一类常微分方程组的对称解

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， 方程 （ ） 有对 称 的正 的古典 解． ６没
Ｉ）当 ｐ ｑ ， ｐ ｑ 不 为 ｌ且 满足 （ －０ ｇ＜ ＋ 或者 （ ） ＋ ， Ｉ ，≥１但 ， 都 ， Ⅳ－ ／ ） Ⅳ一 ｐ＜ 方程 （ ） ６ 没有 正 的 古典解 ．
Ｉ当≥，Ⅳ 但， 不 １／ 程６ 有 的典 ． ｌ ｐ１≤ ，ｐ都 为 也、ｖ￣ （没 正 古 解 Ｉ ） ｇ一 Ｖ ｇ — －Ｎｏ ） 个』 ， －＋ 刀 方 — Ｉ当＝ Ⅳ 方 （的 的典 关 中某 径 对 ・ Ｖ ｐｑ ， ６ 正 古解 于 的 点 向称 ） ＝ 程） ＿ Ｖ当 ＞Ⅳ ， ≥，ｐ 都 为，口 争 ６ 半， 口∈ ） ２ ＞ｐ ， 不 ＝ 半， 假 ， ［ ， ， ， 但 ｇ ｇ 设 ＝ 定 ６Ⅳ 一
第３卷 第３ ｌ 期 ２１ ００年 ６月
宁夏 师范学院学报（ 自然科学 ） Ｊｕｎｌ ｆ ｉｇｉ Ｔ ａｈｒ Ｕ ｉ ｒｔ Ｎ ｔｒ ｃｅｃ ） ｏ ｒａ ｏ Ｎｎ ｘ ｅｃｅｓ ｎｖｓ ｙ（ ａ ａ Ｓｉ ｅ ａ ｅｉ ｕｌ ｎ
Ｖ０ ． Ｎｏ． １ ３ｌ ３
Ｊｎ ００ ｕ ．２ １
＝ 留（ ＋ ， ） ＝ （ ）ｉ ） 九 ） ＝ （ ． ） （ １＋ 一 ３ （ （ １＋Ｘ ） 百 （ ２ 一 ｇ ） １
，
，
（） ８
（） ９
则方 程 （ ） ８ 即可 转化 成我们 要 讨论 的 （ ） ７． 我 们 注意到 变换 （ ） 仅把 具有 周 期 解 的 （ ） 为不 带 有 周 期性 的 （ ） 同 时让 我 们 也 清 楚 地看 到 ９不 ８化 ７ ， （） ８ 的解 的周 期为 仃， “ ０ 即 （ ＋仃）＝Ｍ ０ ， 当 ＩＩ ＋∞时 ， （ ）＝０（ｘ ） （ ）且 ｘ一 ｗｘ ＩＩ ． 下面 ， 出文 中的主要 定 理 ： 给 定理 方程 （ ） 有对 称 的正古 典解 ， ７具 其解 满 足下 面 的形 式
基金项 目： 西京学院科研基金 资助项 目（９ １７ ． ０００ ） 作者简介 ： 惠小健 （９ ９一） ， １７ 男 陕西长安县人 ， 师 ， 讲 硕士 ， 究方向 ： 研 应用微分方程．
众所 周知 ，ｉ ｖｌ Ｌｏ ｉｅ型方 程 ｕ ｌ
（ 一△） Ｍ ＝／ ， Ｔ ， ｔ （） １
ｆ
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（ ６ ）
第３卷 １
第 ３期
惠小健 ： 一类 常微 分方程组的对称解
・９ ７・
进行 了讨 论 ， 出方 程 （ ） 给 ６ 也具 有径 向对称 的解． 近 ， ｕ ， ｉ ，ｈ ｎ 又证 明 了 ： 最 Ｇ ｏ Ｌｕ Ｚ ａ ｇ
Ｉ） ｐ，≥ｌ但 ｐ， 当 ｇ ， ｇ都不 为 １ 且满 足 ，
ｏｖｌ ｕｉｅ型的 常微分 方程 组 ｌ
』¨ ９一 ， ＝ ｗ
【 ‘’ ＝ Ｗ～． ｇ
（） ７
首先 我们 要说 明对 方程 （ ） ７ 的讨论 是有 意 义 的 ， 我们 知道
