齐次方程

−
dx + c
∫ p ( x ) dx 得 (1)的通解为： 第四步：将 u ( x ) 代入 y = u ( x ) e ∫ p ( x ) dx ⎡ q ( x )e ∫ p ( x ) dx dx + c ⎤ y=e ⎢∫ ⎥ ⎣ ⎦
−
1. 形式： 一、一阶线性方程 ′ + p ( x) y = q ( x)叫做一阶线性非齐次微分方程； y
②线性方程：
y =u ( x)e
−
y′ + p(x) y = q(x)
→
∫
p ( x ) dx
u =
∫
∫ q ( x )e
p ( x ) dx
dx
③ Bernoulli 方程：
z= y
2. α举例：下页补充一个例子 1−
′ + p( x) y = q( x) y α y
→ z ′ + (1 − α ) z = (1 − α ) q ( x )一阶线性
∫
x=e
−
∫
1− 2 y y2
dy
⎛ 1 ⎞ ⎜ e dy+c⎟ = y e (e +c) = y2(1+ce ) =y e ∫ 2 ⎜ y ⎟ ⎝ ⎠
1 2 y 1 − y 1 2 y 1 − y 1 y
1 1 ⎛ ∫ 1− 22 y dy ⎞ + 2 ln y ⎛ − − 2 ln y ⎞ y y y ⎜ e ⎜ e dy + c ⎟ = e dy + c ⎟ ⎜∫ ⎟ ⎜∫ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
dy y ⇔ + 2 = 0 — —它不是 y的一阶线性微分方程 dx y + x
dx x 但原方程又 ⇔ + = − y — —它却是以 x为未知函 dy y 数的一阶线性微分方程
1. 形式： 一、一阶线性方程 ′ + p( x) y = q( x)叫做一阶线性非齐次微分方程； y
(1)
y′ + p( x) y = 0叫做(1)对应的线性齐次方程，简称齐次方程。
积分
⇒ ln(e + u) = − ln y + ln c 即：y(e + u) = c
u u
回代 u=x / y
⇒ 原方程的通解为：
ye
x y
+ x =c
第三节
一阶线性微分方程 与Bernoulli方程
一、一阶线性方程
(1) ( 2)
1. 形式：
y′ + p ( x) y = q ( x)叫做一阶线性非齐次微分方程； y′ + p ( x) y = 0叫做(1)对应的线性齐次方程。
一阶线性微分方程举例
补例：
解法3：
′ + y = 2e x的通解 求y
−x
（*）
①观察法得Y = ce 是y ′ + y = 0的通解 * x x ②观察法得y = e 是y ′ + y = 2e 的特解 ③由解结构定理得(*)的通解为： y = Y + y = ce
* −x
+e
x
一阶线性微分方程举例 注：在判断一阶微分方 程是否为线性时，灵
2 ′ +重要的。 − y )y 活选择未知函数是非常 y = 0的通解
例7-15： 求( x − 2 xy
2
解：此方程对y非线性(有y 项)，但对x却是线性的。
2
事实上，方程可变形为
：
dx 1− 2y (3) − p( y)dy + x = 1 — —此为一阶线性方程。dx ⎡ q(y)⋅ e∫ p( y) dy+c⎤ ∫ 2 x =e dy y ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 用公式法解得通解为：
二、Bernoulli方程
有些方程虽然不是线性方程，但通过变量变换可化成线性方程。这里 要讲的Bernoulli方程便是这种情况。
1. 形式：
y ′ + p( x) y = q( x) y α
(7)
(α ≠ 0,1)叫做Bernoulli 方程
注：α = 0时(7)为线性方程； = 1时, 它为可分离变量微分方 程。 α dy (7 α = 1时， )式 ⇔ = [q( x) − p( x)]y dx
例
解
变量代换在一阶微分方 程求解中的应用举例
