 、26 C 、47 D 、94★5．（2009年黑龙江省哈尔滨市）若正方形ABCD 的边长为4，
E 为BC 边上一点，BE ＝3，M 为线段AE 上一点，射线BM
交正方形的一边于点F ，且BF ＝AE ，求BM 的长. （图5）
A
B C
D
A′
G
（图4）
B
H
F E
A
C
（图6）
知识点三：直角三角形的判定方法
1．根据定义：有一个角是 的三角形叫做直角三角形；
2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、 b 、 c 有关系： ，那么这个三角形是直角三角形，且∠C =90°.
例5．（2009年湖南省衡阳市）如图7，A 、B 、C 分别表示三个 村庄，AB ＝1000米，BC ＝600米，AC ＝800米，在社会主义 新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心， 要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位 置应在 （ ） A 、AB 中点 B 、BC 中点
C 、AC 中点
D 、∠C 的平分线与AB 的交点
解：显然到A 、B 、C 三个村庄距离相等的点P 应该是AB 、BC 、AC 三边垂直平分线的交点. 又∵BC 2
+AC 2
=6002
+8002
=1000000；AB 2
=10002
=1000000 ∴BC 2
+AC 2
=AB 2
， ∴∠ACB =90°,
由于直角三角形三边垂直平分线的交点在斜边的中点处，从而活动中心P 的位置应在AB 的中点处，选A.
例6．如图8，点P 是等边△ABC 内的一点，分别连接PA 、PB 、PC ，以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连接CQ .
（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论；
（2）若PA ∶PB ∶PC =3∶4∶5，连接PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由. （1）答：AP =CQ
证：∵△ABC 为等边三角形 ∴AB =BC ，∠ABC =60° ∵∠PBQ =60° ∴∠ABC =∠PBQ ∴∠ABP =∠CBQ
在△ABP 与△CBQ 中，⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=BQ BP CBQ ABP CB
AB
∴△ABP ≌△CBQ （SAS ） ∴AP =CQ
（2）答：△PQC 为直角三角形.
理由是：设PA =3k ，则PB =4k ，PC =5k （k >0），CQ =AP =3k B
A
C
（图7）
A
B
P （图8）
∵BQ =BP ，∠PBQ =60°
∴△PBQ 为等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形） ∴PQ =PB =4k
又CQ 2
=9k 2
，PQ 2
=16k 2
，PC 2
=25k 2
， ∴CQ 2
+PQ 2
=PC 2
∴△PQC 为直角三角形，且∠PQC =90°. 同步检测三：
6、（2009年黑龙江省牡丹江市）如图9， △ABC 中，CD ⊥AB 于D ，下列条件中：①∠1=∠A ；②
CD
DB
AD CD
；③∠B +∠2=90°；④BC ∶AC ∶AB =3∶4∶5；⑤AC ×BD =AC ×CD ，一定能确定△ABC 为直角三角形的条件的个数是 （ ） A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
7、（2009年甘肃省定西市）如图10，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点，
求证：（1）△ACE ≌△BCD ；（2）AD 2
+DB 2
=DE 2
.
随堂检测：
1．（2009年湖南省长沙市）如图11，等腰△ABC 中，AB =AC ，AD 是底边上的高，若AB =5cm ，
BC =6cm ，则AD = cm ．
2．(2009年上海市)如图12，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3， M 为边BC 上的点，联结
AM ．如果将△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距
离是 .
3．（2009年贵州省安顺市）如图13，图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是A
B C
M
（图12）
（图10）
E
D
B
A
C
21
D
B
A
C
（图9）
（图11）
A
D C
B
（图13）
C
S 1
S 2
（图14）
由四个全等的直角三角形围成的. 在Rt △ABC 中，若直角边AC ＝6，BC ＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______.
4．（2009年浙江省湖州市）如图14，已知在Rt △ABC 中，∠ACB =Rt ∠，AB =4，分别以AC 、
BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1、S 2，则S 1+S 2的值等于 .
5．（2009年湖北省恩施自治州）如图15，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C
的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 （ ）
A 、521
B 、25
C 、105+5
D 、35
6．（2009年浙江省丽江市）如图16，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 ， l 2，l 3之间的距离为3 ，则AC 的长是 （ ） A 、172 B 、52 C 、24 D 、7
7．（2009年新疆维吾尔自治区）如图17是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a b ，，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图． （2）证明勾股定理．
8．（2009年湖北省恩施自治州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．如图18，著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB =50km ，A 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案
5
20
15
10
C
A
B
（图15）
l 1
l 2
l 3
A
C
B
（图16）
c
b
a c
b
a c
b
a c
b
a
c
c
（图17）
一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1=PA +PB ，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A ′，连接BA ′交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2=PA +PB ．
（1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2=PA +PB 的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
9．（2009年黑龙江省牡丹江市）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m ，8m. 现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长. 10．（2009年湖北省咸宁市）
问题背景：在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图19中的图①所示．这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积． （1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上：__________________ 思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．．．
．若△ABC 三边的长分别为5a 、a 22、a 17（a >0），请利用图19中的图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相
应的△ABC ，并求出它的面积． 探索创新：
（3）若△ABC 三边的长分别为2216n m +、2249n m +、222n m +（m >0，n >0，且m ≠n ），
试运用构图法．．．求出这三角形的面积． （图18）
B
A P 图（1）
Y
X
B
A
Q
P
O
图（3）
B
A
P
X
A '
图（2） A
B
答案：
知识点回顾的答案
知识点一：直角；互为余角；斜边； 知识点二：两直角边；斜边； 知识点三：直角；a 2
+b 2
=c 2
. 同步测试的答案 1．90°； 2．BE =
225，BD =25
168； 3．2或25； 4．A ； 5．（1）当点F 在DC 上时，如图1，先证△ABE ≌△BCF ，可得AE =BF =5，BE =CF =3，AE ⊥BF ，再由面积公式BE AB BM AE ⋅=⋅得BM =5
12.