』０ ＋ ０鲫 ９ ＝ Ｈ ， ０ ｕ ＋ ｕ ９一 ～ ０ ０ 丁
ｔ鲫＋ ～ ｈ ｈ＝ ． 在几何中描述了两条曲线 的相互运动 ， 而若我们假定
和方程 组
ｆ 譬ｌ ， ｌ ，： ’ （ 一△）
很好 的研究 结果． 对 于方 程 （ ） 研 究最 多 的就是 ｐ取 ｓ ｂｌｖ临界指 标 ＋ １， 。。 ｅ － Ｎ ２ “ ｎ， ， 隋况 即 （ 一△） ｉ Ｔｔ： Ｇｄ ｓＮ ， Ｎ ｒ ｂｒ［ 早在 １７ ｉａ ， ｉ和 ｉ ｎ ｅｇ１ ｅ ９ ９年 就证 明了特殊 情况
（ 一△） ＝Ｍ ， 而
（ ２ ）
都有着 广泛 的物 理背景 和应 用意 义 ， 因此针 对 这两 类方 程 中参数 的不 同取 值 ， 多 数学 工 作 者 都给 出 了 很
．
（） ３
（） ４
的所有 正解在 无穷 远处满 足 ／＝Ｏ ＩＩ－） ， 关 于某点 径 向对 称 ， Ｚ （ｘ ｕ 时 是 ２ 且具有 形式
＝ ｃ
（
）・
（ ５ ）
Ｃ ｆｒｌ， ｉａ Ｓｒｃ 在去 掉增 长条 件 ＝ （ｘ ａａｅｉＧｄｓ和 ｐｕｋ ｆ ｌ ｏ Ｉ 一后给 出 了相 同 的结 论． Ｉ 随后 ，ｈｎ和 Ｌ［ 对这个 Ｃｅ ｉ 。 结 论给 出 了更 为简 化 的证 明过 程 ． ｉ ｘ ［ 进 一 步将 这 个 结 果推 广 到 Ｏ∈（ ， 的 任 意偶 数． ｈｎ Ｗｅ 和 ｕ４ ｔ ０ Ｎ） Ｃ ｅ， Ｌ， Ｏ ［ 过引人 Ｈ ｒｙ Ｌｔｅ ｏｄ Ｓｂｌ ｉ和 ｕ 通 ａｄ— ｉｌ ｏ — ｏｏｅ 等 式 ， 用移 动 平 面 的方 法 解 决 了 Ｌｅ 提 出 的 开 问 ｔｗ ｖ不 并 ｉ ｂ 题一 证 明 了对 任 意 ， 方程 （ ） 正 的对称 解． 同样 的方 法 ， ｈｎ Ｌ， Ｏ 又对方 程组 ３有 用 Ｃ ｅ ，ｉ和 ｕ
一
类 常 微 分 方 程 组 的 对 称 解
惠小健 ， 张 华
（ 西京学院 基础部 数学 教研 室 ，陕西 西安 ７０ ２ ） １１３
摘 要讨 四 常 分 程 ｆ ０ “９ ＾解 性 ，过 动 面 方 证 了 阶 ：论 阶 微 方 组 “ ９ “ 一 的 质通 移 平 的 法 明 四 绷 阳 ＝百
Ｎ— ， ］ 则方程 （ ） ６ 没有 正解 ． 虽 然大 家给 出这 么多好 的结果 ， 可是 几乎 所 有 的人 都 是 在讨 论 高 维 的情 况 ， 对 于 同样 有 着 重要 意 而 义的一维 方程 和方 程组 的对 称解 ， 们现 有 的结果 却是 比较 少 的． 我 因此 在这 篇 文章 中主要 讨 论类 似 于 Ｌ— ｉ
【 ∞＋ ｈ ｈ＝ｕ
常微分 方程组具有周期为 叮 的径 向对称 解． Ｔ
关 键 词 ： 阶 方程 组 ； 动 平 面 ； 四 移 对称 解
中图分类号 ： １５ ２ ０ ７ ．
收 稿 日期 ：０ ０— ３— ４ ２ １ ０ ０
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ：６ ４—１３ （０ ０ ０ ０ ９ ０ １７ ３ １ ２ １ ）３源自文库 ０ ６— ４