代入原方程得： 2 2 x ( u ′ − 1 ) + x + sin(* u 2=2 0 v ) 1 u ′v + uv′ + uv = u v ln x 即： u′v + u (v′ + ) = u v ln x x x 整理得 x u ′ = − sin u 分离变量 v du= 1 , 代入 (* )得： dx → 令 v′ + = 0 − v 1 分离变量 积分得 = x c1 x x 、 sin u 分离变量 c1 1 1 2 u u= u′ = u 2 2 ln x → 代入 y = uv得： 积分得 −c1ln tan 积分得 = ln1 x + 2ln c 1 c1 x x (ln x ) + c2 2 2 将： x + c1y = u 代入上式整理得 1 1 y= ⋅ = 1 c1 x 2 x⎡ 1 (ln x) 2 + c ⎤ (ln x ) + c2 tan x ⎢ + y = cx 方程的通解 ⎥ 2 ⎣2 ⎦ 2
2. 解法：
(7)式 → z ′ + (1 − α ) p ( x ) z = (1 − α ) q ( x ) 这是一个以 z为未知函数的一阶线性 微分方程。 求得解 z = z ( x, c )后, 用y
1−α
令 z = y 1 −α
代替 z，即得 (7)的通解。
(7) 3. Bernoulli方程举例
2. 解法： (1)常数
( 2)
第一步：求 ( 2)的通解 (用分离变量法 )为： Y = ce ∫
( 4)
−
− p ( x ) dx
变易法
∫ p ( x ) dx 是 (1)的解 第二步：令 c = u ( x ), 并设 y = u ( x ) e
− p ( x ) dx
第三步：求 y ′, 并将 y , y ′代入 (1)得： u ( x ) = ∫ q ( x )e ∫
3. 齐次方程例子
例7-8
解：此方程为齐次微分方程， 故：令u =
dy xy 求 = 2 2 满足y |x =0 = 1的特解。 dx x − y
y du ⇒ y′ = u + x 代入原方程得： x dx 分离变量 1 − u 2 du u u3 u+x dx = 即：xdu = 2 2 ⇒ dx 1 − u 1− u 3
∫ ⎡ 2e x ⋅ e ∫ dx dx + c ⎤ ∴ (*)的特解为：y = e ⎢∫ ⎥ ⎣ ⎦
− dx
= e [ ∫ 2e dx + c] = ce + e
−x 2x −x
x
一阶线性微分方程举例
补例：
求y′ + y = 2e 的通解
x
（*）
解法2：(常数变易)
①对应齐次方程为： y ′ + y = 0 观察得其通解为： Y = ce − x −x ②令 c = u ( x ), 设 y = u ( x ) e 是 (*) 的解 由 y ′ = u ′ ( x ) e − x − u ( x ) e − x 代入 (*) 得： ′( x)e − x = 2e x ⇒ u ′( x) = 2e 2 x ⇒ u ( x) = e 2 x + c ：u −x 代入 y = u ( x )e 得(*)的通解为： 2x −x −x x y = (e + c + p( x) y = q( x) y
α
设可微函数 y = f ( x) 满足方程：
1 令z = y = y ⇒ z′ − z = − ln x , 由公式法得： x 1 1 − ∫ − dx ⎡ − dx ⎤ 1 2 ∫ x x z=e dx + c ⎥ = x (c − ln x ) 用 y −1 代 z得： ( − ln x )e ⎢∫ 2 ⎦ ⎣ 1 2 −1 y = x ( c − ln x ) 。又因 y | x =1 = 1,由此可求得 c = 1 2
f (t ) ⎤ ⎡ 2 f ( x) = 1 + ∫ ⎢ f (t ) ln t − ⎥ dt ( x > 0), 求f ( x) 1 例7-16： t ⎦ ⎣ f ( x) y ′( x) = f 2 ( x) ln x − ′ + = y 2 ln x 解：将方程两边对x求导得：f 即：y x x 1 2 −2 ′ + y −1 = ln x 它为 Bernoulli 方程（ α = 2） y 除方程两边得： y y .用 x
u
dx du = x
积分
1 ⇒ − 2 − ln u = ln x + c1 即：ux = ce 2u
回代
−
1 2u 2
u= y / x
⇒ 原方程的通解为：y = ce
x2 − 2 2y
，代初始条件可求得：
c = 1，故所求特解为：y = 1e
x2 − 2 2y
3. 齐次方程例子
例7-9
求方程(1 + e ) ydx + ( y − x)dy = 0的通解
注：①所谓线性，即是 方程中未知函数及其导 函数均为一次函数