（2）当点F 在AD 上时，如图2，先证△ABE ≌△BAF ，可得BE =AF =3，∴AE =BF =5，连结EF ，证□ABEF ，∴BM =
21BF =2
5. 6．C （提示：能确定△ABC 为直角三角形的有①②④，共3个） 7．证明:（1） ∵ ∠ACB =∠ECD =90°，
∴∠ACB －∠ACD =∠ECD －∠ACD ， 即 ∠BCD =∠ACE ∵BC =AC ，DC =EC ， ∴△ACE ≌△BCD .
（2）∵△ACB 是等腰直角三角形， ∴∠B =∠BAC =45°． ∵△ACE ≌△BCD ， ∴∠CAE =∠B =45°．
∴∠DAE =∠CAE +∠BAC =45°+45°=90°． ∴Rt △DAE 中，AD 2
+AE 2
=DE 2
. ∵△ACE ≌△BCD ∴ AE ＝DB ， ∴AD 2
+DB 2
=DE 2
. A B F E
D
C M
（图1）
A
B
E
C D M F
（图2）
（第5题答案图）
随堂检测的答案：
1．4cm ； 2．2； 3．76； 4．2π； 5．B ； 6．A 7．解：（1）如图，
（2）证明：
大正方形的面积表示为()2b a +，大正方形的面积也可表示为ab c 2
142⨯+，
∴()2b a +=ab c 2
1
42⨯+，即ab c ab b a 22222+=++，
∴222c b a =+，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
8．解：（1）图18（1）中过B 作BC ⊥AP ，交PA 的延长线于点C ，则PC ＝40，又AP ＝10，
∴AC ＝30.
在Rt △ABC 中，AB ＝50 ，AC ＝30，∴BC ＝40 ，∴ BP ＝24022=+BC CP ， ∴S 1＝10240+；
图18（2）中，过B 作BC ⊥AA ′，交A ′A 的延长线于点C ，则A ′C ＝50，又BC ＝40， ∴BA ′＝4110504022=+，
由轴对称知：PA ＝PA ′，∴S 2＝BA ′＝4110， ∴S 1>S 2.
（2）如 图18（2），在公路上任找一点M ，连接MA ，MB ，MA '，由轴对称知MA ＝MA ′，∴MB +MA ＝MB +MA ′>A ′B ，∴S 2＝BA ′为最小.
（3）如图，过A 作关于X 轴的对称点A ′，过B 作关于Y 轴的对称点B ′，连接A ′B ′，交X 轴于点P ，交Y 轴于点Q ，则P ，Q 即为所求.
过A ′、 B ′分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G ，A ′B ′＝5505010022=+， ∴所求四边形的周长为55050+.
a b
c a b
c
a
b c
c b a
（第7（1）题答案图）
Y
B′
B
A
Q
9．解：设在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8，BC =6. 由勾股定理有：AC =10. 扩充部分为Rt △ABD ，扩充成等腰△ACD ，应分以下三种情况： ①如图1，当AC =AD =10时，可求BD =CB =6，得△ACD 的周长为32m ；
②如图2，当AC =CD =10时，可求BD =4，由勾股定理得：AD =45，得△ACD 的周长为（20+45）m ；
③如图3，当AC 为底时，设AD =CD =x ，则BD =x －6，由勾股定理得：x =3
25
，得△ACD 的周长为3
80m.
10．（1）3.5；
（2）如图②，构造△ABC ，使AB =5a ，BC =a 22，AC =a 17，∴△ABC 的面积为2
1×（2a +4a ）×2a －21×a ×2a －2
1×a ×4a =3a 2
；
（3）如图③，先构造长和宽分别为4n 、3m 的长方形网格，再构造△ABC ，使AC =2216n m +，
BC =2249n m +，AB =222n m +，∴△ABC 的面积为3m ×4n －
21×m ×4n －21×2n ×3m －2
1
×2n ×2m =5mn .
D
C B A
C
B A
D C
B
A
D
（图1）
（图2）
（图3）
（第9题答案图）
（第10题答案图）
4n
3m
A
C B （图②）
（图③）。