②本节的“齐次方程” 与上节的“齐次方程” 是两个不同的概念 例如： y 2 dy + ( x + y ) dx = 0 1 dy x ⇔ + 2 + = 0 — —它不是一阶线性微分 方程； y dx y 又如：方程 ( y 2 + x ) dy + ydx = 0
(2)
(1 )
定理(一阶线性微分方程解的结构)
设Y = y ( x, c)是齐次(2)的通解，y *是非齐次(1)的一个特解，则 ⇒ y = Y + y *是非齐次方程(1)的通解。
′ = Y ′ + ( y * )′, 将y ′, y代入非齐次方程(1)得： 证：y 左边 = Y ′ + ( y * )′ + p ( x)(Y + y * ) ′ + p ( x)Y ] + [( y * )′ + p ( x) y * ] = [Y ≡ 0 + q ( x) ≡ q ( x) = 右边 * ∴ y = Y + y 是非齐次方程(1)的通解。
− x y
−
x y
x 解：该方程可变形为：(1 + e ) dx + (1 − ) dy = 0 y x − dx x y 即：1 + e ) ( + (1 − ) = 0 , 此方程为齐次微分方程 dy y
x du 故：令 u = ⇒ x ′ = u + y 代入原方程得： y dy du −u − u du (1 + e )(u + y ) + (1 − u ) = 0 即： y (1 + e ) + 1 + ue −u = 0 dy dy 分离变量 1 + e − u dy dy eu + 1 du = − 即：u du = − ⇒ −u y y 1 + ue e +u
1− 2 −1
1 1 故 = x ( c − ln y 2
2
x)
1 即： f ( x ) = 1 x ( c − ln 2
( x > 0)
2
x)
三、变量代换在一阶微分方程求解中的应用
1. 已作的代换：
du ⎛ y ⎞ u= y / x ①齐次方程：y ′ = φ ⎜ ⎟ → u + x = φ (u )可分离； dx ⎝ x⎠
二、齐次方程
1. 形式： 2. 解法：
y ′ = ϕ( ) y x
代换
( 13 )
或
dx ( 13 ) x = ψ ( )叫做齐次方程。 dy y
du (13 ) 式 → u + x = ϕ (u ) u= y / x dx 整理 du → x = ϕ ( u ) − u ( 可分离 ) dx 分离 du dx → ∫ = ∫ 积分 ϕ (u ) − u x
代回 u= y / x
→ 得通解。
例7-7
3. 齐次方程例子
y y 求 y ′ = + tan 的通解。 x x 解：此方程为齐次微分 方程，故：
y du 令u = ⇒ y′ = u + x 代入原方程得： x dx du du = u + tan u 即： x = tan u u+x dx dx 分离变量 dx ⇒ cot udu = x 积分 ⇒ ln sin u = ln x + ln c 即： u = cx sin 回代 y ⇒ 方程的通解为： sin = cx u= y / x x
(1)
y′ + p ( x) y = 0叫做(1)对应的线性齐次方程，简称齐次方程。
2. 解法： (2)公式法
( 2)
∫ y =e
(3)
− p( x)dx
⎡ q(x) ⋅ e∫ p( x)dxdx + c⎤ ⎥ ⎢∫ ⎦ ⎣
一阶线性微分方程 解法(续)：
③利用非齐次方程与齐次方程的关系方法
y′ + p(x) y = q(x) y′ + p(x) y = 0
∫ p( x)dxdx — —非齐特 q( x) ⋅ e ∫
一阶线性微分方程举例
补例：
′ + y = 2e x的通解 求y
x
（*）
解法1：(公式)
∵ p ( x) ≡ 1, q ( x) = 2e
y =e ∫
(3)
− p( x)dx
⎡ q(x) ⋅ e∫ p( x)dxdx + c⎤ ⎢∫ ⎥ ⎣ ⎦
一阶线性微分方程 解法(续)：
该定理易让我们想起《线性代数》中的一 阶非齐次线性方程组的解的结构定理。
∫ 注：y = e
(3)
− p ( x ) dx
⎡ q( x) ⋅ e∫ p( x)dxdx + c⎤中，展开得 ⎢∫ ⎥ ⎣ ⎦
∫ Y = ce ∫ y =e
*
− p ( x) dx
— —齐通
− p ( x ) dx